浙江省温州市十校联合体高一下学期期中考试(数学).doc

浙江省温州市十校联合体高一下学期期中考试（数学）
（满分1考试时间：100分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1．sin 210︒=（ ）
A ．12
B ．12-
C
．
D
．
2．已知正方形ABCD 的边长为1，,AB a BC b ==，则a b +=（ ）
A ．2
B
C
D
3．终边与坐标轴重合的角α的集合是( ) A ．{α|α=k·360°，k ∈Z}
B ．{α|α=k·180°+90°，k ∈Z}
C ．{α|α=k·180°，k ∈Z}
D ．{α|α=k·90°，k ∈Z}
4．下列命题中，错误的是（ ） A ．若2a b =，则2a b
= B ．若a b ⊥，则0a b =
C ．若0,a a b a c ≠=，则b c =
D ．若a b =，则//a b
5得（ ）
A ．sin3cos3+
B ．sin3cos3-
C ．cos3sin3-
D ．(sin3cos3)±-
6．要得到
sin(2)
4y x π
=+的图象，只要把x y 2sin =的图象（ ） A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π
个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π
个单位
7．若cos 2sin 1,αα+=则tan α= ( )
A ．43-
或0 B ．34-或0 C ．43- D ．3
4-
8．已知(1,2),(2,4)A B --，点P 在线段AB 上，且
2AP PB
=，则点P 的坐标为（ ）
A ．(1,2)-
B ．(0,0)
C ．1(,1)2-
D ．(5,10)-
9．函数
2
cos y x x =的部分图象是（ ）
10．设两个不共线的向量,a b 满足:1,2,a b == a 与b 的夹角为600，则当a tb
-取得最小值时，t 的
值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．41
D ．21
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．计算cos47cos17sin 47sin17︒︒+︒︒= ； 12．已知12,e e 是一组基底，向量122a e e =+，128b xe e =-， 若//a b ，则x =______；
13．已知
(3,0),(5,5)a b ==-，设a 与b 的夹角为θ，则θ= ；
14．如果函数sin cos y x a x =+的图象关于直线
4x π
=-
对称，那么a 的值是 ；
15．设()f x =（cosx+sinx ）sinx ，且
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦，则函数()f x 的最大值是 ； 16．函数
()sin 3sin f x x x
=+，[0,2]x π∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值
范围是 ； 17．给出下列命题：
① 函数y=|sinx|的最小正周期是2π；
②函数)
3sin(π
+
=x y 的单调递增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++,22,22-ππππ；
③方程
cos lg x x
=有4个不同的实数根；
④ 在△ABC 中, 若tan tan 1A B >，则△ABC 必为锐角三角形； 其中正确的命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)。

三、解答题（本大题共5小题，共52分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
18．（本题满分8分）已知2tan =α，
（1）求ααααcos sin cos sin 2+-的值； （2）求ααα
α2
2cos sin cos sin 21--的值。

19．（本题满分8分）已知,αβ都是锐角，
35
sin ,cos(),
513ααβ=+=求sin β的值。

本题满分10分）已知三点)1,(m A ，)1,4(-B ，)1,2(m C -. （1）若,,A B C 三点共线，求m 的值；
（2）若,,A B C 构成三角形，且ABC ∠为钝角，求实数m 的取值范围。

21．（本题满分12分）某风景美丽的海滩的浪高y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y=f(t),下面是某日浪高的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m
3.5
2
0.50
1.98
3.51
2.02
0.49
1.99
3.5
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Acos ωt+b 的图象； （1）试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，浪高在1.25m~2m 之间可以允许冲浪爱好者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8:00至晚上0之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动。

22．（本题满分14分）已知),(cos ),sin ,(cos t x b x x a ==，设2)(-∙=b a x f 。

（1）当1=t 时，求函数()f x 的最大值和最小值，并写出使函数取得最小值的自变量x 的集合；` （2）若对一切x R ∈，有1)(≤x f 恒成立，求实数t 的取值范围。

参考答案
(完卷时间：100分钟； 满分：1
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B
D
D
C
B
C
A
A
A
C
二、填空题：（第11至17小题）
23 -4 1350
-1 212+ (2，4)
③④
三、解答题（本大题共5小题，共52分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 18．（本题满分8分）已知2tan =α，
（1）求ααααcos sin cos sin 2+-的值； （2）求ααα
α2
2cos sin cos sin 21--的值。

解：(1) （2）
1
tan 1
tan 2+-=
x x 原式
α
αααα22
22c o s s i n c o s
s i n 2c o s s i n --+=x 原式
=1
121
22=+-⨯------4分 1tan tan 21tan 22--+=ααα
=
31
14414=--+------4分
19．（本题满分8分）已知,αβ都是锐角，
35
sin ,cos(),
513ααβ=+=求sin β的值。

11．
14．
17．
12． 15． 13．
16．
()[]
分分分
），，（分
），，（解：86533531355413126sin )cos(cos )sin(sin sin 413
12
)(cos 1)sin(025
4
sin 1cos ,53sin 2022--------------------------------=⨯-⨯=---------------+-+=-+=∴----=+-=+∴∈+-----=-=∴=∈αβααβααβαββαβαπβααααπα
本题满分10分）已知三点)1,(m A ，)1,4(-B ，)1,2(m C - （1）若,,A B C 三点共线，求m 的值；
（2）若,,A B C 构成三角形，且B ∠为钝角，求实数m 的取值范围。

分
解之得分）（（分共线与三点共线，、、分）由已知可得解：（5533022)2()42C B A 1)2,2(),2,4(1------±=------=-⨯--⨯-∴-----∴-----=-=m m m m m
2ABC BA BC 0BA BC 61m 4)(2)2(2m)0m 38m 3m 3m {m |m 3m 310∠∴∙<---------------------⨯-+⨯-<≠±--->≠+∴>≠+------------（）是钝角
且与不共线分从而由（）可得（且分解得且实数的取值范围是且分
21．（本题满分12分）某风景美丽的海滩的浪高y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y=f(t),下面是某日浪高的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m
3.5
2.0
0.50
1.98
3.51
2.02
0.49
1.99
3.5
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Acos ωt+b 的图象； （1）试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，浪高在1.25m~2m 之间可以允许冲浪爱好者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8:00至晚上0之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动。

解：（1）由表中数据，知周期12=T
∴
612122πππω===
T …………2分
由0=t ，5.3=y ，得5.3=+b A 由3=t ，0.2=y ，得0.2=b ∴5.1=A …………4分
∴)
240(26cos 5.1≤≤+=t t y π
…………6分
（II ）由题知，当0.25.1≤≤y 时才可对冲浪者开放
∴226cos 5.15.1≤+≤t π， ∴0
6cos 21≤≤-t π
…………8分 ∴π
π
ππππππ
ππ
k t k k t k 22
362342326
22
+≤≤++≤
≤
+或)(Z k ∈ 即k t k k t k 129128124123+≤≤++≤≤+或)(Z k ∈…………① ∵240≤≤t ，故可令①中k 分别为0，1，
得43≤≤t 或98≤≤t 或1615≤≤t 或2120≤≤t …………10分
∴在规定时间上午8:00至晚上0之间，有2个小时时间可供冲浪者运动：分别是上午8:00至9:00与下午15:00至16:00。

…………12分
(注：利用其它方法解得酌情给分)
22．（本题满分14分）已知),(cos ),sin ,(cos t x b x x a ==，设2)(-∙=b a x f 。

（1）当1=t 时，求函数()f x 的最大值和最小值，并写出使函数取得最小值的自变量x 的集合；` （2）若对一切x R ∈，有1)(≤x f 恒成立，求实数t 的取值范围。

2221f (x)a b 2cos x t sin x 2sin x t sin x 12f (x)sin x sin x 1
13
324
13
sin x f (x)424
sin x 1f (x)35x 2k ,k Z,62
f (x)=∙-=+-=-+-----=-+-=--
------∴=
-------=--------π
=π-∈------2解：（）分当t=1时，（sinx-）分
当时，取到最大值分当时，取到最小值分
此时分
故使取得最小值的自变量x 的x 2k ,k Z 72π
=π-∈-----集合为{x }分
222(2)sin x t sin x 11sin x t sin x 208h(sin x)sin x t sin x 20000h(1)0h(1)012t t 1122
2t 23t 22t 3t 3,314-+-≤-+≥-----=-+≥⎧⎧
⎪⎪∆>∆>⎪⎪
∆≤-≥≥------⎨⎨⎪⎪⎪⎪<->⎩⎩-≤≤-≤<-<≤∴--------由已知可得，恒成立即恒成立分
也就是二次函数恒成立因此或或分
解得或或实数的取值范围是[]分
(注：利用其它方法解得酌情给分)。