高三数学考前训练30题

高三数学考前训练30题
1． 若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为 ．
【解析】设00(,)P x y ，由'3()41f x x =-，得3
00413,1x x -=∴=，从而00y =．
∴点P 的坐标为（1，0）
．
2． 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且tan B B 的大小是 ．
【解析】由余弦定理，得 B ac c a b cos 2222-+=．则
tan B ==，即23sin =B ． 所以B 的大小是
3
π或32π
．
3．已知单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1对棱BB 1，DD 1上有两个动点E 、F ，BE ＝D 1F ，设EF 与面AB 1所成角为α，与面BC 1所成角为β，则α＋β的最大值为 ．
【解析】由对称性可知α＝β，又1sin
EF α=α≤45°，α＋β≤90°． 4． 设函数()1
x a
f x x -=
-，集合M ＝{|()0}x f x <，P ＝'{|()0}x f x >，若M P ，则实数a 的取值范围是 ．
【解析】设函数1
)(--=
x a
x x f ， 集合{|()0}M x f x =<． 若a >1时，M ＝{x | 1<x <a }； 若a <1时，M ＝{x | a <x <1}； a ＝1时，M ＝∅．
{|()0}P x f x '=>，∴'()f x ＝
2
(1)()
(1)
x x a x ---->0． ∴ a >1时，P ＝R ，a <1时，P ＝∅；已知P M ⊂，所以 （1，＋∞）．
5． 已知命题P ：．10<<C ，:Q 不等式 12>-+c x x 的解集为R ．如果P 和Q 有且仅有一个正确，则c 的取值范围是 ．
【解析】若P 和Q 都正确，则由P ，有10<<c ．由Q ，有12>-+c x x 的解集为R ．
用函数认识不等式，只需()c x x x f 2-+=的最小值()=0f 2.c ,c 2
1
1>>此时
12
1
<<c ． 若P 和Q 都不正确，则由P ，有1>c ．由Q ，有,c 2
1
0≤<其交集为空集，此时c
不存在．
由题设知，10≠>c ,c ，用补集思想，所求c 的取值范围为().,,+∞⎥⎦
⎤
⎝⎛1210 ．
6． 己知：函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，又()'01f =．则函数
()f x 的解析式为 ．
【解析】由已知(0)0f =，当0x ≠时，原方程化为()()()(0)
()0
f x y f y f x f y x y x y y x +--=+++--．
由等式右边存在极限，()f x 处处可导．
对原方程两边令0x →，得''2()()2f x y f x xy y +=++．
令0x =，3
'
2
()1()3
y f y y f y y C ∴=+⇒=++（C 为常数）
． 又(0)0f =，得3
()3
x f x x =+． 7． 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，
则它的体积的最大值与最小值之差为 ． 【解析】6．体积的最大值为16，体积最小值为10．
8． 已知2sin cos 20a a θθ+-=，2sin cos 20()b b a b θθ+-=≠，对任意
,a b R ∈，经过两点22(,),(,)a a b b 的直线与一定圆相切，则圆方程为 ．
【解析】经过两点22(,),(,)a a b b 的直线方程为cos sin 20x y θθ+-=．
2d =
=原点到这条直线的距离，
22 4C x y ∴+=定圆的方程为． 9． 打开“几何画板”软件进行如下操作：
①用画图工具在工作区画一个大小适中的圆C ；
②用取点工具分别在圆C 上和圆C 外各取一个点A 、B ； ③用构造菜单下对应命令作出线段AB 的垂直平分线l ；
主视图
④作出直线AC ．
设直线AC 与直线l 相交于点P ，当点A 在圆C 上运动时，点P 的轨迹是____________． 【解析】双曲线．由图可得，PC —PB ＝PC —PA ＝AC ，或PB —PC ＝PA —PC ＝AC ，
从而点P 到定点B 、C 的距离之差的绝对值是定长AC ，由双曲线定义即可得．
10．复数1112221212,(0,0,01)z a bi z a b i b b a a =+=+>><<<，满足12|1||1|1z z -=-=，则
11b a 与2
2
b a 的大小关系是_________． 【解析】因为12|1||1|1z z -=-=，所以()()2
2
22111111,11a b a b -+=-+=，
121212
,b b k k a a =
=． 因为1201a a <<<，所以12k k >，所以
11b a >2
2
b a ． 11． 已知ABC ∆的外接圆的圆心O ，BC CA AB >>，则,,OA OB OA OC OB OC ⋅⋅⋅的大小关系为______．
【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，2
cos2OA OB R C ⋅=，
2cos2OA OC R B ⋅=，
2
cos2OB OC R A
⋅=．
BC CA AB
>>，
,sin sin sin A B C A B C ∴>>>>．
222
12sin 12sin 12sin A B C -<-<-，cos 2cos 2cos 2A B C ∴<<．
.OA OB OA OC OB OC ∴⋅>⋅>⋅
12． 已知()()sin ,cos ,1,,a t t b t a b =-=-⊥，则()()2
11cos 22t
t ++-的值______
【解析】 ∵a b ⊥，∴0a b ⋅=，∴sin cos 0t t t --=，cos sin t t t =-．
∴()()2
11cos 22t
t ++-＝2
222(1)2cos 22cos 2(cos )2t
t t t t +-=+-
＝22
2cos 2sin 2220t t +-=-=．
13． 当x ＝2时，下面这段程序输出的结果是___________．
1
While i s ←←2048≤s 1
1*+←+←i i x s s
End Whlie
int Pr i
答案：13．
14． 极坐标系中，直
线π)33sin(ρθ-=与曲
线ρ=
相交所得弦长为 ．
【解析】直线ππ
)30)3sin((3(3
n θρ-==--
，为过点(3-且倾斜角
为π3
的直线，而曲线1cos 2
ρθ
==-表示的是一个椭圆；建立一个以椭圆的中心为原点的直角坐标系，则椭圆的标准方程为22
1164
x y +=，直
线的参数方程为3cos ,3
ππ
0sin 3x t y t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，代入标准方程，得2133704x x +-=，
弦长为
1240
||134
t t -==
． 15． 已知实数,,,a b c d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=，则a 的取值范围是 ．
【解析】由柯西不等式，得2222111
(236)()()236
b c d b c d ++++++≥，
即()2222236b c d b c d ++++≥．由条件，得()2
253a a --≥． 解得12a ≤≤
=
=
时等号成立．
代入111,,36b c d ===时，max 2a =；21
1,,33
b c d ===时，min 1a =．
所以，a 的取值范围是[1,2]．
16． f （x ）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf ‘（x ）－f （x ）>0,对任意正数a 、b ，若a ＜b ，则()()af a bf b ,的大小关系为 ．
【解析】设()()f x F x x =，则''
2
()()()0xf x f x F x x -=>，故()()f x F x x =
为增函数，由a ＜b ，
有
()()()()()()()()f a f b af b bf a bf b af b bf a af a a b
<⇒>⇒>>>． 二、解答题
17． 在数列{a n }中，已知，a 1＝2，a n ＋1＋ a n ＋1 a n －2 a n ．对于任意正整数n ，
（Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 的表达式； （Ⅱ）若
1(1)n
i
i
i a a M =-<∑（M 为常数，且为整数）
，求M 的最小值． 解：（Ⅰ）由题意，对于n ∈N *
，0n a ≠，且1111
22n n a a +=+，即1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
．
由 12a =，得
111
12a -=-．则数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是首项为12-，公比为12的
等比数列．于是1
11111222n n
n a -⎛⎫
⎛⎫
-=-⨯=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 即 221n n n a =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得2
2(1)1,2,,(21)
i
i i i a a i n -==-，． 当2i ≥时，因为
121122211
(1)(21)(21)(22)(21)(21)2121
i i i i i i i i i i i i a a ----=<==-
-------，
所以
1
1
2
2
1
(1)(1)(1)(1)n
i
i
n n i a a a a a a
a a =-=-+-+
+-∑
12
12222
222(21)(21)(21)n
n =+++--- 1121223
1211111
1(21)212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1
3321
n
=-
<-．
又
1
1
2
2
1
(1)(1)(1)(1)n
i
i
n n i a a a a a a
a a =-=-+-+
+-∑
12
12222222(21)(21)(21)n n =+++---2)
12(2211
=->，故M 的最小值为3． 18． 设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切． 求证：PA DA ⊥．
解：设A 、B 、C 三点的坐标为1(,0)A x ，2(,0)B x ，(0,)C c ，圆D 的圆心坐标为3,2c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
由韦达定理，知
123
22x x a +=． 原点O 到圆D 的切线为OC ，所以 2OA OB OC ⋅=，即212c
x x c a
==． 故1=ac ．
P 点坐标为 2343,24ac a
a ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 由（1），2
43
495444ac a a a
---
==
． 设DP 交x 轴于E ，要证PA 与圆D 相切，即证 90DAP ∠=︒．
如果2
DA DP DE =⋅，那么DEA ∆与DAP ∆相似，︒=∠=∠90DEA DAP ．
所以只需证 2
DA DP DE =⋅．而 2
2
2
32DA DC a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，54DE DP c c a ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以2
DA
DP DE =⋅ 等价于 2
3524c c a a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，即只需要证
25494a c c a ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
由1ac =，2554445944a c c a c ac a a ⎛
⎫⎛
⎫+
=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以PA 与圆D 相切． 19． 已知函数1)3()(2
+-+=x m mx x f 的图象x 轴的交点至少有一个在原点右侧． （1）求实数m 的取值范围；
（2）令t ＝－m ＋2，求]1[t
的值（其中[t]表示不大于t 的最大整数）；
（3）对（2）中的t ，求函数1
]1[][]1[][1
)(+++⋅=
t
t t t t g 的值域．
【解析】若m ＝0 则1
()3 1 ()0,0.3
f x x f x x =-+==
>由得符合题意． 若m ≠0 ，①m<0时，∵
1
0 , ()0f x m
<=方程两根异号，∴必有一个负根． ②m>0时，由210,3
0, (0,1](3)40,m m m m m m ⎧>⎪⎪
-⎪->∈⎨⎪
⎪--⎪⎩
得≥时，
方程有两正根．综上得1≤m ． （2）∵t ＝－m ＋2 ，∴1
[1,),01t t ∈+∞∴<≤．当t ＝1时，1]1[=t ，当t>1时，0]1[=t
．
（3）当t ＝1时，21)(=
t g ；当t>1时，]1
[t
＝0，设[t]＝n ，且t ＝[t]＋a ，则10,<≤∈+a Z n ．
于是1
1
)(+++
+=
n a n a n t g ．由函数11)(≥+=x x x x h 在时是增函数，
及111
1101,111
n n a n n n a n a n n n +
++++++<+++≤≤得
≤． 设2
)
1(1111
+-+=++
=n n n n n a n 递减，∴)2)(1(21++-=-+n n n n a a n n ． ∴ <<<<=>n a a a a a 4321．
2
)
1(11111
1++=++++=
n n n n b n 递减，∴ >>>>n b b b 21． 于是t>1时，)(t g 的值域为2155
[,),[,)64a b 即．
综上)(t g 的值域为155
{}[,)264
．
20． 已知定理：“若,a b 为常数，()g x 满足()()2g a x g a x b ++-=，则函数()y g x =的图象关于点(,)a b 中心对称”．设函数1()x a f x a x
+-=
-，定义域为A ．
（1）试证明()y f x =的图象关于点(,1)a -成中心对称；
（2）当[2,1]x a a ∈--时，求证：1
()[,0]2
f x ∈-；
（3）对于给定的1x A ∈，设计构造过程：21(),x f x =32()x f x =，…，1()n n x f x +=．如
果(2,3,4...)i x A i ∈=，构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止．若对任意1x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a 的值． 【解析】（1）∵1()1f x a x
=-+
-，∴1
1
()()(1)(1)2f a x f a x x x
++-=-+
+-+=--． 由已知定理，得()y f x =的图象关于点(,1)a -成中心对称．
（2）先证明()f x 在[2,1]a a --上是增函数，只要证明()f x 在(,)a -∞上是增函
数．
设12x x a -∞<<<，则12
121
2
1211()()0()()
x x f x f x a x a x a x a x --=-
=
<----，
∴()f x 在(,)a -∞上是增函数． 再由()f x 在[2,1]a a --上是增函数，得
当[2,1]x a a ∈--时，()[(2),(1)]f x f a f a ∈--，即1
()[,0]2f x ∈-．
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴1()x a f x a a x
+-=
≠-对任意x A ∈恒成立．
∴方程1x a a a x
+-=-无解，即方程2
(1)1a x a a +=+-无解或有唯一解x a =．
∴210,
10,a a a +=+-≠⎧⎨⎩或210,
1.1
a a a a a +≠+-=+⎧⎪⎨⎪⎩由此得到1a =-．
21． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是函数f （x ）＝
x
x
-+1log 212的图象上任意两点，且)(21OB OA OM +=
，已知点M 的横坐标为2
1
． （1）求证：M 点的纵坐标为定值； （2）若S n ＝f （n n
n f n
f n
),1
(
)2()1
-+⋯++∈N *，且n ≥2，求S n ． （3）已知a n ＝12
, 1,31, 2.(1)(1)n
n n n S S +⎧=⎪⎪
⎨⎪++⎪⎩≥其中n ∈N *．
T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n ＜λ（S n ＋1＋1）对一切n ∈N *都成立，试求λ的
取值范围．
【解析】（1）证明：∵),(2
1
OB OA OM += ∴M 是AB 的中点．设M 点的坐标为（x ，y ），
由
21（x 1＋x 2）＝x ＝2
1
，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1． 而y ＝21（y 1＋y 2）＝ 21［f （x 1）＋f （x 2）］ ＝21（2
1
＋log 2
)1log 2112
2211x x
x x -++- ＝
21（1＋log 2)1log 122211x x x x -+- ＝21（1＋log 2)1·12
211x x x x --
＝
21（1＋log 2,21)0121··2121=+=（）x x x x ∴M 点的纵坐标为定值21． （2）由（1），知x 1＋x 2＝1，f （x 1）＋f （x 2）＝y 1＋y 2＝1， S n ＝f （),1()2
()1n n f n f n
-+⋯++S n ＝f （)1
()2()1n
f n n f n n +⋯+-+-， 两式相加，得
2S n ＝［f （)1(
)1
n n f n -+）＋［f （)2()2n n f n -+）＋…＋［f （)1
()1n
f n n +-） ＝
1
111-+⋯++n ，∴S n ＝2
1
-n （n ≥2，n ∈N *）． （3）当n ≥2时，a n ＝
11411
4().(1)(1)(1)(2)12
n n S S n n n n +==-++++++
T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝432+［（)1
1
11()4131+-++⋯+-n n ] ＝432+（.2
2)2131+=+-n n
n 由
T n ＜λ（S n
＋
1
＋1），得
22+n n ＜λ·
.2
2
+n ∴λ＞.4
44
444)2(422++=++=+n
n n n n n n
∵n ＋
n
4
≥4，当且仅当n ＝2时等号成立，∴.2
1
44444
4=+≤++n
n
因此λ＞
21，即λ的取值范围是（,2
1
＋∞）． 22． 有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，2张标有数字1，
3张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，1张标有数字1，2张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任取2张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），共取3张卡片． （Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率； （Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率； （Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率． 【解析】（Ⅰ）1214
1
2
67
.1
()21.p A c c c c =
=；（Ⅱ）12111
22312126
7
...4()63.p B c c c c c c c
+==； （Ⅲ）1
253
126
7.
1537
()1()1162142
.p C P C c c
c c
=-=-=-
=
⨯． 答：（略）．
23． 设函数()f x 的定义域为R ，当x ＜0时()f x ＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有
()()()f x y f x f y +=．
（Ⅰ）求()0f ，判断并证明函数()f x 的单调性； （Ⅱ）数列{}n a 满足()10a f =，且)()
2(1
)(*1N n a f a f n n ∈--=
+．
①求{}n a 通项公式． ②当1a >时，不等式
)1log (log 35
12
1 (11122)
1
+->+
++
+++x x a a a a a n n n 对不小于2的正整数恒成立，求x 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）,,()()(),0x y R f x y f x f y x ∈+=⋅<时，f （x ）＞1．
令x ＝－1，y ＝0，则f （－1）＝f （－1）f （0）．∵f （－1）＞1 ，∴f （0）＝
1．
若x ＞0，则f （x －x ）＝f （0）＝f （x ）f （－x ）． 故1
()(0,1)()
f x f x =
∈-，故x ∈R ， f （x ）＞0．
任取x 1＜x 2，2121121()()()()f x f x x x f x f x x =+-=-，
21212100()1()()x x f x x f x f x ->∴<-<∴<，故f （x ）在R 上减函数．
（Ⅱ）①111
(0)1,()(2)(2)
n n n a f f a f a f a +===
=+--．由f （x ）单调性，a n ＋1＝a n ＋2 ，
故{a n }等差数列，12-=∴n a n ． ②11222322
111111
...,...n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++=
+++=+++
则． 121
22
1111111
414321
n n n n n b b a a a n n n ++++-=
+
-
=+-
+++1
0,(41)(43)(21)
n n n =
>+++
∴{}n b 是递增数列． 当n ≥2时，min 234111112()5735
n b b a a ==+=+=， 11212
(log log 1)3535
a a x x +∴
>-+ ， 即11log log 11log log a a a a x x x x ++-+<⇒<． 而a ＞1，∴x ＞1，故x 的取值范围（1，＋∞）．
24． 已知数列{}n a 满足
111,n n a a a +==+，令tan n n a θ= 02n πθ⎛
⎫
<<
⎪⎝
⎭
，求证
（1）数列2n πθ⎧⎫
-
⎨⎬⎩
⎭
是等比数列； （2）()121π2
n n a
a a -+++>
．
解析：（1）111,0n n n a a a a +==>．1111tan ,0,
,.24a ππθθθ⎛⎫
=∈∴
= ⎪
⎝⎭
∴111sin tan tan cos n n n n n a θθθθ+++===
＝tan 42n θπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
∵1110,
,0,,2224n n n n πππθθθθ++⎛⎫⎛⎫
∈∈∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴ 11()222n n ππθθ+-=-．
∴数列2n πθ⎧⎫
-
⎨⎬⎩
⎭
是等比数列． （2）∵
数
列
2n πθ⎧⎫-⎨⎬
⎩
⎭ 是等比数列，∴
1111(),()224224n n n n π
πππθθ--⎛⎫
⎛⎫-
=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ∵ 0,
2n πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴tan n n θθ>，∴1212n n a a a θθθ+++>++
+．
∵
12n θθθ+++＝
21
111(1)2422
2n n ππ--++++ ＝
111(1)1(1)22422422
n n n n n πππππ
----⎛⎫--=+⋅>
⎪⎝⎭， ∴12n a a a +++>
(1)2
n π
- ． 25． 已知圆O 的方程为221,x y +=过直线2x y +=上的任意一点P 作圆O 的切线PA 、PB ．四边形OABP 的面积取得最小时的点P 的坐标（m ，n ）设()2ln n
g x mx x x
=-
-． （1）求证：当()1,0x g x ≥≥恒成立； （2）讨论关于x 的方程：()322n
mx g x x ex tx x
-
-=-+ 根的个数．
解析：（1）21OAPB OPB S S OB PB ∆==⋅=
当OP 取得最小值时OAPB S 取得最小，过点O 作0OP 垂直于直线1x y +=，交点为0P ，
易得()01,1P ，∴1,1m n ==．∴()1
2ln 2ln n g x mx x x x x x
=--=--． ∴()()2
2
2
2
2
1122110x x
x g x x x
x
x
--+'=+-==≥，∴()g x 在[)1,+∞是单调增
函数，
∴()g x ()1112ln10g ≥=--=对于[)1,x ∈+∞恒成立． （2）方程()322n
mx g x x ex tx x
-
-=-+，∴322ln 2x x ex tx =-+．
∵
x >，∴ 方程为
2
2l
n 2x x e x t x
=-+．令
22ln (),()2x
L x H x x ex t x
=
=-+，
21l n ()2x
L x x
-'=，当()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为增函数；
()()[,),0,[0,)
x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在
上为减函数，
当e x =时，max 2
()().L x L e e
==
()()2
222H x x ex t x e t e =-+=-+-，
∴()x 函数L 、()H x 在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当2
222
,t e e e e ->
>+即t 时，方程无解． ②当22
22,t e e e e -==+即t 时，方程有一个根．
③当22
22,t e e e e
-<<+即t 时，方程有两个根．
26． 解不等式4|2||12|<++-x x ．
解：（Ⅰ）当x<－2时，得－（2x －1）－（x ＋2）<4，得3
5
-
>x ，此不等式无解． （Ⅱ）当－2≤x<21，得－（2x －1）＋（x ＋2）<4，得x>－1，21
1<<-∴x ．
（Ⅲ）当x 2
1≥时，得（2x －1）＋（x ＋2）<4，得121
<≤x ．
综上，原不等式的解集为（－1，1）．
27． 已知函数32()f x x ax bx c =+++在点P (2,(2))f --处的切线方程为914y x =+，又(0)2f =-．
（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间和极值；
（3）若函数()()4(0)F x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，求,m n 应
满足的条件．
解：（1）由题设，知(2)1249f a b '-=-+=，(2)8424f a b c -=-+-+=-，(0)2f c ==-，
解得0,3,2a b c ==-=-，所以3()32f x x x =--．
（2）由2
()333(1)(1)0f x x x x '=-=+-≥，得11x x ≤-或≥．由()0f x '≤，得
11x -≤≤．
()f x 的单调增区间是(,1],[1,)-∞-+∞，单调减区间为[1,1]-．
当1x =-时，()f x 取得极大值0，当1x =时，()f x 取得极小值4-． （3）由（2）知，()F x 在(,1],[1,)m m -∞-++∞上是增函数，在[1,1]m m -+上是减
函数．因为(3)(3)4204,(1)(1)444F m f m m F m f m m -=-+=-++=+=-+， 所以(3)(1)F m F m -<+，所以(3)4,4F m m -=-∴=．
此时(1)(1)416F m f m -=-==，由()(4)1616F x f x =-+=，得36x x ==或． 所以36n ≤≤． 综上，4,36m n =≤≤．
28． 结论：圆C ：222x y R +=与x 轴相交于M 、N 两点，设点P 是圆C 上任一点，则直线PM 、PN 斜率的乘积是定值．
（1）写出以上结论在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中的推广，并加以证明；
（2）将（1）的结论类比到双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，并加以证明．
解：（1）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与x 轴交于M 、N 两点，设点P 是椭圆上任一点，
则直线PM 、PN 斜率的乘积是定值．
证明：由题意(,0),(,0)M a N a -，设00(,)P x y ，
则2200221x y a b +=，所以22220002221y x a x b a a -=-=，所以22
02
22
0y b a x a =-． 22
00022200000PM PN
y y y b k k x a x a x a a
--⋅=⋅==-+--是定值． （2）设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与x 轴交于M 、N 两点，设点P 是双曲线上任
一点，则直线PM 、PN 斜率的乘积是定值． 证明：由题意(,0),(,0)M a N a -，设00(,)P x y ，
则2200221x y a b -=，所以22220002221y x x a b a a -=-=，所以22
02
2
20y b x a a
=-． 22
000222
00000PM PN
y y y b k k x a x a x a a --⋅=⋅==+--是定值．
29． 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,u v 满足()()()f u v f u f v +=+，且()()()f u v u f v vf u =+
．
（1）求(0),(1)f f ；
（2）试用(),()f u f v 表示()f u v -；
（3）用,u v ，(),()f u f v 的表达式来表示()u
f v
．
答案：（1）利用赋值法易得(0)(1)0f f ==．
（2）令,z u v u z v =-=+则，由条件，得()()()()f u f z v f z f v =+=+，所以()()()f u v f u f v -=-．
（3）设
,u z u vz v ==则，由条件，得()()()()()()u u
f u f vz vf z zf v vf f v v v
==+=+， 所以2
()()
()()()u
f u f v u
vf u uf v v f v
v v -
-=
=．
30． 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金
解：设保险公司要求赔偿顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ的分布列为
公司每年收益ξ的期望值为：E ξ＝x （1－p ）＋（x －p ）p ＝x －ap ，
要使公司收益的期望值等于a 的10%，只需E ξ＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ，x ＝（0.1
＋p ）a ，
∴应交的保险金为（0.1＋p ）a ．。