山东省济宁实验高中立体几何多选题试题含答案

山东省济宁实验高中立体几何多选题试题含答案
一、立体几何多选题
1．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．AM 与D
B ''10 B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B
C
D ''''-的截面面积为92
C ．四面体A C B
D ''的内切球的表面积为
3
π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使
MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||
AM D B AM D B AM D B ''
⋅''<>=
''为
AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，
22215
43
x y =
++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，
10
cos ,10||||58
AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=
==''⨯，故正确.
B ：若N 为C
C '的中点，连接MN ，则有//MN A
D '，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''=
===32
2
， ∴梯形的面积为132932222
S =
⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴118
848323
V =-⨯⨯⨯=
，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323
S π
=⨯⨯⨯⨯=，
∴若其内切圆半径为r ，则有1
8833
3r ⨯⋅=
，即33
r =，所以内切球的表面积为2443
r π
π=
.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且
MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，
构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22
A M C '-
，若(,,0)P x y ，则232
(,,0),(0,22,2),(,,2)22
AM AC AP x y '=-
=-=-，
∴15
cos ||||512
AM AC MAC AM AC '⋅'∠=
=='⨯，
2222cos ||||
43
AP AC y PAC AP AC x y '
⋅+'∠=
='++⨯，即
222215
5
43
y x y +=
++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
2．如图所示，正三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置，使得二面角A '-DE -B 为60°，则下列选项中正确的是（ ）
A ．点A '到平面BCED 的距离为3
B ．直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58
C ．A '
D ⊥BD
D ．四棱锥A '-BCED 237
【答案】ABD
【分析】
作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H 的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】
如图所示，作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N . 则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,
∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN , 又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC , 在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED , ∵二面角A'-DE -B 为60°，∴∠A'EF =60°，
∵正三角形ABC 中，AB =8,∴AN =
∴A'M ,∴A'H =A'M sin60°=3，故A 正确； 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4, ∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，
DN =DA'=4,A'N =A'M ,
cos ∠A'DN =22441252448
+-=⨯⨯,故B 正确；
A'D =DB =4,==,
∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方，入图①所示：
设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,
则HP =x ,易得()2
2
2
2
243x x R +=-+
=,解得2
3
x =-,舍去；
故O 在平面BCED 下方，如图②所示：
设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,
则HP =x ,易得()2
2
2
2
243x x R +=++
=, 解得23
x =
,
∴2
44371699R ⨯=+=,3
R ∴=,故D 正确. 故选:ABD .
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.
3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且
1EF =，以下结论正确的有（ ）
A ．AC BE ⊥
B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值
C ．点A 到平面BEF 的距离为定值
D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】
由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；
连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=2
AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是
2
2
，故C 正确； 2
=2
AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEF
S =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为1122
34⨯
=
D 正确. 故选：ACD 【点睛】
求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.
4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）
A ．11//A D 平面EFGH
B ．1A
C ⊥平面EFGH
C ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°
D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】
如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】
如图，连接OA ，则2115OA AA =
+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.
同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.
因为正方体的棱长为2，而26<
球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .
因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.
由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF
因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，
190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.
由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ，
所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥
在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EF
EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，
所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，
因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为
1
11212
⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.
5．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．CQ ⊥平面PAD
B ．P
C 与平面AQC 所成角的余弦值为22
3
C ．三棱锥B ACQ -的体积为62
D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】
取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】
解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，
因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，
所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，
建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，
(P C B ，
因为点Q 是PD
的中点，所以)2
Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，
6(
QC =，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；
3632
(6,23,32),(
,0,),(26,PC AQ AC =-=
=， 设平面AQC 的法向量为(,,
)n x y z =，则
3602260n AQ x z n
AC ⎧⋅
=
+=⎪⎨
⎪⋅=+=⎩
，
令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，
则21
sin 3
6n PC n PC
θ⋅=
=
=， 所以cos 3
θ=
，所以B 正确； 三棱锥B
ACQ -的体积为
1
132
B ACQ Q AB
C ABC
V V S
OP --==⋅ 1
11
6322=⨯⨯⨯
=， 所以C
不正确；
设四棱锥Q ABCD -
外接球的球心为
)M a ，则MQ MD
=，
所以2
2
2
2
2
222a a ⎛⎫⎛⎫
+
+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点，
所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，
设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，
将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线， 故正方体的棱长为2x ，所以222362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，得224x =， 所以正四面体的表面积为234243x ⨯
=，所以D 正确. 故选：BD
【点睛】
此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.
6．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A ．棱的高与底边长的比为22
B ．侧棱与底面所成的角为
4π C 2
D ．侧棱与底面所成的角为3
π 【答案】AB
【分析】 设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h =
=得254h a =，然后可得侧2
42108a a
+32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.
【详解】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a
= 所以其侧面积为2222
244215410842244a a a h a a a
⋅⋅+=+=+令()24
2108f a a a =+，则()2
3321084f a a a ⨯'=- 令()2
3
3210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(
0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()
32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增 所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小
此时3h = 2，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=
，故B 正确，D 错误 故选：AB
【点睛】
本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.
7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个
B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧
C ．若P
D ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2
D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为
94
π 【答案】ABD
【分析】 若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则
12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32
=
，可得D . 【详解】
如图：
∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，
∴1122B D =11AA =，
∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确； ∵()313PD =，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+=C 错误；
由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接2221322122++=，面积为94
π，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能
力，属于较难题.
8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）
A ．0MN EF ⋅=
B ．ME NE =
C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3
D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3
【答案】ABD
【分析】
证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =
⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.
【详解】
对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，
所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，
因此0MN EF ⋅=，故A 正确．
对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，
平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，
同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．
对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小， 此时2MN EF ==
，即面积S 的最小值为1； 当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，
此时3MN =，即面积S 的最大值为62
， 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6，故C 不正确．
对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积
1112123346
M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积
21122
ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。