(完整版)QR分解及其应用

《矩阵分析与应用》专题报告――QR分解及应用
学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩
2015年11月25日
目录
1 引言 (3)
2 QR 分解 (4)
2.1QR分解的性质 (4)
2.2 QR分解算法 (5)
2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)
2.2.2 Householder QR 分解 (6)
2.2.3 采用Give ns旋转的QR分解 (8)
3 QR分解在参数估计中的应用 (9)
3．1 基于QR 分解的参数估计问题 (9)
3. 2 基于Householder 变换的快速时变参数估计 (12)
3. 3基于Give ns旋转的时变参数估计 (14)
4 QR分解在通信系统中的应用 (16)
4.1基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)
4.2基于QR分解的MIMO置信传播检测器 (19)
总结 (21)
参考文献 (22)
1 引言
矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR 分解和奇异值分解。

矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。

而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。

QF分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg 矩阵，然后再应用QF分解求特征值和特征向量。

它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R, 所以称为QR分解。

参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。

它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。

18 世纪末德国数学家
C.F. 高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。

20 世纪
60 年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。

参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。

其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。

本文将重点介绍QR分解及其在参数估计和通信系统中的应用
H
B H
B= V B
2 QR 分解
2.1QR 分解的性质
定理2.1.1 (QR 分解)若A R mn ，且m n ,则存在列正交矩阵Q R m n 和
上三角矩阵R R m n 使得A = QR 。

当m n 时，Q 是正交矩阵。

如果A 是非 奇异的n n
矩
阵，则R 的所有对角线元素均为正，并且在这种情况下Q 和R 二者是唯一的。

若 A 是复矩阵，则 Q
和 R 取复值。

注意到A T A =(QR)T (QR) =R T R ,因此可以得出结论：G = R T 是A T A 的
下三角 Cholelskey 因子。

由于这个原因，在关于估计的文献中，矩阵 R 常称为 平方根滤波器(算子) 。

下面的引理称为矩阵分解引理，它在矩阵的QR 分解的应用中是一个很有结果。

引理2.2.1若A 和B 是任意两个m n 矩阵，贝U A H A = B H B
(2.1.1) 当且仅当存在一个 m m 酉矩阵 Q ，使得
QA =B
(2.1.2)
证 明 充 分 性 证 明 ： 若 QA = B ， 并 且 Q 是 酉 矩 阵 ， 则 B H B=
A H Q H QA = A H A 。

必要性证明：令A 和B 的奇异值分解分别为
A = U A A V A H B= U
B B V B H
和U B 均为m m 酉矩阵；V A 和V B 都是n n 酉矩阵；而m n 矩
阵A 和B 分别包含了矩阵A 和B 的非负奇异值。

由于
H H H
A A = V A A A V A
式中， U A H B
Q = U B U A
H H H H
易知QA = U B U A A = U B U A U A A V A = U B B V B = B
这就证明了引理的必要条件［10］。

2.2 QR分解算法
2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解矩阵A 的QR分解可以利用Gram-Schmidt正交化方法实现。

Gram-Schmidt正交
化方法原本是一种由n个向量a1,a2,...,a n构造互相正交且范数为则有
该结果作q3，即有
如此继续，则对于q k(2 k n)有1的向量
q1 ,q 2 ,...,q n 的方法。

将向量a1标准正交化的结果取作q1，即
R1 q1
a1
q仁
Rn
(2.2.1)
然后，从a2中除去与a1平行的向量, 再进行标准正交化，并将结果取作q2，
进而，又从 a 3除去与a1
H
q1 a2
R22 I a2 q1 R12
(a2 q1R2)/R22
R12
q2
和a?
(2.2.2)
平行的两个分量，再进行标准正交化，并使用
R|3H
q1 a3
R23
H
q2 a3
R33a3 q 1 R13q2R23
q3(a3 q1 R3q 2 尺3 )■ R33
(2.2.3)
R jk q j H a k ,1 j k 1
容易验证，q i 是标准正交基，即满足
H
q i q j u
(225)
其中，ij 为Kronecker 函数。

如果令
m n
矩阵A 的列向量a i
，a 2,...，a n ,则 以q i,q 2,...,q n 为列
向量的矩阵Q 与A 之间有下列关系：
A =QR
(2.2.6)
又由于q i 组成标准正交基，所以
Q H Q = I n
将A 与Q 重写在同一矩阵，应用以上 Gram-Schmidt 正交化的方法叫做经典
Gram-Schmidt 正交化法⑹。

2.2.2 Householder QR 分解
Householder 变换可以实现任意m n 矩阵A 的QR 分解，其原理是使用变维 向量的Householder 变换，使得该向量除第一个元素外，其他元素皆为 0。

根据Householder 变换的相关知识，欲使一个p 维向量x
x 1,x 2,...,x^ 的
第1个元素后面的所有元素变为 0，则p 维的Householder 向量应取
式中
(2.2.8)
假定m n 矩阵A 的列分块形式为
x
e 1 X 1)
(2.2.7)
X
1
X
R kk
a k
q k
(a k
(k 1) a k, k
(k 1)
H% % 1,k
k M
a(k 1
) m,k
可以计算得到U1W m。

此时，
H1I u1u1T A1H1A a1(1),a2(1)a(1) n(2.2.9)
变换后，矩阵A1的第1列
a1⑴
的第一个元素等于a121 2 2
a21 ... a m1
1 2
，而
该
列的其他元素全部为0。

第二步针对矩阵A1的第2列aj，令P m 1和
x a2；),a3；),...a(1) T
,a m2
又可按照式(227)和式(2.2.8)求出(m-1)维向量W m 1。

此时，取
U2
W m 1
又可得到
H2 I
T 典
u?u 2 A 2H 2A1H2H1A a1(1),
⑵ (2)
a 2 , ..., a n(2.2.10)
首先令x a i
a i1,a21,・
・.,a m1T
，并取P m，则按照式(227)和式(228),
变换后，矩阵A2的第1列与A i的第1列相同，而第2列a i⑴的第一个元素等
于aj ,第二个元素等于a22)a m2 1 2
，而该列的其他元素全部为
0。

类似地，又可针对矩阵A2的第3列设计Householder变换矩阵出，使得A 2 的第一、二个元素保持不变，其他元素组成的m-2 维向量x a3? , a43，…,
换为除第一个元素外的全部元素变为0
假定矩阵A经过k-1次Householder变换后，已变成A(k 1)，即
A(k 1)H k1A(k2)H k 1 (1)
(k 1) (k 1) (k 1)
a 1 , a2 ,・・・，a n
并且其前k-1列具有以下变换结果：
a j k1)a；：1〉,…,ajo,...,。

因此，第k次Householder变换的目的就是保持前
k=2,3，…
j=1,2,・・・k-1
k-1列不变，实现A(k1)列第
a k k k 0 M 0
这相当于对矩阵 A (k 1) 进行 Householder 变换 H k A (k 1) 时取
I k 1 0 0 H %
k
n 次Householder 变换后，即可实现 QR 分解。

223采用Give ns 旋转的QR 分解
(3,4)
(2,3)
(1,2) 0
(3,4)
0 (2,3)
(3,4)
0 0 0 0 0
00
0 00
其中， 表示用 Givens
旋转进行变化你的元
素。

从上述说明中易得出结论： 如果令 G
j 代表约化过程中的第 j 次 Givens 旋转，
则Q T A = R 是上三角矩阵，其中Q = G t G t 「LG i ，而t 是总的旋转次数。

Givens 旋转也可以用来计算 分解的思想： QR 分解。

这里以4 3 矩阵为例，说明 Givens QR
3 QR 分解在参数估计中的应用
3. 1基于QR 分解的参数估计问题
现在以系统辨识为例，说明如何利用矩阵的 QR 分解进行系统参数的递推估计
单的运算，递推出n 1时刻的系统参数向量n 1 0 n 时刻的系统辨识问题可以 简化为最小二乘问题
m 6n
A n 6 仆:
(3.1.4)
求解，并且其解由“法方程”
A n T A n 6 A n T y n 或 R xx 6n 心
(3.1.5)
令系统在k 时刻的输入为x k
，系统输出的观测值由卷积方程
p
i
X k i0
i e k
x T 6 e k
(3.1.1)
给出，其中， 表示离散卷积,
代表k 时刻的观测误差，且
X k x
k ,x 1
丄，
k 1 ,L ,x k
T
P (3.1.2)
若将k 1,2,L ,n 的所有观测数据组成一向量，则
y n
A n 6 e n
(3.1.3)
A n x
， y n y 1
, y 2
丄，y n
T
1 ,x
2 ,L ,x n 0
系统辨识问题的提法是：已知系统输入 k 1,2,L ,n ，估计系统参数向量6
[7]
0 e n
e 1 ,e 2 丄，e
k 和输出观测值
在时变系统的辨识中, n 时刻的系统参数向量
6的情况下，使用增加的 x n 1 ,y
，其中,
则要求在已估计
n 1值，通过简
确定。

式中，R xx A n T A n 代表系统输入X k 的协方差矩阵，r n 人.丁丫・
直接求解式（3.1.5）的方法叫做协方差方法。

例如，先计算协方差矩阵
R xx
的Cholesky 分解R xx GG 『,然后利用回带法解三角矩阵 G 也G R n 直接 得到6n 。

然而，由于R xx A n T A n 的条件数是A n 的条件数的平方，因此，直
接计算式（3.1.5）的得到的解有可能是严重病态的（即条件数很大），即使A n 本 身的条件数并不大，不是严重病态的。

在系统参数向量9的自适应递推辨识中，标准的递推最小二乘
RLS 法和 U T DU 分解法都是针对协方差矩阵R xx 进行更新的。

虽然U T DU
U 为上三角矩阵，D 为对角矩阵）在数值上比较稳定, 法也同样存在条件数变大的毛病。

m i n R n 9 y
式中
(3.1.9)
得到。

分解（其中,
但是这些递推辨识方
相比之下, A n 的QR
分解可以保持原问题的条件数不变
不妨令
式中，Q n
Q n T
A n
R n O
(3.1.6)
是n n 正交矩阵，R 上三角矩阵，而0为
p 1维零矩阵。

由于正交变换可以保持被变换向量的 Euclidean 长度或范数不变，所以式（3.1.4）
的最小二乘冋题可等价与作
m i n Q n A n 9
Q n T y n
(3.1.7)
(3.1.8)
Q n T y n
且y n 为p
1 1
向量，％为n
P 1
1向量，它们可以从Q n T y n 直接分块
可以写出式(3.1.4)在n 1时刻的形式为
证明见［］。

递推估计算法如下。

算法1 (系统参数的自适应估计算法)
一旦获得了入，即可由R n O n
y n 得到O 。

解此方程需要n n 1 /2次
计算，并且最小残差值等于|%|
假定增加了两个已知数值x n 1 和y
n 1
，我们来讨论如何更新系统参
数的估计，即使用已估计的参数向量
3和简单的运算，得到
1时刻的新估
计O n 1。

为了减少过去数据数据对参数估计的影响， 对数据X 和y k 米取
指数加权，即n 1时刻的数据矩阵和观测数据向量分别取作
A n
T
X n 1
,y n 1
y n y n 1
(3.1.10) 式中，0
1称为遗忘因子，且X n 1 X n 1 ,x n
丄，X n。

于是,
Bn 1
argm O n A n 10 y n 1 arg min
A n ° y n
y n 1
T
X n 1
乍一看，上式似乎没有什么特别吸引人之处，其实不然。

这是因为, 引理所述，式(3.1.11)的极小化变量等价为下述式的极小化变量, 合于递推更新。

引理 3.1.2r 若A n Q n RO
，Q n T y n
(3.1.11)
如同下面的 而后者非常适
y
:，其中，Q n 是正交矩阵，R n 是
%n
上三角矩阵，则式(3.1.11) 的极小化变量等同于下式的极小化变量:
Bn 1
argm O n A n 10
y n 1
arg min
A n T
X n 1
0 y
n 1
y n 1
(3.1.12)
如果将式(3.1.12)的极小化变量记作
0n 1
，则以上讨论可总结为O n 1的自适应
3.2基于Householder 变换的快速时变参数估计
考
察
n
p
1
矩阵
a 11
a 12
L a 1,p 1
A a 21 a 22 L
a 2,p 1
A n
M M
M
a n,1
a n,2
L
a n, p 1
的 Householder QR 分解，即
*
*
*
an a 12 L a 1,p 1
0 * a 22
L * a 2, p 1
M M
M
H n A n
0 0 L *
a p 1, p 1
(3.2.1)
L
M M
M
0 0 L
显然，只需要进行P 次Householder 变换即可。

换言之，为了得到上述 QR 分
解，应该选择H n 为p 个Householder 变换矩阵之积，即
步骤1对矩阵R
R n
T X n 1
进行QR
分解，得
Q TF Q ：1 R n
X n 1 R n 1
O
(3.1.13) 式中，Q n 1是n
1
正交矩阵,
R n
上三角矩阵,
零矩阵。

步骤二进行分块运算
y n 1 %1
(3.1.14)
其中，y n 1为p
1
1
向量，％ 1为
1向量。

步骤三 切结三角矩阵方程R n 1 9n 1 y n 1
得到 Bn 1 。

式中
H n j I U j U ； / j , j 1,2,L ,p
(3.2.3)
:
.
.
.T
是对矩阵A n j H n j 1 H n 2 H n 1 A n 第j 列向量印j 禺,L 曲 进行的
Householder 变换矩阵，其参数选择方法为
2 j
a
ij
j
0,i j
(3.2.6)
递推的Householder QR 分解算法如下:
基于QR 分解的自适应参数估计算法一般由两个分开的过程组成: QR 分解Q T A R 中的上三角矩阵R ；（2）用回代法求解三角矩阵方程。

由 于直接的回代需要O m 2
次运算（
m
为数据长度）。

因此，即便Householder
变 换再快速，整个自适应算法也至少需要 O m 2次运算。

文献［］将上述快速
Householder QR 分解算法和求解三角矩阵方程的回代法综合起来考虑， 提出了
只具有0 m 复杂度的快速自适应算法
j
a jj
,j 1,2L ,p (3.2.4)
j U j i a
jj
sgn a”
j
,i
a ij
j
,i j
其中
并且
A n j 1
A n T
U j q j
(3.2.5)
T
q j
（1）递推更新
3.3基于Give ns 旋转的时变参数估计
现在考虑另外一种递推方法，递推求解
0n 的变化量,而不是直接递推求
也1本身。

换句话说，令
(3.3.1)
冋题是如何更新4 。

此式又可化简为
Y n 1
r n 1
对增广的矩阵
(3.3.7)
执行所需要的清零。

综合以上分析，在每一步递推更新中需要的步骤如下
0n
假定正交矩阵Q 为已知, 它满足
Q R
n
X n 1
R n 1
O
(332)
由式(3.1.11)，式(3.3.1)
和式(3.3.2) 易知,
4是下式的极小化变量:
argmin Q
R n T X
n 1
Y n
R n 0n X n 1
(3.3.3)
式中，u n 1 y
解出，其中，
满足
argmi n
X n 1
n。

R n 1
因此,
R n 1
4
Y n 1
可以从三角矩阵方程 (3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
为了求出满足式(3.3.2) 的Q ，可以使用
Give ns 平面旋转进行清零，将式
(3.3.2)中的行向量X ； 1
的全部元素变成零。

由于Q 必须左乘式(3.3.6)，所以
R n T X
n 1
[5]
1）计算预测误差y k 1
（2）形成式（3.3.7）中的n 1 n 1 矩阵；
（3）利用一系列Givens 旋转将上述矩阵最底一行的左边n 个元素扫除为零；（4）解上三角矩阵方程（3.3.5）得到k 。

利用Give ns旋转求解方程A 0 y的递推最小二乘算法的程序见文献［］。

该算法中，同时对矩阵A和向量y应用Give ns旋转，因此无需存储正交矩阵Q。

4 QR分解在通信系统中的应用
4.1基于QF分解的稳健干扰对齐算法
考虑K用户MIMO干扰信道，每个发送端的天线数为N t，每个接收端的天线数为M ,每个用户对应的自由度为d「d2,L ,d k ，此处的自由度代表每个用户能使用的独立数据流个数。

为了让系统自由度达到最大值，即Kmin(N r,N t)：2，那么每个发送端所提供的信号空间的维数应该相等，故此处不妨设d i d2 L d K d ，并假设在同一时刻同一频率上的各个发送接收对之间的信道是平坦衰落的，且信道系数独立同分布。

在一个特定的时频资源上，接收端i的接收信号可以表示为
K
y i H ii Ws i H ji W j S j n i (4.1.1)
j 1,j i
其中维数为N r N t的H ii和H ji分别是发送端i和j到接收端i的信道矩阵。

W i和W j分别是发送端i和j对应接收端i和j的预编码矩阵，且满足
W i H W i I d，W j H W j I dj。

维数为d i 1的S是接收端i的下行数据矢量信号，且满足功率约束E s H S P(i)。

维数为N r 1的n i是均值为0，方差为1 的加性高斯白噪声噪声，且E n^i 1比。

干扰对齐往往要求完美的CSI，但在实际通信系统中，发送端得到CSI常常是有误差的。

为了构建稳健的干扰对齐算法，此处引入信道误差变量E ji H ji H ji ，H ji表示真实的信道矩阵，H ji表示具有误差的信道矩阵，并
且假设E r的元素服从均值为0,方差为2的循环对称复高斯分布(GSC)即
H 2
满足 E E ji E ji e l Nr。

故式(4.1.1)变为
_ K
y i (H ii E ii)WS ii (H ji E ji )W j S j n i (4.1.2)
此时整个系统的联合接收信号可以表示为
y 1
H 11 H 21
L
H k1
W 1S 1
Y
y
H 12 H 22 L H k2 ^V?S 2
I
M
M M O M M
y k
H 1k
H 2k
L H kk
W K S K
(4.1.3
E
11 E 21
L
E k1 W 1s 1
E 12 E 22
L E k2
W 2s 2
r >2
M
M O M M
M
E
1k E 2k L E kk
W K S K
n
K
对得到的误差联合信道矩阵 H 进行QR 分解有
H ii
H 21 L H k1
R 11 R 21 L R k1
-H i2
H 22 L
H k2
R 22
L
R k2
H
12
Q
QR
(4.1.4
M M O
M
O
M
H 1k H 2k
L
H kk
R kk
其中，Q 是维数为KN r
KN r
的酉矩阵， R 是维数为 KN r KN t
的上三角矩
阵。

因为Q 是酉矩阵，根据矩阵理论可知 R 和H 有相同的统计特性，所以定义 R 为 系统的误差等效联合信道矩阵。

这是考虑联合接收，对式(4.1.5)的联合信号接收信号进行左乘 Q 1的预处理, 得到如下的联合接收信号：
根据式(4.1.4)，式(4.1.3)
可以改写为
R
11 R 21
L
R k1 W 1s 1
Y Q
R
22 L R k2
W 2s 2
O
M
M
R kk
W K S K
E 11 E 21
L
E k 1 W 1s 1 n 1 E 12
E 22
L E k 2
W 2s 2 n ?
M
M O M M
M E 1k
E 2k L
E
kk 1
W K S K
n K
(4.1.5)
R 11 R 21
L R k1 W 1s 1 E 11 E 21
L E k1
W 1s 1 Y
R 22
L R k2
W 2s 2 Q 1 E 12
E 22
L
E k2
W 2s 2 1
O
M
M
M
M O M
M
R kk
W K s K
E 1k
E 2k L
E kk
W K s K
⑴
R 11 R
21 L
R k1
W S [
1
rh R 22 L
R k 2 W 2s 2
Q
(4.1.6)
M
O
M
M
n K
R kk
W K s K
E 11 E 21 L E k1 W 1s 1
n 1
E 12 E 22 L E k2
W 2s 2 n 2
M M O M M
M
E 1k
E 2k L
E kk
W K S K n K
因为Q 1
是酉矩阵, 于是 E j 和E j 有相同的统计特性，同理n j 和n j 有相
同的统计特性。

通过式（4.1.6），在接收端i 经过干扰抑制矩阵U i 处理后，接 收端i 的接收信号为
W 1s 1
W K S K
通过稳健干扰对齐算法得到最优干扰对齐矩阵 u O pt 和W°pt
，具体算法流程总
结为⑹：
（1） 初始化W i ，这里可以随机选择均值为 0，方差为 1的矩阵
W i , i 1,2, L ,K ,W i H W i I d i
o
（2） 计算出U i , i 1,2,L ,K ，并且单位化U i （3） 计算出W i , i 1,2,L ,K ，并且单位化W i （4） 重复步骤（2）和（3），直到收敛。

H U i
0,0, L ,R ii ,R (i
1)i ,L
R Ki
W 2s 2 M
W K S K
II
—
—
—
U i E 1i ,E 2i ,L E Ki
W 1s 1
W 2s 2 M
(4.1.7)
4.2基于QR分解的MIMO置信传播检测器
在一个N个发射天线和M个接收天线的MIMO系统中，s和K,S N T是N 1传输信号向量。

系统的输入输出关系可以写为
y H S n (4.2.1) 其中，y %,K ,y m 丁是M 1接收信号向量，n是M 1噪声向量，n的元
素是零均值、方差2的独立同分布(i.i.d )复高斯随机变量。

H是M N的
MIMO信道矩阵，rank H N 。

T
由QR分解，MIMO信道矩阵H可以写为H Q R T R T ,其中Q是M M
酉矩阵，
R。

是M N N非零矩阵，R是N N上三角矩阵
A G斤,2L r1,N
r20
R
M M
r2,2
O
L
O
r2,N
M(4.2.2)
5 0L0r N ,N
由于Q Q I M M ,R。

是非零矩阵，
I N
R T
N 0
Q H n R。

式(4.2.1)可以
写
为
% I N N R 0Q H y R S%(4.2.3)这样，R相比于由H得出的全连接的偶图就是一个包含更少的边数和环数的的偶图。

如下图所示。

图中，N M 4 , Q 1。

在第一次迭代前，全部0m初始化为0,其中1 n NQ且1 m g n 。

在第
l 次迭代时，每一个 鳥可以由最大对数近似得到
NQ
测的消息。

g n
l kn
k 1
1 n NQ 。

这样，给出的QR BP 检测器就由上三角信道矩阵 R 得 出的偶图来进行操作。

上述QR BP 的计算复杂度主要由式(4.2.3)中的线性变换和式(4.2.4)中 的计算决定。

线性变换的复杂度开销主要来自于
QR
分解，，它的复杂度是
O MN
2 ［3］。

另外，mn 的计算的大部分复杂度开销来自
%m a 的计算。

M
文献［1］给出了 次迭代后该算法的计算复杂度是 O MN 2 m2mQ .所以
m 1
给出的QR BP 检测器的计算复杂度小于文献［1］中标准BP 检测器的复杂度
O
MN2NQ 。

l mn
max
a A N m 1:
b n 1
l 1 km
f f m : bk 1,k n NQ
(424)
max
a A N m 1:bn 0
f f m:b k 1 ,k n
l 1 km
其中，b n 和b k
中的第n f m 比特和第k f m 比特对应的s 中的第
n 比特和第k
比特,
l 1 km
表示第l 1次迭代时第k 节点发出、第m 节点检
计算出
丨
后 丿
l mn
g n
l kn k 1,k m
(4.2.5)
其中1 n NQ
m g n 。

第 l
次迭代后b n 的软输出L ：是
(4.2.6)
其中, l mn
总结
通过此次文献调研，我们获益匪浅。

首先，我们了解了矩阵分解和矩阵变换，学习了QR分解、Householder变换、Give ns旋转。

其次，我们通过文献调研，了解了QR分解算法在实际中的应用，如参数估计，实际的MIMO S统等。

最后, 我们也从中学到了团队分工和协作的重要性。

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