(压轴题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(答案解析)(1)

一、选择题
1．下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5+=+ B ．2
22
1
log 3
log 32-= C ．222log 3log 5log (35)⋅=+
D ．231
log 3log 2
=
2．已知函数()()
2log 2x
f x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实
数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =
B ．{}0|m m ≤
C ．{}|0m m ≥
D ．{}|1m m =
3．若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知函数()()
2
ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．5-
D ．5
5．设函数()21x
f x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤ D ．222a c +<
6．已知函数()
a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．(0,1)
C ．20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．[
)3,+∞ 8．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，1
31
(())4
a f =，37(log )2
b f =，
13
(log 5)c f =，则a ，b
，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
9．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为 A ．e -
B ．1e
-
C ．e
D ．
1e
10．已知函数()2,0
1,0
x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
11．设0.5
12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）．
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．a b c >>
D ．a c b <<
12．函数()log 1a f x x =+（且
）．当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有
（ ）．
A ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数
B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数
C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数
D ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数
二、填空题
13．已知(5)3,1
()log ,1
a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为
_________
14．已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log 3a =____________. 15．若3763,a b ==则
21
a b
+的值为_______ 16．已知()(3),1
log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．
17．函数21x x +)是_________（奇、偶）函数.
18．已知21()1,()log 2x
f x
g x x m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，若
()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，则实数m 的取值范围是_______.
19．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为1
1x x y y =⎧⎨=⎩或
2
2x x y y =⎧⎨=⎩
，则()1212lg x x y y =________. 20．方程(
)(
)
22log 972log 31x
x
+=++的解为______.
三、解答题
21．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，
()232f x ax ax =-+，（a R ∈）.
（1）求()f x 的函数解析式：
（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围. 22．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；
（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由. 23．已知函数()22x x f x k -=+. （1）若()f x 为偶函数，求实数k 的值；
（2）若()4f x 在2[log x m ∈，2log (2)](m m +为大于0的常数)上恒成立，求实数k 的最小值.
24．已知函数()2log 11a f x x ⎛
⎫
=-
⎪+⎝⎭
（0a >且1a ≠）. （1）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；
（2）当01a <<时，判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为
[]1log ,1log a a n m ++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
25．求函数(
)
log 2
3=-2-3y x x 的定义域、值域和单调区间. 26．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠. （1）解不等式(26)(5)f a f a +； （2）已知对任意的实数(
)
2
3,14m f m m f ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
恒成立，是否存在实数k ，使得对任意的[1,0]x ∈-，不等式(
)()1
42240x x x
f f k ++--⋅>恒成立，若存在，求出k 的范围；
若不存在，请说明理由.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据对数的运算法则和换底公式判断． 【详解】
22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；
22221
log 32log 3log 32
-=-≠，B 错误；
222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误； 3233log 31
log 3log 2log 2
=
=，D 正确． 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，
log log n a a b n b =，一般
log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1
log log n a a b b n
≠
． 2．A
解析：A 【分析】
若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集
R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得
0m ≤，再求交集即可. 【详解】
若()()
2log 2x
f x m =+定义域为实数集R ，
则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立， 因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥， 令2x t m =+，则2log y t =
若()()
2log 2x
f x m =+值域为实数集R ，
则2x t m =+的值域包括()0,∞+， 因为t m >，所以0m ≤，
所以0m =， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.
3．C
解析：C 【分析】
先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】
由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，
y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，
所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485
＝log 28＝3. 故选C 【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．D
解析：D 【分析】
由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合
(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求.
【详解】
解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4， 又(1)0f =，
68ln()0b
a c
a a
b
c ⎧-=⎪
⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪
⎩
，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=
⎩. 18
2533
a b c ∴-+=++=.
故选：D. 【点睛】
本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.
5．D
解析：D 【分析】
运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21x
f x =-的图象，由数形结合可得
0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．
【详解】
()21,02112,0
x x
x
x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21x
f x =-的图象如图所示，
由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，
又()()0f c f a ->，即为()12210c a
--->，
∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】
本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．
6．C
解析：C
【分析】
由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】
由恬24a
=，2a =，222
log (1),10
()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，
函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．
7．C
解析：C 【分析】
根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】
因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，
因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23
<a ， 综上023
a <<． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．
8．C
解析：C 【分析】
偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简
1333
(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=，利用中间量
比较大小得解. 【详解】
∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增
1333
(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=，
∵133317
0()1log log 542<<<<，
133317
(()(log )(log 5)42
)f f f << ∴a b c <<. 故选：C 【分析】
本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.
9．D
解析：D 【分析】
根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】
由题意，函数()y f x =与x
y e =互为反函数，所以()ln f x x =，
函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e
= 故选D. 【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．A
解析：A 【分析】
先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】
由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由
12a +=-解得3a =-，故选A.
【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.
11．A
解析：A 【分析】
利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】
解：因为12
y x =在[0,)+∞上单调递增，1
10.32
>>
所以0.5
0.5
0.5
110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭
>，即0.5
0.5110.32⎛⎫
>> ⎪
⎝⎭
因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A 【点睛】
本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.
12．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意，当(1,0)x ∈-时，1(0,1)x +∈，而此时log 10a x +>，所以有
01a <<，从而能够确定函数在(,1)-∞-上是增函数，在区间(1,)-+∞上是减函数，故选D ．
考点：函数的单调性． 二、填空题
13．【分析】根据在上单调递增列出不等式组求解即可【详解】解：在上单调递增即解得：即故答案为：【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时要注意上下段端点值的问题
解析：5,54⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
根据()f x 在R 上单调递增，列出不等式组，求解即可. 【详解】 解：
(5)3,1()log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递增，
即50153log 1
a a a a a ->⎧
⎪
>⎨
⎪--≤⎩
， 解得：
5
54
a ≤<， 即5,54a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，
故答案为：5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.
14．【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a 满足两边取对数得即故解得故故答案为：【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数化简计算 解析：716
-
【分析】
利用已知式两边同时取以e 为底的对数，化简计算ln a ，再利用换底公式ln 3
log 3ln a a
=代入计算即可. 【详解】
正实数a 满足8(9)a
a
a a =，两边取对数得8ln ln(9)a
a
a a =，即ln 8ln(9)a a a a =，
故()ln 8ln9ln a a =+，解得16ln ln 37
a =-，故ln 3ln 37
log 316ln 16ln 37
a a ===-
-.
故答案为：716
-. 【点睛】
本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数，化简计算得到ln a 的值，再结合换底公式即突破难点.
15．1【分析】将指数式化为对数式得代入可得根据换底公式可求值【详解】由题意可得∵故答案为：1【点睛】本题主要考查对数与指数的互化对数的换底公式的应用考查基本运算求解能力
解析：1 【分析】
将指数式化为对数式得3log 63a =，7log 63b =，代入可得，
372121log 63log 63
a b +=+，根据换底公式可求值. 【详解】
由题意可得，3log 63a =，7log 63b =， ∵
6363363721212log 3log 7log 631log 63log 63
a b +=+=+== 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查对数与指数的互化，对数的换底公式的应用，考查基本运算求解能力. 16．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分 解析：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【分析】
分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可．
【详解】
解：若01a <<，
当1≥x 时，log 0a x ≤，
当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，
此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；
若1a >，
当1≥x 时，log 0a x ≥，
当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，
需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩，解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩
， 312
a ∴<≤， 综上所述，312a <≤
， 故答案为：31,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
． 【点睛】
本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题. 17．奇【解析】又所以函数f(x)是奇函数点睛:判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等
解析：奇
【解析】
210x x x x x x R +->=-≥∴∈
又()(
)
))
lg lg lg10f x f x x x -+=+== 所以函数f(x) 是奇函数.
点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．
18．【分析】求出函数在上的最值最后根据题意列出不等式进行求解即可【详解】当时因此；当时因此因为所以有即故答案为：【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值考查了存在性和任意性的概念的理解考查了数 解析：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 【分析】
求出函数(),()f x g x 在[1,3]x ∈上的最值，最后根据题意列出不等式进行求解即可.
【详解】
当[1,3]x ∈时，11[,1]28x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此9()[,2]8f x ∈； 当[1,3]x ∈时，22(log )[0,log 3]x ∈，因此2()[,log 3]g x m m ∈+，
因为()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，所以有min min ()()f x g x ≥， 即9988
m m ≥⇒≤. 故答案为：9,8
⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】
本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值，考查了存在性和任意性的概念的理解，考查了数学运算能力.
19．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运 解析：6
【分析】 利用换底公式得出585
8log log 4111
log log x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，分别消去5log x 和8log y ，可得出二次方程，利
用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值，进而可计算出()1212lg x x y y 的值.
由换底公式得585
8log log 4111log log x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②， 由①得58log 4log x y =-，代入②并整理得()2
88log 2log 40y y --=，
由韦达定理得8182log log 2y y +=，即()812log 2y y =，则261282y y ==， ()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=，6125x x ∴=，
因此，()6
1212lg lg106x x y y ==. 故答案为：6.
【点睛】
本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．
20．或【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程求得的值进一步求得值得答案【详解】由得即化为解得：或或故答案为：或【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解将对数方程转化为指数方程是解决本题的关 解析：0x =或1x =.
【分析】
由对数的运算性质化对数方程为关于3x 的一元二次方程，求得3x 的值，进一步求得x 值得答案.
【详解】
由()()
22log 972log 31x x +=++，得 (
)()
22log 97log 431x x +=+， 即()97431x x +=+，
化为()234330x x -⋅+=， 解得：31x =或33x =，
0x ∴=或1x =.
故答案为：0x =或1x =.
【点睛】
本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.
三、解答题
21．（1）()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩；（2）()()()()3,21,00,12,3---.
（1）根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ；
（2）当1a =时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案.
【详解】
（1）设0x <，0x ->，()2
32f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，()()f x f x -=，∴()232f x ax ax =++.
综上：()2232,032,0
ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，()
2232log 1x x -<+， 原不等式等价于22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩
，解得()()0,12,3x ∈， 同理可知：0x <，()
2232log 1x x +<+， 原不等式等价于22320322
x x x x ⎧++>⎨++<⎩，解得()()1,03,2x ∈---， 综上：实数x 的取值范围为()
()()()3,21,00,12,3---.
【点睛】 求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.
22．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析
【分析】
（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.
【详解】
（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;
（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,
由2020x x +>⎧⎨->⎩
,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=，
所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数.
【点睛】
本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.
23．（1）1k =；（2）当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为
24m m -+.
【分析】
（1）根据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解.
（2）将()4f x ，转化为2(2)42x x k -+⨯，令2[x t m =∈，2]m +，构造函数2()4g t t t =-+，利用二次函数的性质求得其最大值即可..
【详解】
（1）()f x 为偶函数，
()()f x f x ∴=-，
2?22?2x x x x k k --∴+=+，
即(1)(22)0x x
k ---=，对任意的x 恒成立， 1k ∴=.
（2）由()4f x ，可得2?24x x k -+，即2(2)42x x k
-+⨯，
令2[x t m =∈，2]m +， 2()4g t t t ∴=-+，
当02m <<时，对称轴2[t m =∈，2]m +，
则()max g t g =（2）4244=-+⨯=，
当2m 时，对称轴2t m =，
则2()()4max g t g m m m ==-+，
故当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
24．（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3
）存在
(0,3∈-a .
【分析】
（1）先由函数解析式求出定义域，再由()f x ，求出()f x -，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果； （2）先令2()11=-
+g x x ，用单调性的定义，即可判断2()11
=-+g x x 的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果； （3）先假设存在满足条件的实数a ，由题意得出01a <<，()1log ()1log a a f n n f m m =+⎧⎨=+⎩
，推出,m n 是方程2log 11log 1⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭
a a x x 的两根，进而得到2(1)10ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果.
【详解】
（1）由2101
->+x 解得1x >或1x <-，即函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞； 又()21log 1log 11
-⎛
⎫=-= ⎪++⎝⎭a a x f x x x ， 所以()22121log 1log 1log log 1111-+-+⎛⎫⎛⎫-=-=-== ⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭⎝⎭
a a a a x x f x x x x x ， 因此()()log 10+-==a f x f x ，所以()()f x f x -=-，
所以函数()f x 为奇函数；
（2）令2()11
=-+g x x ，任取121x x <<， 则12121221212222()()111111(1)(1)
⎛
⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭x x g x g x x x x x x x ， 因为120x x -<，110x +>，210x +>，所以121221()()0(1)(1)--=
<++x x g x g x x x ， 即函数2()11
=-+g x x 在()1,+∞上单调递增； 又01a <<，所以log a y x =单调递减，
根据同增异减的原则，可得：()2log 11a f x x ⎛
⎫=-
⎪+⎝⎭在()1,+∞上单调递减； （3）假设存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为
[]1log ,1log a a n m ++，由m n <，1log 1log +<+a a n m 可得01a <<；
所以()1log ()1log a a f n n f m m =+⎧⎨=+⎩
， 因此,m n 是方程2log 11log 1⎛
⎫-
=+ ⎪+⎝⎭a a x x 的两根， 即2(1)10ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不同解，
设2()(1)1=+-+h x ax a x ，则(1)01120
h a a
>⎧⎪-⎪-
>⎨⎪∆>⎪⎩
，解得03a <<-.
所以存在(0,3∈-a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判定，单调性的判定，以及由函数定义域与值域求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.
25．定义域为(,1)(3,)-∞-+∞，函数值域为R ，减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞．
【分析】
结合对数函数性质求解．
【详解】
由2230x x -->得1x <-或3x >，∴定义域为(,1)
(3,)-∞-+∞．
由2230x x -->得y R ∈，函数值域为R ， 223y x x =--在(,1)-∞-上递减，在(3,)+∞上递增，
∴()
log 23=-2-3y x x 的减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞．
【点睛】
本题考查对数型复合函数的性质，掌握对数函数的性质是解题关键．
26．（1）(0,1)[2,)a ∈⋃+∞（2）实数k 不存在，详见解析
【分析】
（1）分类讨论，利用对数函数的单调性，将不等式具体化，解不等式即可；
（2）判断函数()f x 为增函数，将不等式具体化，再分离参数求最值，即可得出结论.
【详解】
解：（1）当01a <<时，有2650a a +>，
解得02a <≤，即(0,1)∈a ；
当1a >时，有0265a a <+，
解得2a ，即[2,)a ∈+∞.
综上可知，(0,1)[2,)a ∈⋃+∞. （2）由于221331244m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝
⎭， 且()2314f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
，可知()f x 为增函数. ()()142240x x x f f k ++--⋅>，即()()14224x x x f f k ++>-⋅，
则有14224x x x k ++>-⋅在[1,0]-上恒成立， 即1342x x k +<⋅+在[1,0]-上恒成立，
令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设2()32,()g t t t g t =+在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则min 17()24g t g ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，即74
k <. 又由于[1,0]x ∈-时，240x k -⋅>恒成立，
k ，故符合题意的实数k不存在.
解得2
【点睛】
本题考查对数函数的单调性、恒成立问题的转化分析、指数函数与二次函数的复合函数的最值问题.。