2021年江苏省无锡市江阴高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年江苏省无锡市江阴高级中学高三数学理下学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则
A．的图象过点
B．在上是减函数
C．的一个对称中心是
D．将的图象向右平移个单位得到的图象
参考答案：
C
2. 有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有（）
A．36种B．12种C．60
种D． 48种
参考答案：
C
3. 已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是( )
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
参考答案：
B
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据题意构造函数g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，由f（﹣1）=0求出g（﹣1）=0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性，再转化f（x）＞0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．
【解答】解：由题意设g（x）=，则g′（x）=
∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0，
∴当x＞0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，
由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0，
∵不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0，
∴或，即或，
即有x＞1或﹣a＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：B．
【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．
4. 函数是定义在R上的增函数，且函数满足,若任意的
恒成立，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
5. （5分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．
【专题】：平面向量及应用．
【分析】：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．
解：∵，
∴，
∴
∴
∴
故选B．
【点评】：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．
6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）
A．1 B．3 C．7 D．15
参考答案：
D
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值，并输出．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值
∵S=0+20+21+22+23=15，
故选D．
7. 甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。

若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
参考答案：
C
8. 若，则的值为（）
A．6 B.-6 C.-2 D. 2
参考答案：
B
略
9. 已知函数，定义函数，则是（）A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
参考答案：
A
试题分析：,所以
，所以当时，
，所以当时，
，所以函数是奇函数，故选A.
考点：1.分段函数的表示；2.函数的奇偶性.
10. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
（）
A. B. C.
D.
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域为_________________.
参考答案：
略
12. 设则__________
参考答案：
13. 已知一个几何体的三视图如右图所示(单位:cm)，则该几何体的体积为cm3.
参考答案：
14. 若，则___________．
参考答案：
15. 已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点 P，则的最小值为．
参考答案：
3
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可作出图形，由图形可看出，而根据抛物线的定义，|FQ|等于Q到抛物线C的准线y=﹣2的距离，根据图形便可看出Q到准线的最短距离为2，从而便可得出的最小值为3．
【解答】解：如图，；
由抛物线的定义知：为点Q到准线的距离，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，；
∴；
即的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】考查圆心和切点连线垂直于切线，余弦函数的定义，直角三角形边的关系，以及抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，以及数形结合解题的方法．
16. 已知函数f (x)=2x+x，g(x)=log2x+x，h(x)=log2x－2的零点依次为a, b, c，则a, b, c的大小关系是。

参考答案：
a<b<c
17. 等差数列，的前n项和分别为，则
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
在中，角、、所对的边分别为、、，且，
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求及的面积.
参考答案：
【知识点】解三角形. C8
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ），.
解析：（Ⅰ），，
由正弦定理可得，…………2分
又，，，………4分
，，所以，故. ------6分
（Ⅱ），，由余弦定理可得：
，即
解得或（舍去），故. ………………10分
所以. ………12分
【思路点拨】（Ⅰ）把正弦定理代入已知等式得角B正弦值，再由a<b<c得角B是锐角，从而求得角B 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求边c的长，再由三角形面积公式求的面积.
19. 已知函数在处取最小值.（1）求的值；
（2）在中，分别为内角的对边，已知，求角.
参考答案：
(Ⅰ)f(x)=2sin x·+cos xsin φ-sin x
=sin x+sin xcosφ+cos xsin φ-sin x
=sin xcosφ+cos xsin φ=sin(x+φ).
因为f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,
故sin φ=1.又0<φ<π,所以φ=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=sin(x+)=cos x.
因为f(A)=cos A=,且A为△ABC的内角,所以A=.
由正弦定理得sin B==,
所以B=或B=.
当B=时,C=π-A-B=π--=,
当B=时,C=π-A-B=π--=.
综上所述,C=或C=.
20. 已知函数（a为常数）.
（1）当时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案：
∴函数的单调增区间为，单调减区间为
,．
（2）当时，恒成立，
令，
问题转换为时，．
，
①当时，，
在上单调递增，
此时无最大值，故不合题意．
③当时，令解得，，当时，，
而在上单调递增，在上单调递减，
，令，，
则，
在上单调递增，
又，
当时，，
在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，故不合题意．
当时，，
而此时在上单调递减，
，符合题意．
综上可知，实数的取值范围是．
21. 已知f（x）=|x2﹣2|+x2+ax．
（1）若a=3，求方程f（x）=0的解；
（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．
①求实数a的取值范围；
②证明：＜+＜2．
参考答案：
考点：带绝对值的函数．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：（1）若a=3，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=，即可求方程f（x）=0的解；
（2）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，﹣a=g（x）=
在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图求实数a的取值范围；
②由①得，=﹣k，=﹣k，可得+=x2，利用＜x2＜2，即可证明：＜
+＜2．
解答：解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=
所以当x或x≥时，得x=﹣2，或x=（舍去）
当﹣＜x＜时，2+3x=0得x=﹣
所以a=3时，方程f（x）=0的解是x=﹣2或x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，
﹣a=g（x）=在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图可知：
当且仅当＜﹣a＜3，即﹣3＜a＜﹣时，g（x）在（0，2）上有两个零点
所以，﹣3＜a＜﹣时，函数（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（②由①得，=﹣k，=﹣k，
所以+=x2，而＜x2＜2
所以＜+＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题考查带绝对值的函数，考查函数的零点，考查函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
22. 设一个口袋中装有10个球其中红球2个，绿球3个，白球5个，这三种球除颜色外完全相同．从中一次任意选取3个，取后不放回．
（1）求三种颜色球各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的红球的个数，求X的分布列与数学期望．
参考答案：
见解析
考点：概率综合
试题解析：（1）设表示事件“三种颜色的球各取到一个”
则
（2）X的所有可能值为0，1，2
且，，X的分布列为
（个）。