2024-2025学年浙江省金兰教育合作组织高一上学期期中考试数学试题(含答案)

2024-2025学年浙江省金兰教育合作组织高一上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则∁U(M∩N)=( )
A. {5}
B. {2,3}
C. {1,4}
D. {1,4,5}
2.下列说法正确的是( )
A. ∀x∈R，|x+1|>1
B. “x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件
C. ∃x>0，x3=−x
D. “x2−x=0”是“x=1”的必要不充分条件
3.已知集合{1,a,b
a
}={0,a2,a+b}，则a2024+b2024的值为( )
A. 0
B. 1
C. −1
D. 1或−1
4.设函数f(x)=2x−1
2x
，则f(x)( )
A. 是奇函数，且在(−∞,+∞)上单调递增
B. 是奇函数，且在(−∞,+∞)上单调递减
C. 是偶函数，且在(−∞,+∞)上单调递增
D. 是偶函数，且在(−∞,+∞)上单调递减
5.下列函数中最小值为4的是( )
A. y=x2+2x+4
B. y=x+4
x
C. y=2x+22−x
D. y=x2+5+
1
x2+5
6.函数y=−6x
x2+2
的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.下列说法正确的是()．
A. 若a >b >0，则ac 2>bc 2
B. 若a >b ，则a 2>b 2
C. 若a <b <0，则a 2>ab >b 2
D. 若a <b ，则1a >1b 8.若定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(2)=0，则满足(x−1)f(x−2)≥0的x 的取值范围是( )
A. [0,1]∪[4,+∞)
B. (−∞,−2]∪[2,+∞)
C. [0,1]∪[2,+∞)
D. [0,1]∪[2,4]
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知幂函数f(x)=x 12，则以下结论正确的是( )
A. f(x)的定义域为[0,+∞)
B. f(x)是减函数
C. f(x)的值域为[0,+∞)
D. f(x)是偶函数
10.已知集合A ={1,2,3,4,5}，B ={(x,y)|x ∈A ，y ∈A ，x−y ∈A}，则下列选项中正确的是( )
A. 集合A 有32个子集
B. (2,1)∈B
C. B 中所含元素的个数为10个
D. (2,3)∈B
11.下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)=1x 在定义域内是减函数
B. 若x <12，则函数y =2x +42x−1的最大值为−3
C. 若不等式2kx 2+kx−38<0对一切实数x 恒成立，则−3<k ≤0
D. 若x >0，y >0，x +y +xy =3，则x +y 的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知f(x)的定义域为[−1,3]，则f(x 2)的定义域是________．
13.计算 (−34)2+3−2764+64−13+160.75+54⋅(2−15)−3
=________．
14.设x >0，y >0，x +2y =2，则 xy
(x−2)(y−1)+4的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)
已知集合A ={x|−2≤x ≤1}，B ={x|−1<x <2a}.
(1)若a =1，求A ∩B ，(∁u A )∪B ；
(2)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知f(x)=|x−a|(x−2)+x(x−a).(a∈R)
(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集;
(2)若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入R(单位：元)关于月产量x(单位：辆)满足函数：R(x)={380x−12x2(0≤x≤500),
75000(x>500).
(1)将利润P(单位：元)表示为月产量x(单位：辆)的函数;
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收入=总成本+利润)
18.(本小题12分)
(1)已知a>0，b>0，且ab=1，求1
a +1
b
+4
a+b
的最小值;
(2)设a>0，b>1，若a+b=2，求2
a +1
b−1
的最小值;
(3)求函数f(x)=1−x2
x+2
的最大值．19.(本小题12分)
已知定义在R上的奇函数f(x)=ax+b
x2+1，且f(1
3
)=3
10
．
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并证明你的结论;
(3)设g(x)=(x2+1)[f(x)+1]+m(x+1)−2，若∃x1∈[1,2]，对∀x2∈[−1,1]，有g(x1)≤2f(x2)成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.C
6.B
7.C
8.A
9.AC
10.ABC
11.BCD
12.[−3,3]
13.41
4
14.2
9
15.解：(1)当a=1时，A={x|−2≤x≤1}，B={x|−1<x<2}，所以A∩B={x|−1<x≤1}，
∁u A={x|x<−2或x>1}，
(∁u A)∪B={x|x<−2或x>−1}
(2)∵A∩B=B，
∴B⊆A
 ①当2a≤−1即a≤−1
2
时，B=⌀满足题意;
 ②当2a>−1即a>−1
2
时，B≠⌀;
欲使B⊆A，则有−1<2a≤1，即−1
2<a≤1
2
．
综上所述：实数a的取值范围是(−∞,1
2
].
16.解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|(x−2)+x(x−1)，
∵f(x)<0，∴当x<1时，f(x)=2x−2<0，恒成立，即x<1满足条件;
当x≥1时，f(x)=(x−1)(x−2+x)=2(x−1)2≥0恒成立，此时不等式无解;
综上，不等式的解集为(−∞,1);
(2)因为f(x)={2(x−a),x<a
2(x−a)(x−1),x≥a，
由于f(x)在R上为增函数，所以1+a
2
≤a，
解得a≥1.
∴a的取值范围为[1,+∞).
17.解：(1)由题可知总成本为15000+80x，
从而利润P=f(x)=R(x)−15000−80x={−12x2+300x−15000,0⩽x⩽500
60000−80x,x>500
(2)当0≤x≤500，f(x)=−1
2
(x−300)2+30000，
∴x=300时，f(x)有最大值30000;
当x>500时，f(x)=60000−80x是减函数，
∴f(x)<60000−80×500=20000<30000．
∴x=300时，f(x)有最大值30000．
即当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30000元．
18.解：(1)∵a>0，b>0，且ab=1，则1
a +1
b
+4
a+b
=a+b
ab
+4
a+b
=a+b
1
+4
a+b
≥2a+b
1
⋅4
a+b
=4，
当且仅当a+b
1=4
a+b
时取等号，解得a+b=2，结合ab=1，在a=1，b=1时取等号，
∴1 a +1
b
+4
a+b
的最小值为4．
(2)解法一：由题得a=2−b，代入原式，得2
a +1
b−1
=2
2−b
+1
b−1
=b
−b2+3b−2
=
1
−b−2
b
+3
≥
1
−22+3
=
3+22
(3−22)(3+22)
=3+22，
故原式最小值为3+22，
当且仅当b2=2，即b=2，a=2−2时，等号成立;
解法二：由于a+(b−1)=1，利用1的代换，2
a +1
b−1
=(a+b−1)(2
a
+1
b−1
)=2+a
b−1
+2(b−1)
a
+1≥3+22，
当且仅当
a
b−1
=2(b−1)
a
，即b=2，a=2−2时，等号成立;
(3)由于f(x)=1−x2
(x+2)2，只要求出g(x)=1−x
2
(x+2)2
在[−1,1]上的值域．
令x +2=t ∈[1,3]，故g(x)=ℎ(t)=
−t 2+4t−3t 2=−3(1t )2+4(1t )−1，(1t )∈[13,1]，ℎ(t)=−3(1t −23)2+13，当1t =23，x =−12时，ℎ(t)最大13，即f(x)取最大值 3
3． 19.解：(1)定义在R 上的奇函数f(x)=ax +b x 2+1，
则f(0)=0，即b =0，
又f(13)=310，即13a 19+1=310，解得a =1，
∴f(x)=x x 2+1
;(2)当x ∈[−1,1]时，函数f(x)为增函数，
证明如下：设−1≤x 1<x 2≤1，
f(x 1)−f(x 2)=x 1x 21+1−x 2x 22+1=−(x 1x 2−1)(x 1−x 2)
(x 21+1)(x 22+1)，又由−1≤x 1<x 2≤1，则x 1−x 2<0，x 1x 2−1<0，
则有f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)< f(x 2)，
即函数f(x)在[−1,1]上单调递增;
(3)由(1)和(2)得f(x)=x x 2+1，
f(x)在[−1,1]上单调递增，f(x)最小值为−12．
g(x)=(x 2+1)[f(x)+1]+m(x +1)−2
=(x 2+1)[x x 2+1+1]+m(x +1)−2，，
g(x)=x 2+(m +1)x +m−1，
因为对∃x 1∈[1,2]，∀x 2∈[−1,1]，使得g(x 1)≤2f(x 2)成立，所以∃x 1∈[1,2]，使g(x 1)≤[2f(x 2)]min =−1成立，
即∃x ∈[1,2]，使ℎ(x)=g(x)+1=x 2+(m +1)x +m ≤0成立，即ℎ(x)在[1,2]内的最小值小于等于0．
ℎ(x)对称轴x =−m +12，
 ①当−m +12≤1，即m ≥−3时，ℎ(x )min =ℎ(1)=2m +2，令2m +2≤0，得m ≤−1，
故−3≤m ≤−1;
 ②当1<−m +12<2，即−5<m <−3时，
ℎ(x )min =ℎ(−m +12)=−(m−1)24
≤0，满足题意，故−5<m <−3;
 ③当−m +12≥2，即m ≤−5时，ℎ(x )min =ℎ(2)=3m +6，令3m +6≤0，得m ≤−2，
故m ≤−5;
综上所述：实数m 的取值范围是(−∞,−1]．。