级数求和与函数展开习题课

第十一章 函数级数 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）

anxn
n0
难
逐项求导或求积分

an xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )

ln(1 x)
x
1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
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(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x x2 x3 (1)n xn , 1 x
x (1, 1)
1 1 x
1 x x2

x3
xn
, x (1, 1)
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例4. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,x=1时级数发散，则

S(x)
xn
1
x n 1
n0n 1 x n0 n 1
1 x xn
x 0 n0
dx

1 x
x1

0
1

x
dx
(0 x 1 及
)
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S(x)
(0 x 1 及
)
而
lim
x0


ln
(1 x
x)


1
,
因此由和函数的连续性得:
1 ln(1 x) , S(x) x
1,
x [1,0) (0,1) x0

练习：求幂级数
x2n-1的和函数。
n1 2n-1
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例5.
解:
设
S(x)

n2
n
x
2
n

1
,
则所求级数和 ＝S(1/2)
S
(
x)



n2
12
n
1
1

n
1
1
x
n
x xn1 1 xn1
2 n2n 1 2x n2n 1
x xn 1 xn
2 n1 n 2x n3 n
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1 (x x2 ) 2x 2
而

xn

x
x
xn1 dx

x
xn1 dx
dx
n1 n n1 0
0 n1
01 x
ln(1 x)
故
S 1
2
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例6. 求幂级数 法1 易求出级数的收敛域为
x
1 sin x x cos x ,
2
2
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法2 先求出收敛区间
设和函数为 则
1 2
S(x) 1 sin x x cos x,
2
2
x sin x 2
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P258 题8. 求下列幂级数的和函数：
x≠0
解: (1)

原式 (
n1
1 2n
x2
n1
)


1 ( x n1
x2
2
)
n


1 x
x2

1
2

x2 2


x 2 x2


2 x2 (2 x2 )2
(0 x2 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散,
故和函数为
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(4)
原式

n1
1 n

1 n 1

xn
x0

n1
1 x
x
tn
0
dt


1 x
x

1
t
t
d
t
0
(0 x 1)
1 1 ln (1 x)

1

(
1

1)
ln
(1
x x)
x
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即得
1 ( 1 1) ln (1 x) , x
0 x 1
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 . 根据和函数的连续性 , 有
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P258 题9(2). 求级数
的和 .
解:
原式=
1 2


n0
(1)
n
(
(2n
2n
1) 1)!

1


1 2
(1)n
n0
(
2
n)!



n0
(
(1)n 2 n 1)!
1[cos 1 sin1] 2
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四、函数的幂级数和付式级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
例如. 将函数
展开成 x 的幂级数.
因为 1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x
把 x 换成 x2 , 得
1 1 x2

1 x2 x4 (1)n x2n (1 x 1)
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例7. 将
展成 x－1 的幂级数.
解:
x2
1
1
4x 3 (x 1)(x 3)
x1
x1
( x 1 2)
2
4
1
x 1 2

(x 1)2 22


(1)n
(x 1)n 2n


1 8


(1)n
n0

1 2n2

1 22n3
(x 1)n

(1 x 3 )
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例8. 将
在x = 0处展为幂级数.
解:
ln(1

x)




n1
xn n
2 x 3x2 也数可的(1以展先式x计，)(算再2导积函分3x) (1 x 1) 求出原函数的展式
ln(1

3 2
x)


(1)n1 n
(
3 2
x)
n
(
2 3

x

32)
n1
因此
f (x) ln 2 xn
n1 n

n1 (1n) n1 (
3 2
x)
n

ln(1
x)
xln221xn211n13[1x3(14 23x)4n] xn
(1)n (n321
xxn132)

x (1, 1]
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例9. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2 x)2

1 2x

1 2
1
1
x 2


1 2

n0
xn 2n


1 2
n1
nx n 1 2n
,
练习：将arctanx展成x 的幂级数。 30
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例10. 设
, 将 f (x)展开成
x 的幂级数 , 并求级数
的和. ( 01考研 )
解:

1 1 x2


(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)

arctan
x

x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
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f
(x)

1
(1)n n1 2n 1
x2n

(1)n x2n2 n02n 1
1 (1)n x2n (1)n1 x2n
n1 2n 1
n1 2n 1
1

(1)n
n1

1 2n 1
1 2n 1

x2n
1 2n11(14)nn2 x2n ,
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2. 函数的付式级数展开法
系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法
• 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 则f(x)的 傅立叶级数为：
a0
2

n1
(an
cos nx
bn
sin nx)
①
②
简介 目录 上页 下页 返回 结束
•收敛定理, 展开定理： 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有



f (x) ,
f (x) f (x) ,
2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
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• 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数
• 奇函数
正弦级数
• 偶函数
余弦级数
• 在 [ 0 , ] 上函数的傅里叶展开法
• 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数
• 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数
简介 目录 上页 下页 返回 结束
例11. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
y
3 2 2 3
o
x
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
a0

1


f (x)d x

1

0

xd
x

1


x2 2

0




2
an

1



f (x) cos nxdx
1

0

x cos nx d x

1

x
sin n
nx

cos nx n2
0


1

cos
n2
n
an

1 cos n n2

2

(
2k 1)2
0,

,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 ,)
bn

1



f (x)sin nx d x
1 0

x sin nxdx (1)n1
n
2 cos x sin x 1 sin 2x ( n 1, 2, )
4
2


2
32
cos3x 1 sin 3x 1 sin 4x
3
4

522
cos 5x

1 5
sin 5x


( x , x (2k 1) , k 0, 1, 2 , )
说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于 0 ( )
2
2
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例12. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,

2


0
(
x

1)
sin
nx
d
x

2



x cos nx n

sin nx n2

cos nx n


0
2 1 cos n cos n
n
y
1
o x

( k 1, 2, )
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bn
( k 1, 2, )
y
因此得
x

1

2

(

2)
sin
x


2
sin
2x
1
o x

3
2 sin 3x

4
sin
4x


注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 f (x) = x + 1 的值不同 .
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再求余弦级数. 将 作偶周期延拓 , 则有
2


0
(
x

1)
d
x

2


x2 2
x 0
2


0
(
x

1)
cos
nx
d
x

2



x sin n
nx

cos nx n2

sin nx n


0
y
1
o
x

2
n2
cos n
1

( k 1, 2, )
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x 1

2
1 4

1
k 1(2k 1)2
cos(2k
1)x


2

1