上机题目2012级学生

2012级应用数学班学生上机实习题
要求：
1.每位同学在第一、二、三部分各选一个题目，其中每一部分又分A、
B、C三类题型。

2.题型不同，得分也不相同，其中A类题得分最高，其次是B类题，
再次是C类题。

3.每个题目要求给出解题思路、计算程序（Matlab程序），并给出计
算结果，必要时可以画出图形。

第一部分题目
（一）插值法
1（C类）下面给出美国从1920-1970年的人口表：用表中数据分别构造3次Newton，4次Newton插值多项式，并估计1915，1925和1935年和1945年的人口。

2（C类）、已知某直升飞机旋转机翼外形轮廓线部分坐标如下表：
采用分段线性插值和分段二次Lagrange插值计算在u=35,55,70处的
函数值。

3（B 类）、用三次样条插值函数逼近车门曲线，车门曲线的在插值点的数据如下
写出三次样条插值函数的分段表达式，并计算车门曲线在1.5，5.2，9.1的值。

4（B 类）、求下列数据表的二次最小二乘拟合多项式
写出拟合多项式，并画出拟合曲线，计算拟合曲线在0.6,0.8出的值。

5（A 类）、Runge 现象的发生和防止
对[-5,5]作等距划分105,,0,1,...,,i x ih h i n n
=-+==对函数
2
1,1y x
=
+ 作Lagrange 代数插值和样条函数插值，分析Runge 现象发生和防止的理由。

（1） 取 n=10,20作代数插值；
（2） 取 n=10,20作三次自然样条插值即0''()''()0n S x S x ==。

6（A 类）、Runge 现象的发生和防止
对[-5,5]作等距划分105,,0,1,...,,i x ih h i n n
=-+==对函数
2
1,1y x
=+ 作Newton 代数插值和三次样条函数插值，分析Runge 现象发生和防止的理由。

（1）取 n=10,20作代数插值；
（2）取 n=10,20作第一类边界条件的三次自然样条插值
即0'()1,'()1n S x S x ==-。

（二）非线性方程的求解：
7（B 类）、编写一个用牛顿法解方程tan x x =的程序，求接近于4.5和7.7的根，并编制Steffensen 法的程序，求解此方程的根（控制精度610ε-≤），并比较两者的收敛速度。

Steffensen 法：迭代公式为：
1n ()(())()
D ()
n n n n n n n n f x f x f x f x x x D f x ++-=-
=,其中 8（C 类）、利用二分法、Newton 迭代法和弦截法分别求解方程0123=--x x 在x 0=1.5附近的根，并进行比较分析。

9(A 类)、求解方程0123=--x x 在x 0=1.5附近的根，控制精度810-，
构造任意迭代格式如x =判断其收敛性，并利用Aitken 加速法求解。

10（B 类）、利用迭代法求解32310x x +-=的全部根，要求绝
对误差限小于81
102
-⨯(先确定含根区间，然后构造迭代公式进行求解)
11（B 类）、已知函数x x x f 2)(4-=在（-2，2）内有两个根，求此两根（控制精度810-）。

第二部分题目
（一）线性方程组的直接解法
1（B 类）、分别利用Guass 消去法和列主元消去法求解系数矩阵为5阶Hilbert 矩阵的方程组Ax=b ，其中1
,(1,0,0,0,0)1
T ij a b i j =
=+-
1111123451111123456111113456711111456781111156
7
8
9A ⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
,10000b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2（B 类）、分别利用Guass 消去法和列主元消去法求解系数矩阵为5阶
Hilbert
矩
阵的方程组Ax=b ，其中
7
1
,10
1
ij a b i j -=+-产生
的微小扰动，即 1111123451111123456111113456711111456781111156
7
8
9A ⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
,777
7711010101010b -----⎡⎤
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3（B 类）、用完全主元素消去法求解方程组Ax=b
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=9373
39
19
7967637176665632166
846342217252015
105
A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3327244920b 4（C 类）、用矩阵三角分解法求解方程组Ax=b ，其中
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=9373
39
19
7
967637176665632166
846342217252015
105A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3327244920b 5（C 类）、 用平方根法求解下述线性方程组：
1234551315161518151141535x x x x x 轾轾轾-犏犏犏犏犏犏--犏犏犏犏犏犏=--犏犏犏犏犏犏--犏犏犏犏犏犏-犏犏犏臌臌臌
6（B 类）、利用追赶法求解三对角矩阵方程Ax=b ，矩阵阶数n=12
21000
121000121000012A 轾-犏犏--犏
犏=--犏犏犏
犏-犏臌
L L L L L L L L L L 1
001b 轾犏犏犏犏=犏犏犏犏犏臌
L 7（B 类）、利用Guass 列主元消去法求解线性代数方程组
⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=313323
321095791068565778
7
104321x x x x Ax 与方程组
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=313323
3298.9999.499.6989.998.58
5604.508.72.71.8710
4321x x x x Ax ， 并比较其解并分析原因。

（二）线性方程组的迭代解法
8（C 类）、利用Jacobi 迭代法求解系数矩阵为5阶Hilbert 矩阵的方程组Ax=b ，其中71
,101ij a b i j -=
+-产生的微小扰动，即
1111123451111123456111113456711111456781111156
7
8
9A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
9（C 类）、利用Gauss-Seidel 迭代法求解下列带状方程：
1231234
1234523456464748495047484950484950122521225212252122521225212252125x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧-+=⎪
-+-+=⎪⎪-+-+=⎪
⎪-+-+=⎨
⎪
⎪-+-+=⎪⎪-+-=⎪
-+=⎩
L L L 11(A 类)、求解线性方程组Ax=B,其中1[],,j ij N N ij A a a i -⨯==
ij N 111B b ,b N ⨯=而且=[]，
N
i1(i 1)b N 3,7,11(i 1)
-≥=
=-当 i 2时,，对于分别求解，精确解为[1,1,...1]T
x =,比较分析误差。

12（B 类）、利用Gauss-Seidel 迭代法求解下列带状方程：
1231234
1234523456464748495047484950484950122521225212252122521225212252125x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧-+=⎪
-+-+=⎪⎪-+-+=⎪
⎪-+-+=⎨
⎪
⎪-+-+=⎪⎪-+-=⎪
-+=⎩
L L L 13（A 类）、利用SOR 迭代法求解下列带状方程，取三个不同的松弛因子：
1231234
1234523456464748495047484950484950122521225212252122521225212252125x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧-+=⎪
-+-+=⎪⎪-+-+=⎪
⎪-+-+=⎨
⎪
⎪-+-+=⎪⎪-+-=⎪
-+=⎩
L L L
第三部分题目
（一）数值积分
1（B 类）、按如下算法计算积分，并进行比较分析
1
,0,1,,2041
n
n x
I dx n x ==+⎰L 公式1. 11-=-n n I n I
公式2. 11
1()n n I I n
-=-
2（B 类）、用复化梯形公式近似计算函数f(x)=e [0,1]x 在上的积分
410ε-≤控制精度。

3（B 类）、用复化Simpson 公式计算积分1
0(1sin4)x e x dx -+⎰控制精度
510ε-≤。

4（B 类）、用复化Cotes 公式计算积分
1
0,0,1,,2041
n
n x I dx n x ==+⎰L
5（A 类）、用Romberg 算法近似计算函数2
2
1x f(x)=1+x +2 [0,1]051324025在上的积分(准确值....)，410ε-≤控制精度。

（二）常微分方程的数值解法
6（B 类）、分别利用经典Runge-Kutta 方法，求初值问题
2
21,021(0)0
tu u t t u ⎧'
=-≤≤⎪+⎨⎪=⎩
11 的数值解. 步长h=0.1, 计算结果取7位有效数字. 将计算结果与精
确解做比较. 已知精确解22(3)
()3(1)t t u t t +=+.
7（A 类）、构造四阶Adams 预测—校正算法求解求初值问题
221,021(0)0
tu u t t u ⎧'=-≤≤⎪+⎨⎪=⎩ 的数值解. 步长h=0.2, 计算结果取7位有效数字. 将计算结果与精
确解做比较. 已知精确解22(3)()3(1)t t u t t +=+
8（C 类）、试用Euler 法和改进的Euler 法分别求初值问题
221,021(0)0
tu u t t u ⎧'=-≤≤⎪+⎨⎪=⎩ 的数值解. 步长h=0.2, 计算结果取7位有效数字. 将计算结果与精
确解做比较. 已知精确解22(3)()3(1)t t u t t +=+。