2021-2022学年-有答案-山东省聊城市某校初三(上)期中考试数学试卷

2021-2022学年山东省聊城市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题
1. 在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况()
A.都扩大2倍
B.都缩小2倍
C.都不变
D.不确定
2. 下列说法中正确的是()
A.对应角相等的多边形一定是相似多边形
B.对应边的比相等的多边形是相似多边形
C.边数相同的多边形是相似多边形
D.边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形是相似多边形
3. 如图，在△ABC中，若DE//BC,AD=3，BD=6，AE=2，则AC的长为()
A.4
B.5
C.6
D.8
4. 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE // AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE:S△COA=1:25，则S△BDE与S△CDE的比是()
A.1:3
B.1:4
C.1:5
D.1:25
5. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∼△AED()
A.∠AED=∠B
B.∠ADE=∠C
C.AD
AE =AC
AB
D.AD
AB
=AE
AC
6. 在平面直角坐标系中，点P(m, n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为()
A.(2m, 2n)
B.(2m, 2n)或(−2m, −2n)
C.(1
2m, 1
2
n) D.(1
2
m, 1
2
n)或(−1
2
m, −1
2
n)
7. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，已知a和∠A，则下列关系式中正确的是()
A.c=a⋅sinA
B.c=a
sinA C.c=a⋅cosB D.c=a
cosA
8. 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是()
A.9
B.10
C.12
D.14
9. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD，CB，AC，∠DOB=60∘，EB=2，那么CD的长为()
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
10. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30∘，则∠C的大小是()
A.30∘
B.45∘
C.60∘
D.40∘
̂=AĈ，∠BAC=50∘，则∠AEC的度数为()
11. 如图，在⊙O中，AB
A.65∘
B.75∘
C.50∘
D.55∘
̂上一点，且DF̂=BĈ，连接CF并延长交12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD
AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为()
A.45∘
B.50∘
C.55∘
D.60∘
二、填空题
△ABC中，∠C=90∘，AB=8，cosA=3
，则BC的长________．
4
直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是
________.
已知山坡的坡度i=1:√3，则坡角为________度．
如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=________．
如图，AB是⊙O直径，弦AD，BC相交于点E，若CD=5，AB=13，则
DE
=________．
BE
三、解答题
计算.
(1)2sin230∘⋅tan30∘+cos60∘tan60∘；
sin45∘+sin260∘−√2cos45∘.
(2)√2
2
如图，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，求证：△AMF∼△BGM．
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加
工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P,N分别在AB，AC上，
则这个正方形零件的边长是多少？
如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37∘，旗杆底部B点的俯角为45∘，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌
声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）
今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60∘方向上，前进100米到达B
处，又测得航标C在北偏东45∘方向上（如图），在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？(√3≈1.73)
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，当CE=BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，BC，若∠BAC=30∘，CD=6cm．
(1)求∠BCD的度数；
(2)求⊙O的直径．
如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．(1)求证：∠BAC=∠CBP；
(2)求证：PB2=PC⋅PA；
(3)当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．
参考答案与试题解析
2021-2022学年山东省聊城市某校初三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的判定
锐角三角函数的定义
【解析】
本题主要考查了相似三角形的判定和锐角三角函数的定义的相关知识点，需要掌握相
似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似(ASA)；直角三角形被斜边上的高
分成的两个直角三角形和原三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)；三边对应成比例，两三角形相似(SSS)；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数才能正确解答此题．
【解答】
解：∵Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，
∴扩大后形成的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的正弦值与余弦值都不变.
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
相似图形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，对应角相等的多边形，若各边不对应成比例，不一定是相似多边形，故A错误；B，对应边的比相等的多边形，若对应角不相等，不一定是相似多边形，故B错误；
C，边数相同的多边形，如正方形与菱形不是相似多边形，故C错误；
D，由相似多边形的定义，可知边数相同、对应角相等、对应边成比例的的多边形是
相似多边形，故D正确.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵AD=3，BD=6∴AB=AD+BD=9，∵DE//BC，
∴AD
AB =AE
AC
，
即3
9=2
AC
，
∴AC=6.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到
DE AC =1
5
，BE
BC
=DE
AC
=1
5
，结合图形得到BE
EC
=1
4
，得到答案．
【解答】
解：∵DE // AC，
∴△DOE∼△COA，又S△DOE:S△COA=1:25，
∴DE
AC =1
5
，
∵DE // AC，
∴△BDE∼△BAC，
∴BE
BC =DE
AC
=1
5
，
∴BE
EC =1
4
，
∴S△BDE与S△CDE的比是1:4.
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的判定
【解析】
由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断．
【解答】
解：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∼△AED；
当AD
AC =AE
AB
时，△ABC∼△AED．
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
位似变换
坐标与图形性质
【解析】
根据位似变换的性质计算即可．
【解答】
解：点P(m, n)是线段AB上一点，
以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为(m×2, n×2)或(m×(−2)，n×(−2))，
即(2m, 2n)或(−2m, −2n).
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
根据三角函数的定义即可作出判断．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠C的对边为c，∠A的对边为a，
∴sinA=a
c
，
∴a=c⋅sinA，c=a
sinA
．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
切线长定理
直角梯形
【解析】
由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．
【解答】
解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，
所以梯形的周长是5×2+4=14．
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
垂径定理
勾股定理
含30度角的直角三角形
【解析】
根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可以容易求出∠BCE=30∘，在直角三角形BCE中，利用含30∘的直角三角形的性质和勾股定理算出CE的长，最后根据垂径定理求得CD的长
【解答】
解：∵∠DOB=60∘，
∴∠BCE=30∘．
在Rt△BCE中，
∵BE=2，∠BCE=30∘，
∴BC=4，CE=√BC2−BE2=√42−22=2√3，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD=2CE=4√3.
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
切线的性质
【解析】
根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO＝90∘，利用∠A＝30∘得到
∠AOB＝60∘，再根据三角形外角性质得∠AOB＝∠C+∠OBC，由于∠C＝∠OBC，所以∠AOB＝30∘．
∠C=1
2
【解答】
解：连结OB，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90∘，
∵∠A=30∘，
∴∠AOB=60∘，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
而∠C=∠OBC，
∠AOB=30∘．
∴∠C=1
2
故选A.
11.
【答案】
A
【考点】
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
̂=AĈ，根据弧与弦的关系，可得AB=AC，然后由等腰三角形的性由在⊙O中，AB
质，求得∠B的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】
̂=AĈ，
解：∵在⊙O中，AB
∴AB=AC，
∵∠BAC=50∘，
∴∠B=∠ACB=65∘，
∴∠AEC=∠B=65∘．
故选A．
12.
【答案】
B
【考点】
圆内接四边形的性质
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根
据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105∘，
∴∠ADC=180∘−∠ABC=180∘−105∘=75∘．
̂=BĈ，∠BAC=25∘，
∵DF
∴∠DCE=∠BAC=25∘，
∴∠E=∠ADC−∠DCE=75∘−25∘=50∘．
故选B.
二、填空题
【答案】
2√7
【考点】
锐角三角函数的定义
勾股定理
解直角三角形
【解析】
首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．【解答】
解：如图，
∵cosA=AC
，
AB
=6，
∴AC=AB⋅cosA=8×3
4
∴BC=√AB2−AC2=√82−62=2√7．
故答案为：2√7．
【答案】
r>5
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵直线l与半径r的⊙O相交，
∴d<r.
∵点O到直线l的距离为5，
∴d=5，
∴r>5.
故答案为：r>5.
【答案】
30
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
坡度比=垂直高度：水平距离，即为坡角的正切值．
【解答】
解：设坡角为α，则
tanα=1:√3=√3
，
3
∴坡角α=30∘．
故答案为：30.
【答案】
90∘
【考点】
三角形的内切圆与内心
三角形内角和定理
【解析】
根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题目中的三个角的和．
【解答】
解：∵ 点P 是△ABC 的内心，
∴ PB 平分∠ABC ，PA 平分∠BAC ，PC 平分∠ACB ，
∴ ∠PBC =12∠ABC ，∠PCA =12∠ACB ，∠PAB =12∠BAC . ∵ ∠ABC +∠ACB +∠BAC =180∘，
∴ ∠PBC +∠PCA +∠PAB
=12(∠ABC +∠ACB +∠BAC)=90∘.
故答案为：90∘.
【答案】
513
【考点】
相似三角形的性质与判定
圆周角定理
【解析】
根据圆周角定理得到∠C =∠A ，∠D =∠B ，则可判断△ECD ∽△EAB ，得出对应边成比例，即可得出结果．
【解答】
解：∵ ∠C =∠A ，∠D =∠B ，
∴ △ECD ∼△EAB ，
∴ DE BE =CD AB =513.
故答案为：513． 三、解答题
【答案】
解：(1)原式=2×(12)2×
√33+12×√3
=2×14×√33+√32
=√36+√32
=
2√33；
(2)原式=
√22×√22+(√32)2−√2×√22 =12+34
−1 =14.
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)原式=2×(12)2×
√33+12×√3 =2×14×√33+√32
=
√36+√32 =
2√33；
(2)原式=
√22×√22+(√32)2−√2×√22 =12+34
−1 =14.
【答案】
证明：∵ ∠DMB 是△AMF 的外角，
∴ ∠DMB =∠AFM +∠A ，
∵ ∠DMB =∠BMG +∠DME ，且∠A =∠DME ，
∴ ∠AFM =∠BMG ，
∵ ∠A =∠B ，
∴ △AMF ∼△BGM .
【考点】
相似三角形的判定
【解析】
由于∠DMB 是△AMF 的外角，所以∠DMB =∠AFM +∠A ，又因为∠DMB =∠BMG +∠DME ，所以∠AFM =∠BMG ，从而可证明△AMF ∽△BGM
【解答】
证明：∵ ∠DMB 是△AMF 的外角，
∴ ∠DMB =∠AFM +∠A ，
∵∠DMB=∠BMG+∠DME，且∠A=∠DME，∴∠AFM=∠BMG，
∵∠A=∠B，
∴△AMF∼△BGM.
【答案】
解：设AD交PN于点E，如图，
设正方形的边长为xmm，
则AE=AD−x=80−x，
∵PQMN是正方形，
∴PN // QM，
∴△APN∼△ABC，
∴PN
BC =AE
AD
，
即x
120=80−x
80
，
解得x=48，
答：这个正方形零件的边长是48mm．
【考点】
相似三角形的性质与判定
相似三角形的应用
【解析】
设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【解答】
解：设AD交PN于点E，如图，
设正方形的边长为xmm，
则AE=AD−x=80−x，
∵PQMN是正方形，
∴PN // QM，
∴△APN∼△ABC，
∴PN
BC =AE
AD
，
即x
120=80−x
80
，
解得x=48，
答：这个正方形零件的边长是48mm．
【答案】
解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45∘，
则BD=CD=9米．
在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37∘，
则AD=CD⋅tan37∘≈9×0.75=6.75（米）．
所以，AB=AD+BD=15.75(米)，
整个过程中旗子上升高度是：15.75−2.25=13.5（米），
因为耗时45s，
所以上升速度v=13.5
45
=0.3（米/秒）．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=”进行解答即可．
【解答】
解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45∘，
则BD=CD=9米．
在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37∘，
则AD=CD⋅tan37∘≈9×0.75=6.75（米）．
所以，AB=AD+BD=15.75(米)，
整个过程中旗子上升高度是：15.75−2.25=13.5（米），
因为耗时45s，
所以上升速度v=13.5
45
=0.3（米/秒）．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.
【答案】
解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，
在Rt△ACD中，AD=CD
tan∠CAD
=√3CD，
在Rt△BDC中，BD=CD
tan∠CBD
=CD，
∴AB=AD−BD=√3CD−CD=100，
解得CD=50(√3+1)≈136.5米>120米，
因而如果这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，在直角△ACD和直角△BDC中，AD，BD都可以用CD表示出来，根据AB的长，就得到关于CD的方程，就可以解得CD的长，与120米进行比较即可．【解答】
解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，
=√3CD，
在Rt△ACD中，AD=CD
tan∠CAD
=CD，
在Rt△BDC中，BD=CD
tan∠CBD
∴AB=AD−BD=√3CD−CD=100，
解得CD=50(√3+1)≈136.5米>120米，
因而如果这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．
【答案】
解：BE与⊙O相切；
理由：连接OB，如图，
∵CE=BE，
∴∠2=∠1=∠3，
∵OC⊥OA，
∴∠2+∠A=90∘.
又∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠3+∠OBA=90∘，
即∠OBE=90∘，
∴BE与⊙O相切．
【考点】
切线的判定与性质
【解析】
连接OB，根据角与角之间的相互关系可得∠OBE=90∘，则OB⊥BE，故BE与⊙O相切．
【解答】
解：BE与⊙O相切；
理由：连接OB，如图，
∵CE=BE，
∴∠2=∠1=∠3，
∵OC⊥OA，
∴∠2+∠A=90∘.
又∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠3+∠OBA=90∘，
即∠OBE=90∘，
∴BE与⊙O相切．
【答案】
解：(1)∵直径AB⊥CD，
∴BC
̂=BD̂，
∴∠BCD=∠CAB=30∘；
(2)∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm.
在Rt△ACE中，∠BAC=30∘，
∴AC=6cm.
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
在Rt△ACB中，
AB=AC
cos∠BAC =6
cos30∘
=4√3cm．
∴⊙O的直径为4√3cm.
【考点】
圆周角定理
解直角三角形
垂径定理
【解析】
（1）由垂径定理知，BC
̂=BD̂，∴∠DCB=∠CAB=30∘；
（2）由垂径定理知，点E是CD的中点，有CE=1
2
CD=3，AB是直径，∴∠ACB= 90∘，再求出AC的长，利用∠A的余弦即可求解．
【解答】
解：(1)∵直径AB⊥CD，
∴BC
̂=BD̂，
∴∠BCD=∠CAB=30∘；
(2)∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm.
在Rt△ACE中，∠BAC=30∘，
∴AC=6cm.
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
在Rt△ACB中，
AB=AC
cos∠BAC =6
cos30∘
=4√3cm．
∴⊙O的直径为4√3cm.
【答案】
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，∴∠ACB=∠ABP=90∘，
∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90∘，
∴∠BAC=∠CBP；
(2)证明：∵∠PCB=∠ABP=90∘，
∠P=∠P，
∴△ABP∼△BCP，
∴PB
AP =PC
PB
，
∴PB2=PC⋅PA；
(3)解：∵PB2=PC⋅PA，AC=6，CP=3，∴PB2=9×3=27，
∴PB=3√3，
∴sin∠PAB=PB
AP =3√3
9
=√3
3
．
【考点】
相似三角形的性质与判定
解直角三角形
切线的性质
【解析】
（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90∘，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，
∴∠ACB=∠ABP=90∘，
∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90∘，
∴∠BAC=∠CBP；
(2)证明：∵∠PCB=∠ABP=90∘，
∠P=∠P，
∴△ABP∼△BCP，
∴PB
AP =PC
PB
，
∴PB2=PC⋅PA；
(3)解：∵PB2=PC⋅PA，AC=6，CP=3，∴PB2=9×3=27，
∴PB=3√3，
∴sin∠PAB=PB
AP =3√3
9
=√3
3
．。