创新设计(浙江专用)高考数学二轮复习 大题规范天天练

星期六 (综合限时练)
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟) 1.(本小题满分12分)在公比为2的等比数列{a n }中，a 2与a 5的等差中项是9 3. (1)求a 1的值；
(2)若函数y ＝a 1sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋φ(其中0<φ<π)的一部分图象如图所示，M (－1，a 1)，N (3，－a 1)为图象上的两点，设∠MON ＝θ，其中O 为坐标原点，0<θ<π，求cos(θ－φ)的值. 解 (1)由题可知a 2＋a 5＝183，又a 5＝8a 2，故a 2＝23，∴a 1＝ 3.
(2)∵点M (－1，a 1)在函数y ＝a 1sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋φ的图象上，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，又∵0<φ<π，∴φ＝34π.
连接MN ，在△MON 中，由余弦定理得
cos θ＝|OM |2
＋|ON |2
－|MN |2
2|OM ||ON |＝4＋12－2883＝－3
2.
又∵0<θ<π，∴θ＝5
6π，
∴cos(θ－φ)＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6－3π4＝cos 5π6cos 3π4＋sin 5π6sin 3π4＝6＋24.
2.(本小题满分12分)甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校： 分组 [70，80)
[80，90)
[90，100)
[100，110)
频数 3 4 7 14 分组 [110，120)
[120，130)
[130，140)
[140，150]
频数 17
x
4
2
乙校： 分组 [70，80)
[80，90)
[90，100)
[100，110)
频数
1
2
8
9
(1)计算x ，y 的值；
(2)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；
(3)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校抽1人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率.
参考公式：K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（a ＋c ）（c ＋d ）（d ＋b ）
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ，
临界值表
解 (1)从甲校抽取110×600600＋500＝60(人)，从乙校抽取110×500
600＋500＝50(人)，
故x ＝9，y ＝6. (2)表格填写如下：
K 2
的观测值k ＝110×（15×30－20×45）
60×50×35×75≈2.829＞2.706.
故有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.
(3)设两班各取一人，有人优秀为事件A ，乙班学生不优秀为事件B ，根据条件概率，则所求事件的概率P (B |A )＝
P （A ∩B ）P （A ）＝3
11
.
3.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，
AC ⊥AB ，AD ⊥DC ，∠DAC ＝60°，PA ＝AC ＝2，AB ＝1.
(1)求二面角A －PB －C 的余弦值；
(2)在线段CP 上是否存在一点E ，使得DE ⊥PB ，若存在，求线段CE 的长度，不存在，说明理由.
解 (1)如图，以AB →，AC →，AP →
分别为x ，y ，z 轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则P (0，0，2)，A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，2，0)，
D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
32，12，0. 易知AC →
＝(0，2，0)是平面PAB 的法向量， ∵PC →＝(0，2，－2)，PB →
＝(1，0，－2)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，
x －2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(2，1，1).
∴cos 〈n ，AC →
〉＝n ·AC →|n |·|AC →|＝66，
则二面角A －PB －C 的余弦值为
66
. (2)假设在CP 上存在E 点，使DE ⊥PB ， 则过E 作EF ⊥AC 于F ，由已知得EF ∥PA ， 设EF ＝h ，则E (0，2－h ，h ).
∴DE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3
2－h ，h ，PB →＝(1，0，－2).
∵DE ⊥PB ，∴DE →·PB →
＝32－2h ＝0，h ＝34，
∴CE ＝2h ＝
6
4
. 4.(本小题满分12分)椭圆C 1：x 2
2＋y 2
＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b
＞0)的一个焦点坐标为(5，0)，斜率为1的直线l 与椭圆C 2相交于A 、B 两点，线段AB 的中点H 的坐标为(2，－1). (1)求椭圆C 2的方程；
(2)设P 为椭圆C 2上一点，点M ，N 在椭圆C 1上，且OP →＝OM →＋2ON →
，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解 (1)设A (x A
，y A
)，B (x B
，y B
)，H (x H
，y H
)，则⎩⎪⎨⎪
⎧x 2A a 2＋y 2A
b
2＝1，x 2
B
a 2
＋y 2
B
b 2
＝1，
∴y A －y B x A －x B ＝－b 2a 2·x A ＋x B y A ＋y B ＝－b 2a 2·x H y H
， 又l 的斜率为1，H 的坐标为(2，－1)，
∴1＝－b 2a 2·2－1
，即a 2＝2b 2
，
又a 2
－b 2
＝5，∴b 2
＝5，a 2
＝10， ∴C 2的方程为：x 210＋y 2
5
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则
∵OP →＝OM →＋2ON →
，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋2x 2，y 0
＝y 1＋2y 2.
又x 20＋2y 20＝10，∴(x 1＋2x 2)2＋2(y 1＋2y 2)2
＝10， 即x 2
1＋2y 2
1＋4(x 2
2＋2y 2
2)＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10， 又x 2
1＋2y 2
1＝2，x 2
2＋2y 2
2＝2，
∴10＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10，即x 1x 2＋2y 1y 2＝0， ∴k OM k ON ＝
y 1y 2x 1x 2＝－12
. 即直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为－1
2.
5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln （x ＋1）
x
.
(1)判断f (x )在(0，＋∞)的单调性； (2)若x ＞0，证明：(e x
－1)ln(x ＋1)＞x 2
.
解 (1)函数f (x )的定义域是(－1，0)∪(0，＋∞)，
对f (x )求导得f ′(x )＝x
x ＋1
－ln （x ＋1）
x
2
， 令g (x )＝
x
x ＋1
－ln(x ＋1)，
又g ′(x )＝1（x ＋1）2－1x ＋1＝－x
（x ＋1）
2＜0(x ＞0).
故g (x )是(0，＋∞)上的减函数， 所以g (x )＜g (0)＝－ln 1＝0.
所以f ′(x )＜0，函数f (x )是(0，＋∞)上的减函数. (2)将不等式(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2
等价为ln （x ＋1）x ＞x e x －1，
因为x
e x －1＝ln e x e x －1＝ln （e x
－1＋1）
e x
－1
， 故原不等式等价于ln （x ＋1）x ＞ln （e x
－1＋1）e x
－1， 由(1)知，f (x )＝ln （x ＋1）
x
是(0，＋∞)上的减函数，
故要证原不等式成立，只需证明：当x ＞0时，x ＜e x
－1，
令h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x
－1＞0，h (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )＞h (0)＝0，即x ＜e x －1，故f (x )＞f (e x
－1). 即ln （x ＋1）x ＞ln （e x
－1＋1）e x
－1＝x e x －1， 故(e x
－1)ln(x ＋1)＞x 2
.
6.请考生在以下三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，PA 、PC 切⊙O 于A 、C ，PBD 为⊙O 的割线. (1)求证：AD ·BC ＝AB ·DC ；
(2)已知PB ＝2，PA ＝3，求△ABC 与△ACD 的面积之比.
(1)证明 ∵PA 为⊙O 的切线，由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PDA ， 又∠APB 为△PAB 与△PDA 的公共角， ∴△PAB ∽△PDA ，∴PB PA ＝AB AD ，同理PB PC ＝BC
CD
，
又PA ＝PC ，∴AB AD ＝BC CD
， 即AD ·BC ＝AB ·DC .
(2)解 由圆的内接四边形的性质， 得∠ABC ＋∠ADC ＝π，
S △ABC S △ADC ＝1
2AB ·BC sin ∠ABC
12
AD ·DC sin ∠ADC ＝AB ·BC
AD ·DC
.
由(1)得，S △ABC S △ADC ＝AB 2AD 2＝PB 2PA 2＝4
9
.
B.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的方程x 2
＋y 2
＝4，直线l ：x ＝4，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点为作射线交⊙O 于A ，交直线l 于B . (1)写出⊙O 及直线l 的极坐标方程； (2)设AB 中点为M ，求动点M 的轨迹方程.
解 (1)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(2)设M (ρ，θ)，A (ρ1
，θ)，B (ρ2
，θ)，则⎩⎪⎨⎪
⎧ρ＝ρ1
＋ρ1
2，ρ1＝2，ρ2
cos θ＝4，
∴(2ρ－2)cos θ＝4⇒ρ＝
2
cos θ
＋1. C.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －14≤1
12
的解集为{x |n ≤x ≤m }.
(1)求实数m ，n ；
(2)若实数a ，b 满足|a ＋b |＜m ，|2a －b |＜n ，求证：|b |＜5
18
.
(1)解 不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －14≤1
12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪16
≤x ≤13，所以n ＝16，m ＝13.
(2)证明 ∴3|b |＝|3b |＝|2(a ＋b )－(2a －b )|≤2|a ＋b |＋|2a －b |， 又|a ＋b |＜m ，|2a －b |＜n ， 即|a ＋b |＜13，|2a －b |＜1
6，
∴3|b |＜56，∴|b |＜5
18
.。