四川省达州市大竹县文星中学高三数学下学期开学调研考试试题 文

四川省达州市大竹县文星中学2015届高三数学下学期开学调研考试试题 文
考试时间：120分钟；满分150分 第I 卷（选择题）
一、选择题：共12题 每题5分 共60分 1．设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则 A.Q P ⊆ B.P Q ⊆
C.Q C P R ⊆
D.P C Q R ⊆
【答案】B
【解析】本题考查集合间的基本关系。

Q=｛x ︱22x -<<｝，所以P Q ⊆。

选B 。

2．|(3＋2i)－(4－i)|等于( )
A.58 B ．10 C ．2 D ．－1＋3i
【答案】 B
【解析】 原式＝|－1＋3i|＝－
2
＋32
＝10.
3．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是 A.对任意x R ∈，都有21x < B.不存在x R ∈，使得21x < C.存在0x R ∈，使得2
01x ≥ D.存在0x R ∈，使得2
01x <
【答案】D
【解析】本题考查本题考查全称量词与存在量词。

根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意
x ∈R 都有21x ≥”的否定是：存在
，使得.所以选D.
4．函数()2sin 1
x
f x x =
+的图象大致为
【答案】A
【解析】本题考查三角函数的图像和奇函数的图像性质。

首先由()f x 为奇函数，得()2
sin 1
x
f x x =+的图象关于原点对称，排除C 、D ，又由0πx <<时，()0f x >知，所以选A.
5．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2
x ∈时，
12
()log (1)f x x =-，则()f x 在
区间3(1,)2
内是 A.减函数且()0f x > B.减函数且()0f x < C.增函数且()0f x > D.增函数且()0f x <
【答案】B
【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性。

由此可知函数的周
期为2，根据复合函数判断可知函数
利用函数和周期性可知B 正确.
6．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝ A.－4 B.－3
C.－2
D.－1
【答案】B
【解析】本题考查平面向量的数量积。

由题意得：()()m n m n +⋅-=22()()0m n -=，即
22(1)1(2)4λλ++=++，解得3λ=-；选B 。

7．已知实数
满足约束条件0
290x y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
，则
的最大值等于
A.9
B.12
C.27
D.36
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划问题.
作出约束条件所表示的可行域如图，由图可知，目标函数在点A 处取到最
大值，解得
故选B 。

8．已知两条直线和
,1l 与函数
的图象从左至右相交于点
A B 、,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D 、.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为
,a b ,当m 变化时,
b
a
的最小值为 A.16 B.8
C.4
D.2
【答案】B
【解析】本题考查函数的图像与性质。

令A,B,C,D 各点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，可得：21log x m -=，
22log x m =，234log 1x m -=
+，244log 1x m =+；即12m x -=，22m x =，4132m x -
+=，414
2m x +=；所以13a x x =-，
24b x x =-；所以
4
411131
41
222
282
2
m
m m m m
m +++
-+--+-=≥=-，当m=1时，等号成立；所以
b
a
的最小值为8。

选B 。

9．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该四棱锥的体积是
3
3
3
3
【答案】C
【解析】本题考查的知识点为三视图求面积、体积.由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底
的四棱锥,1S 4118h 3V Sh =⨯+==∴==（）, 故本题正确答案是C
10．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是
A.21
B.39
C.81
D.102
【答案】D
【解析】本题考查流程图。

循环1次，s=3，n=2；循环2次，s=21，n=3；循环3次，s=102，n=4，此时不满足条件，结束循环，输出102.选D 。

11．设 1.1
3.1
3log 7,2,0.8a b c ===，则
A.b a c <<
B.c a b <<
C.c b a <<
D.a c b <<
【答案】B
【解析】本题考查指数与对数的比较大小。

3331log 3log 7log 92=<<=， 1.11222b =>=，
3.100.80.81c =<=，所以12c a b <<<<；选B 。

12．下列说法正确的是 A.若b a >，则
b
a 1
1< B.函数2)(-=x
e x
f 的零点落在区间(0,1)内
C.函数1
()f x x x
=+
的最小值为2 D.若4=m ，则直线012=++my x 与直线028=++y mx 互相平行 【答案】B
【解析】本题考查命题的真假。

若a =1，b =-1，不等式不成立，排除A ；(0)(1)2(2)0f f e ⋅=--<，而且函数()f x 在区间(0,1)内单增，所以()f x 在区间(0,1)内存在唯一零点，B 正确；令x =-1，则
()2f x =-，不满足题意，C 错；若4=m ，则直线重合，D 错；所以选B 。

第II 卷（非选择题）
二、填空题：共4题 每题4分 共16分 13．已知集合，
，则
.
【答案】
.
【解析】本题考查交集及其运算；
，
()1,3.
14．已知函数)3
2cos(2sin )(π
++=x x a x f 的最大值为1，则=a .
【答案】0 【
解
析
】
本
题
考
查
三角函数的性质与三角变换。

1()(2cos 2f x a x x =+=)x ϕ+；又因为函数的最大值为1，所以
1=，解得a =0。

15．已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 【答案】
【解析】本题主要考查平面向量的运算.
因为向量a
与向量b 的夹角为︒120，所以b
在a
上的投影为0
1
||cos120||2
b b =-，问题转化为求||b ， 因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--=
故331
||b +=
所以b
在a
上的投影为. 16．给出定义：若11,,()22x m m m Z ⎛⎤
∈-
+∈ ⎥⎝⎦
，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列函数{}()f x x x =-的四个命题：
①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数；②函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ③函数()y f x =的图像关于直线()2
k
x k Z =
∈对称； ④当(]0,2x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点.
其中正确命题的序号是 【答案】②③④
【解析】本题主要考查新定义函数，函数的单调性、周期性、对称性以及函数的零点问题.要求能根据定义画出函数的图像，从中体会数形结合思想的应用.依题可知当11,22x ⎛⎤
∈-
⎥⎝
⎦时，{}()0f x x x x =-=-；当13,22x ⎛⎤∈
⎥⎝⎦时，()1f x x =-；当35,22x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()2f x x =-，作出函数的图像，
可知①错，②，③对，再作出ln y x =的图像可判断有两个交点，④对.
三、解答题：共6题 每题12分 共74分
17．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量(,2)m b a c =-，
(cos 2cos ,cos )n A C B =-，且m n ⊥.
(1)求
sin sin C
A
的值；
(2)若2,||35a m ==，求△ABC 的面积S . 【答案】(1)由
可得b(cosA ﹣2cosC)+(a ﹣2c)cosB=0
根据正弦定理可得，sinBcosA ﹣2sinBcosC+sinAcosB ﹣2sinCcosB=0 ∴(sinBcosA ﹣sinAcosB)﹣2(sinBcosC+sinCcosB)=0 ∴sin(A+B)﹣2sin(B+C)=0 ∵A+B+C=π ∴sinC ﹣2sinA=0
sin 2sin C
A
∴
= (2)因为a=2，35m =，所以b=3，
所以2223427cos ,sin 2348A A +-====⨯⨯， 所以△ABC
的面积为11sin 3422S bc A =
=⨯⨯=
【解析】主要考查了正弦定理及余弦定理在三角形求解中的应用；(1)由
可得b(cosA ﹣2cosC)+(a
﹣2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA ﹣2sinBcosC+sinAcosB ﹣2sinCcosB ，化简即可.(2)由(1)c=2a 可求c ，由
可求b ，结合余弦定理可求cosA ，利用同角平方关系可求sinA ，代入三角形的面积公式
1
sin 2
S bc A =可求.
18．（12分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2n n
n n
n a a a n N a ++==
∈+. （Ⅰ）证明数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）设(1)n
n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】解：（Ⅰ）
又因为11
=a ，所以221
1
=a .2，公差为1的等差数列.
（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知11)1(22+=⨯-+=n n a n
n
（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知，n
n n b 2⋅=，
所以 n
n n S 2 (2322213)
2
⋅++⋅+⋅+⋅=， ① ①2⨯得 1
4
3
2
2......2322212+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n S ②
②—①得 1
3
2
2
2......222+⋅+-----=n n
n n S
=22)1(22
1)
21(211+⋅-=⋅+---++n n n n n .
【解析】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的概念、通项公式，等比数列的求和公式以及利用错位相减法对数列求和.
19．（13分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥PD ，AD=PD=2EA ，F,G,H 分别为PB ，EB ，PC 的中点。

（1）求证：FG ∥平面PED ；
（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小
.
【答案】(1)证明：因为F,G 分别为PB ，EB 的中点，所以FG ∥PE. 又
FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，
所以FG ∥平面PED
（2）因为EA ⊥平面ABCD ，EA ∥PD ，所以PD ⊥平面ABCD 因为AD,CD 在平面ABCD 内，所以PD ⊥AD,PD ⊥
CD. 四边形ABCD 是正方形，所以AD ⊥CD 。

以D 为原点,分别以直线DA,DC,DP 为x 轴, y 轴,z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1。

因为 AD=PD=2EA ，
D ∴()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)
E ,
(2,2,2)PB =-,(0,2,2)PC =-.
因为F,G,H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，
F
∴()1,1,1，G 1
(2,1,)2，H (0,1,1),1(1,0,)2GF =-,1
(2,0,).2
GH =-
（解法一)设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则110
GF GH ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n , 即1111
1021202
x z x z ⎧
-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令11y =，得1(0,1,0)=n .
设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则2200PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,
即222222220
220
x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n . 所以1
cos ,n . 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π
4
（或45︒） （解法二)
(0,1,1)(2,0,0)0DH BC ⋅=⋅-=，(0,1,1)(0,2,2)0DH PC ⋅=⋅-=,
DH ∴是平面PBC 一个法向量.
(0,2,0)(1,0,0)0DC FH ⋅=⋅-=，1
(0,2,0)(1,0,)02
DC FG ⋅=⋅-=,
DC
∴是平面平面FGH 一个法向量.
cos ,2DH DC DH DC DH DC
⋅=
=
=⋅ ∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为
π
4
（或45︒）.
（解法三) 延长AE 到,Q 使得,AE EQ =连,.PQ BQ
2PD EA AQ ==，EA ∥PD ， ∴四边形ADPQ 是平行四边形，PQ ∥AD
四边形ABCD 是正方形，所以BC ∥AD,PQ ∥BC. 因为F,H 分别为PB ，PC 的中点，所以FH ∥BC,FH ∥PQ. 因为FH ⊄平面PED ，PQ ⊂平面PED ， FH ∴∥平面PED.
,,FH FG F FH FG =⊂平面,ADPQ ∴平面FGH ∥平面.ADPQ
故平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角与二面角D PQ C --相等.
,PQ CD PQ PD ⊥⊥,,,PD CD D PD DC =⊂平面,PDC PQ ∴⊥平面.PDC
PC ⊂平面,,PDC PQ PC ∴⊥DPC ∠是二面角D PQ C --的平面角.
,,45.AD PD AD PD DPC =⊥∴∠=︒
平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π
4
（或45︒）. 【解析】本题考查线面平行，空间角问题。

20．（10分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
【答案】 (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则 P (A )＝C 26C 1
4＋C 3
6C 3
10＝60＋20120＝2
3， P (B )＝C 28C 1
2＋C 3
8C 10＝56＋56120＝14
15
. (2)解法1：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－23×⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－1415
＝145
.
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P ＝1－P (A ·B )＝1－145＝4445
.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44
45
.
解法2：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×115＋13×1415＋
23
×1415＝4445
. 21．（13分）抛物线C :2y mx =（0m >）,焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .
（1）若抛物线C 上有一点(,2)R R x 到焦点F 的距离为3，求此时m 的值； （2）是否存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求 出m 的值；若不存在，说明理由
.
【答案】（1）
抛物线C 的焦点1(0,
)4F m 。

∴112344R RF y m m =+=+=，得1
4m =。

（或利用222221211(0)(2)43416R RF x m m m m
=-+-=++-=得2
801610
m m --=，14m ∴=或120
m =-（舍去））
(2)联立方程2220y mx x y ⎧=⎨-+=⎩，消去y 得2220mx x --=，
设22
1122(,),(,)A x mx B x mx ，则121222x x m x x m ⎧
+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩
（*），
P 是线段AB 的中点，∴22
1212
(,)22
x x mx mx P ++，即1(,)p P y m ，
11(
,)Q m m ∴，得22
11221111(,),(,)QA x mx QB x mx m m m m
=--=--， 若存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形，则0QA QB ⋅=，
即2212121111()()()()0x x mx mx m m m m
-
⋅-+--=， 结合（*）化简得246
40m m
--+=，
即22320m m --=，2m ∴=或1
2
m =-（舍去），
∴存在实数2m =，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形。

【解析】本题考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

22．（14分）已知函数)2lg(2)(),1lg()(t x x g x x f +=+=（t 为参数） （1）写出函数)(x f 的定义域和值域；
（2）当]1,0[∈x 时，求函数)(x g 解析式中参数t 的取值范围； （3）当]1,0[∈x 时，如果)()(x g x f ≤，求参数t 的取值范围。

【答案】（1）函数()lg(1)f x x =+的定义域为（﹣1,+∞），值域为R 。

（2）∵2x +t ＞0，所以t >-2x ，x ∈[0,1]，∴t >0。

（3）∵当x ∈[0,1]时，)()(x g x f ≤，所以
2x t
+2x t -≤
令()2g x x =-，则`
()20
g x =
-<， 故函数()g x 为减函数，故当x =1时，函数()g x 取得最大值为1， ∴t ≥1。

【解析】本题考查函数的性质，导数在研究函数中的应用。