2020版高考数学二轮复习教程仿真模拟卷一理

仿真模拟卷一
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x｜x<1}，B＝{x｜3x<1}，则( ）
A．A∪B＝｛x｜x〉1} B．A∪B＝R
C．A∩B＝{x｜x<0｝D．A∩B＝∅
答案C
解析集合B＝{x|3x<1},即B＝{x|x<0｝，而A＝｛x|x〈1}，所以A∪B＝｛x｜x〈1｝,A∩B＝{x｜x<0｝．
2．记复数z的共轭复数为错误!,若错误!（1－i）＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝（）
A。

错误!B．1 C．2错误!D．2
答案A
解析由错误!（1－i）＝2i，可得错误!＝错误!＝错误!＝－1＋i，所以z＝－1－i，｜z|＝错误!.
3．设a＝ln错误!，b＝20.3，c＝错误!2,则（）
A．a〈c〈b B．c<a<b
C．a〈b〈c D．b〈a<c
答案A
解析由对数函数的性质可知a＝ln错误!〈0,由指数函数的性质可知b＝20.3〉1，又0<c＝错误!2<1，故选A。

4．设θ∈R，则“错误!〈错误!"是“sinθ<错误!”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析由错误!<错误!可得0<θ〈错误!，所以由“错误!〈错误!”可得“sinθ<错误!”，但由“sin<错误!”推不出“错误!〈错误!"所以“错误!〈错误!”是“sinθ〈错误!”的充分不必要条件．
5．在如图所示的计算1＋5＋9＋…＋2021的程序框图中，判断框内应填入的条件是（）
A．i≤2021？B．i〈2021？
C．i<2017? D．i≤2025?
答案A
解析由题意结合流程图可知当i＝2021时,程序应执行S＝S＋i,i＝i＋4＝2025，再次进入判断框时应该跳出循环，输出S的值；结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是i≤2021？。

6．已知二项式错误!n（n∈N＊）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为（)
A．14 B．－14 C．240 D．－240
答案C
解析二项展开式的第r＋1项的通项公式为T r＋1＝C错误!(2x）n －r·错误!r，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C错误!∶C错误!＝2∶5.即错误!＝错误!,解得n＝6.所以T r＋1＝C错误!26－r（－
1）r x错误!,令6－错误!r＝3，解得r＝2，所以x3的系数为C错误!26－2（－1)2＝240。

7．在△ABC中，错误!＋错误!＝2错误!，错误!＋错误!＝0，若错误!＝x错误!＋y错误!,则( ）
A．y＝3x B．x＝3y
C．y＝－3x D．x＝－3y
答案D
解析因为AB，→
＋错误!＝2错误!，所以点D是BC的中点，又
因为错误!＋错误!＝0，所以点E是AD的中点，所以有错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!错误!＝－错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!）＝－错误!错误!＋错误!错误!，因此错误!＝错误!错误!－错误!错误!.所以x＝错误!，y＝－错误!，即x＝－3y.
8．已知函数f(x）＝A sin(ωx＋φ）,A>0，ω>0，｜φ|〈错误!的部分图象如图所示，则使f（a＋x)－f（a－x)＝0成立的a的最小正值为( ）
A。

错误! B.错误! C.错误!D。

错误!
答案B
解析由图象易知，A＝2，f(0）＝1，即2sinφ＝1，且｜φ|〈错误!，即φ＝错误!，由图可知,f错误!＝0，所以sin错误!＝0，所以错误!·ω＋错误!＝2kπ，k∈Z,即ω＝错误!，k∈Z，又由图可知，周期T〉错误!⇒错误!〉错误!,得ω〈错误!，且ω〉0，所以k＝1,ω＝2，所以函数f（x)＝2sin错误!,因为f(a＋x）－f（a－x）＝0，所以函数f（x)的图象关于x＝a对称，即有2a＋错误!＝kπ＋错误!,k∈Z，所以可得a＝错误!＋错误!,k∈Z，所以a的最小正值为错误!.
9．若函数f(x)是定义在R上的奇函数,f错误!＝1，当x<0时，f(x）＝log2（－x)＋m，则实数m＝（）
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案C
解析∵f(x）是定义在R上的奇函数,f错误!＝1，且x<0时，f（x)＝log2（－x)＋m,∴f错误!＝log2错误!＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1。

10．在等差数列{a n｝中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{a n}的前11项和等于( )
A．66 B．132 C．－66 D．－132
答案D
解析因为a3,a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24,又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12,S11＝错误!＝错误!＝－132。

11．已知双曲线x2
a2－错误!＝1(a>0，b〉0)的左、右顶点分别为A,B,P
为双曲线左支上一点,△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为错误!a，则双曲线的离心率为（)
A.错误!
B.错误!C。

错误! D.错误!
答案C
解析由题意知等腰△ABP中，|AB|＝｜AP｜＝2a，设∠ABP ＝∠APB＝θ，F1为双曲线的左焦点，
则∠F1AP＝2θ,其中θ必为锐角．
∵△ABP外接圆的半径为错误!a，∴2错误!a＝错误!,
∴sinθ＝错误!，cosθ＝错误!，
∴sin2θ＝2×错误!×错误!＝错误!，
cos2θ＝2×错误!2－1＝错误!。

设点P的坐标为（x,y)，
则x＝－a－｜AP|cos2θ＝－错误!，y＝|AP|sin2θ＝错误!,
故点P的坐标为错误!。

由点P在双曲线上，得错误!－错误!＝1，
整理得错误!＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!。

12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859）在数学领域成就显著。

19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y＝f(x）＝错误!其中R为实数集,Q为有理数集．则关于函数f（x）有如下四个命题：
①f［f(x)］＝0;②函数f（x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T,f（x＋T）＝f(x）对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1,f （x1))，B(x2，f(x2))，C（x3，f（x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案C
解析当x为有理数时，f(x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0。

∴当x为有理数时，f［f（x）］＝f（1）＝1；当x为无理数时，f［f（x）]＝f（0）＝1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f［f （x）］＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（－x)＝f（x)，故②正确；当T∈Q时，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x ＋T)＝f(x）对x∈R恒成立，故③正确；取x1＝错误!，x2＝0，x3＝－错误!,f （x1)＝0,f(x2)＝1，f（x3）＝0，∴A错误!,B(0，1)，C错误!，△ABC恰好为等边三角形，故④正确，故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知x，y满足约束条件错误!x，y∈R，则x2＋y2的最大值为________．
答案8
解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示（含边界）．x2＋y2表示可行域内的点(x，y）到原点距离的平方．
由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2,－2)，B（2,2)，又|OA|＝｜OB｜＝2错误!，∴（x2＋y2）max＝8。

14．设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是________．
答案2错误!
解析设AB＝AC＝AA1＝x,在△ABC中，∠BAC＝120°，则由余弦定理可得BC＝3x。

由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径为r＝x，
又∵球的表面积是40π，∴球的半径为R＝错误!.
设△ABC外接圆的圆心为O′,球心为O，在Rt△OBO′中，有错误!2＋x2＝10，解得x＝2错误!，即AA1＝2错误!。

∴直三棱柱的高是22。

15．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
答案错误!
解析由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH,故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等,而S梯形EFOH＝错误!S△DOF＝错误!×错误!S正方＝错误!S正方形ABDF，
形ABDF
∴所求的概率为P＝错误!＝错误!.
16．在数列｛a n｝中，a1＝1，a n＋1＝S n＋3n（n∈N*，n≥1），则数列{S n}的通项公式为________．
答案S n＝3n－2n
解析∵a n＋1＝S n＋3n＝S n＋1－S n，
∴S n＋1＝2S n＋3n，
∴错误!＝错误!·错误!＋错误!,∴错误!－1＝错误!错误!,
又错误!－1＝错误!－1＝－错误!，
∴数列错误!是首项为－错误!，公比为错误!的等比数列,
∴错误!－1＝－错误!×错误!n－1＝－错误!n，
∴S n＝3n－2n.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在△ABC中，a，b,c分别是内角A,B，C的对边，且错误!b cos A＝sin A(a cos C＋c cos A）．
（1）求角A的大小；
(2）若a＝2错误!,△ABC的面积为错误!,求△ABC的周长．
解（1)∵错误!b cos A＝sin A（a cos C＋c cos A），
∴由正弦定理可得，
错误!sin B cos A＝sin A(sin A cos C＋sin C cos A）
＝sin A sin（A＋C）＝sin A sin B,
即3sin B cos A＝sin A sin B,∵sin B≠0，∴tan A＝3，
∵A∈(0，π）,∴A＝错误!。

（2）∵A＝错误!，a＝2错误!，△ABC的面积为错误!，
∴错误!bc sin A＝错误!bc＝错误!，∴bc＝5，
∴由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A,
即12＝b2＋c2－bc＝（b＋c)2－3bc＝（b＋c)2－15，
解得b＋c＝33，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝23＋3错误!＝5错误!.
18．（本小题满分12分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2。

（1)求证：BF∥平面ADE；
(2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若二面角E－BD－F的余弦值为错误!，求线段CF的长．
解依题意，可以建立以A为坐标原点，分别以错误!,错误!，错误!的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系（如图),可得A(0,0，0)，
B（1，0，0）,C(1,2，0），D（0，1,0），
E(0，0，2）．设CF＝h(h〉0)，
则F(1，2，h)．
(1）证明：依题意，错误!＝(1，0，0）是平面ADE的法向量，又
错误!＝(0,2,h），可得错误!·错误!＝0,又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE。

(2)依题意，错误!＝(－1，1，0),错误!＝（－1，0,2）,错误!＝（－1,－
2,2）．
设n＝（x，y，z)为平面BDE的法向量，则
错误!即错误!不妨令z＝1，
可得n＝(2,2,1）．
因此有cos〈错误!，n〉＝错误!＝－错误!。

所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为错误!。

(3)设m＝（x′，y′，z′）为平面BDF的法向量，
则错误!即错误!
不妨令y＝1，可得m＝错误!。

由题意，有｜cos〈m，n〉|＝错误!＝错误!＝错误!，
解得h＝错误!.经检验，符合题意．
所以线段CF的长为错误!。

19．(本小题满分12分)如图,已知点F(1，0）为抛物线y2＝2px （p〉0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG,△CQG的面积分别为S1，S2。

（1)求p的值及抛物线的准线方程;
（2）求错误!的最小值及此时点G的坐标．
解（1）由题意得错误!＝1，即p＝2.
所以抛物线的准线方程为x＝－1。

（2）设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G （x G ,y G ）．令y A ＝2t ，2t ≠0，则x A ＝t 2。

由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12t
y ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－错误!y －4＝0，
故2ty B ＝－4,即y B ＝－2t
，所以B 错误!. 又由于x G ＝错误!（x A ＋x B ＋x C ),y G ＝错误!（y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，故2t －错误!＋y C ＝0，得
C 错误!，G 错误!。

所以直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，
得Q （t 2－1，0)．
由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2〉2。

从而
错误!＝错误!
＝错误!
＝错误!＝2－错误!。

令m ＝t 2－2，则m 〉0，
错误!＝2－错误!＝2－错误!
≥2－错误!＝1＋错误!.
当m＝错误!时，错误!取得最小值1＋错误!,此时G（2，0）．
20．（本小题满分12分）设函数f（x）＝m e x－x2＋3,其中m∈R。

（1)当f(x）为偶函数时,求函数h(x）＝xf(x）的极值；
（2)若函数f（x）在区间［－2，4］上有两个零点,求m的取值范围．
解（1)由函数f（x)是偶函数,得f(－x）＝f（x)，
即m e－x－（－x）2＋3＝m e x－x2＋3对于任意实数x都成立,所以m＝0.
此时h（x）＝xf(x）＝－x3＋3x，则h′(x)＝－3x2＋3。

由h′（x）＝0，解得x＝±1。

当x变化时，h′(x)与h（x）的变化情况如下表所示：
所以h(x）在(－∞，－1），（1，＋∞）上单调递减,在（－1,1）上单调递增．
所以h（x)有极小值h（－1）＝－2，极大值h（1）＝2。

(2）由f（x)＝m e x－x2＋3＝0，得m＝错误!。

所以“f(x）在区间［－2,4]上有两个零点”等价于“直线y＝m 与曲线g（x）＝错误!，x∈［－2,4]有且只有两个公共点”．对函数g(x)求导，得g′(x）＝错误!。

由g′（x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3。

当x变化时，g′(x)与g（x）的变化情况如下表所示：
所以g(x)在（－2，－1）,（3，4)上单调递减,在(－1，3)上单调递增．
又因为g(－2)＝e2，g（－1）＝－2e，g(3）＝错误!〈g（－2）,g （4)＝错误!〉g（－1)，
所以当－2e<m<错误!或m＝错误!时,直线y＝m与曲线g(x)＝错误!，x ∈［－2，4]有且只有两个公共点．
即当－2e〈m〈错误!或m＝错误!时，函数f（x）在区间［－2,4]上有两个零点．
21．(本小题满分12分）某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片,每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出
厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品,就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．
（1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格,求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？
（2）若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂．设每片芯片不合格的概率为p(0〈p<1），且相互独立．
①若某盒12片芯片中恰有3片次品的概率为f(p),求f(p）的最大值点p0；
②若以①中的p0作为p的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片的最终利润X（单位：元)的期望．
解(1）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A,则P （A)＝错误!＝错误!。

答：该盒芯片可出厂的概率为错误!。

(2）①某盒12片芯片中恰有3片次品的概率
f(p)＝C错误!p3（1－p）9
当且仅当3p＝1－p，即p＝错误!时取“＝”号，
故f（p)的最大值点p0＝错误!.
②由题设知，p＝p0＝错误!.设这盒芯片不合格品个数为n,
则n～B错误!，故E（n)＝12×错误!＝3，
则E(X）＝120－12－30－3×2＝72。

∴这盒芯片的最终利润X的期望是72元．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)［选修4－4:坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2＋y2＝4，直线l 的参数方程为错误!(t为参数)，若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的错误!，得曲线C2。

(1）写出曲线C2的参数方程；
(2）设点P(－2,3错误!），直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，
求错误!＋错误!的值．
解（1）若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的错误!，则得到曲线C2的直角坐标方程为x2＋错误!2＝4，整理,得错误!＋错误!＝1，
∴曲线C2的参数方程为错误!(θ为参数）．
（2）将直线l的参数方程化为标准形式为
错误!（t′为参数），
将参数方程代入错误!＋错误!＝1,得
错误!＋错误!＝1，
整理，得错误!(t′）2＋18t′＋36＝0。

∴|PA|＋|PB|＝|t1′＋t2′｜＝72 7，
｜PA｜·｜PB｜＝t1′t2′＝错误!，
∴
1
｜PA｜＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
23．(本小题满分10分）［选修4－5:不等式选讲]已知函数f(x)＝｜x＋3|＋|x－1｜的最小值为m.
(1)求m的值以及此时x的取值范围；
(2)若实数p，q,r满足：p2＋2q2＋r2＝m,
学必求其心得，业必贵于专精
证明：q（p＋r）≤2.
解(1)依题意，得f(x）＝|x＋3|＋｜x－1｜≥|x＋3－x＋1|＝4，故m的值为4.
当且仅当(x＋3）(x－1）≤0，即－3≤x≤1时等号成立，即x 的取值范围为[－3，1］．
（2）证明：因为p2＋2q2＋r2＝m，
故(p2＋q2)＋（q2＋r2）＝4.
因为p2＋q2≥2pq,当且仅当p＝q时等号成立；
q2＋r2≥2qr，当且仅当q＝r时等号成立，
所以(p2＋q2）＋(q2＋r2)＝4≥2pq＋2qr,
故q(p＋r）≤2,当且仅当p＝q＝r时等号成立．
- 21 -。