2018版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含答案

2.2.1椭圆的标准方程
[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．
知识点一椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
知识点二椭圆的标准方程
焦点在x轴上焦点在y轴上
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1 (a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1 (a>b>0)
焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)
a、b、c的
关系
c2＝a2－b2c2＝a2－b2
[思考](1)椭圆定义中，将“大于F121212
件不变，点的轨迹是什么？
(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？
答案(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．
(2)a，b的值及焦点所在的位置．
题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10；
(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，
所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)． 因为2a ＝10，所以a ＝5.
又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29
＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，
所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以⎩⎨⎧ 4a 2＋0b 2＝1，
0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为y 24
＋x 2＝1. 反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．
跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时，
设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，。