11-12学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数
一、选择题
1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0
D ．以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.
2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋12x 2
在[－1,1]上的最小值为( )
A ．0
B ．－2
C ．－1
D.13
12
[答案] A
[解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2
＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0.
∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝13
12
∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A.
3．函数y ＝x 3
＋x 2
－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22
27
B ．2
C ．－1
D ．－4
[答案] C
[解析] y ′＝3x 2
＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1
3
或x ＝－1
当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝22
27；当x ＝1时，y ＝2.
所以函数的最小值为－1，故应选C.
4．函数f (x )＝x 2
－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为34
B ．最大值为1，最小值为4
C ．最大值为13，最小值为1
D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A
[解析] ∵y ＝x 2
－x ＋1，∴y ′＝2x －1，
令y ′＝0，∴x ＝12，f (－3)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3
4，f (0)＝1.
5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0
D ．不存在
[答案] A
[解析] y ′＝12x －121－x ＝12·1－x －x
x ·1－x
由y ′＝0得x ＝12，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上y ′>0，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上 y ′<0.∴x ＝12
时y 极大＝2，
又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2.
6．函数f (x )＝x 4
－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D
[解析] f ′(x )＝4x 3
－4＝4(x －1)(x 2
＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1) ∴该方程无解，
故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
7．函数y ＝2x 3
－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15
B ．5,4
C ．－4，－15
D ．5，－16
[答案] A
[解析] y ′＝6x 2
－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)． ∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4， ∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.
8．已知函数y ＝－x 2
－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )
A ．－32
B.1
2 C ．－12
D.12或－32
[答案] C
[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减， 最大值为f (a )＝－a 2
－2a ＋3＝154，
解得a ＝－12或a ＝－3
2
(舍去)．
9．若函数f (x )＝x 3
－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是
( )
A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3
B ．－3<k <－1或1<k <3
C ．－2<k <2
D ．不存在这样的实数 [答案] B
[解析] 因为y ′＝3x 2
－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由
y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<
－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.
10．函数f (x )＝x 3
＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)
D ．(－∞，－3)
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2
＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立
即a ≥－3x 2
在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2
)max ＝－3 ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题
11．函数y ＝x 32＋(1－x )3
2
，0≤x ≤1的最小值为______．
[答案]
22
由y ′>0得x >12，由y ′<0得x <1
2
.
此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴最小值在x ＝12时取得，y min ＝22.
12．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2
＋4x 3
在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．
[答案] 不存在；－283
4
[解析] f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2
，
令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝32；当x >32时，函数为增函数，当－2≤x ≤3
2时，函数为减
函数，所以无最大值，又因为f (－2)＝57，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－2834，所以最小值为－2834.
13．若函数f (x )＝x
x 2
＋a
(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为
3
3
，则a 的值为________． [答案]
3－1
[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2
(x 2＋a )
2
令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去) 当x >a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0； 当x ＝a 时，f (x )＝
a 2a ＝33，a ＝3
2
<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝3
3
，解得a ＝3－1.
14．f (x )＝x 3
－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________. [答案] 32
[解析] f ′(x )＝3x 2
－12 由f ′(x )>0得x >2或x <－2， 由f ′(x )<0得－2<x <2.
∴f (x )在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，
f (3)＝－1，
∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8， ∴M －m ＝32. 三、解答题
15．求下列函数的最值：
(1)f (x )＝sin2x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2≤x ≤π2；
(2)f (x )＝x ＋1－x 2
.
[解析] (1)f ′(x )＝2cos2x －1. 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝1
2
.
又x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]， ∴2x ＝±π3，∴x ＝±π
6
.
∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f (x )在区间端点的取值为
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝－π2
，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2
＝π2
. 比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.
(2)∵函数f (x )有意义，
∴必须满足1－x 2
≥0，即－1≤x ≤1， ∴函数f (x )的定义域为[－1,1]．
f ′(x )＝1＋12(1－x 2)－
1
2·(1－x 2)′＝1－x 1－x
2
. 令f ′(x )＝0，得x ＝
2
2
. ∴f (x )在[－1,1]上的极值为
f ⎝
⎛⎭⎪⎫22＝22
＋1－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝ 2. 又f (x )在区间端点的函数值为f (1)＝1，f (－1)＝－1，比较以上函数值可得f (x )max ＝2，
f (x )min ＝－1.
16．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2
.求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．
[解析] f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，＋∞. f ′(x )＝2x ＋22x ＋3＝4x 2
＋6x ＋2
2x ＋3
＝
2(2x ＋1)(x ＋1)
2x ＋3
.
当－3
2<x <－1时，f ′(x )>0；
当－1<x <－1
2时，f ′(x )<0；
当x >－1
2
时，f ′(x )>0，
所以f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，14上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝ln2＋14
.
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝ln 72＋116.
17．(2010·安徽理，17)设a 为实数，函数f (x )＝e x
－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值；
(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x
>x 2
－2ax ＋1.
[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．
解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．
[解析] (1)解：由f (x )＝e x
－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x
－2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
单调递减
单调递增
故f (x )(ln2，＋∞)，
f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln 2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．
(2)证明：设g (x )＝e x
－x 2
＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x
－2x ＋2a ，x ∈R .
由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2
－2ax ＋1. 18．已知函数f (x )＝4x 2
－7
2－x ，x ∈[0,1]．
(1)求f (x )的单调区间和值域；
(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3
－3a 2
x －2a ，x ∈[0,1]．若对于任意x 1∈[0,1]，总存在
x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．
[解析] (1)对函数f (x )求导，得
f ′(x )＝－4x 2
＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)
(2－x )2
令f ′(x )＝0解得x ＝12或x ＝7
2
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以，当x ∈(0，2
)时，f (x )是减函数；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1时，f (x )是增函数． 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g ′(x )＝3(x 2
－a 2
)．
因为a ≥1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0.
因此当x ∈(0,1)时，g (x )为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1)，g (0)]． 又g (1)＝1－2a －3a 2
，g (0)＝－2a ，即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1－2a －3a 2
，－2a ]． 任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]，存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)＝f (x 1)成立， 则[1－2a －3a 2
，－2a ]⊇[－4，－3]．
即⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a －3a 2≤－4，①－2a ≥－3.②
解①式得a ≥1或a ≤－53；解②式得a ≤32
.
又a ≥1，故a 的取值范围为1≤a ≤3
2
.。