高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4节 二次函数与幂函数教学案 理(含解析)新人教A版

第四节 二次函数与幂函数
[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3
，y ＝x 1
2，y ＝1x
的图
象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)；
顶点式：f (x )＝a (x －h )2
＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质
函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)
图象
定义域 R
值域
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫4ac －b 2
4a ，＋∞ ⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 2
4a
单调性
在⎝
⎛
⎦⎥⎤
－∞，－b 2a 上减，
在⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫－b
2a ，＋∞上增
在⎝
⎛
⎦⎥⎤
－∞，－b 2a 上增，
在⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫
－b
2a ，＋∞上减
对称性 函数的图象关于直线x ＝－b
2a
对称 (1)定义：形如y ＝x α
(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质
函数
特征
y ＝x
y ＝x 2 y ＝x 3
y ＝x 12
y ＝x －1
性质
图象
定义域 R R
R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增
(－∞，0)减，
(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和 (0，＋∞)减
公共点 (1,1)
1．幂函数y ＝x α
在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；
(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．研究二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b
2a
与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝
x 1＋x 2
2
对称．
(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数
y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b
2
4a
.( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α
在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α
的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )
A.1
2 B ． 1
C.32
D ．2
C [∵f (x )＝k ·x α
是幂函数，∴k ＝1，
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α
＝22，∴α＝12， ∴k ＋α＝1＋12＝3
2
.]
3.如图是①y ＝x a
；②y ＝x b
；③y ＝x c
在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜c ＜b
D [结合幂函数的图象可知b ＞c ＞a .]
4．(教材改编)已知函数y ＝x 2
＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值X 围为( )
A ．a ≤－5
B ．a ≤5
C ．a ≥－5
D ．a ≥5
C [由题意可得－a 2≤5
2
，即a ≥－5.]
5．(教材改编)函数g (x )＝x 2
－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g (x )＝x 2
－2x ＝(x －1)2
－1，x ∈[0,3]， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1， 又g (0)＝0，g (3)＝9－6＝3，
∴g (x )max ＝3，即g (x )的值域为[－1,3]．]
幂函数的图象及性质
1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α
＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12
＝x ，是非奇非偶函
数，且在(0，＋∞)上是增函数．] 2.幂函数y ＝x m 2－4m
(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
C [由图象可知y ＝x
m 2－4m
是偶函数，且m 2
－4m ＜0，
∴0＜m ＜4，又m ∈Z，∴m ＝1,2,3， 经检验m ＝2符合题意．]
3．若(a ＋1)12＜(3－2a )12
，则实数a 的取值X 围是________．
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12
的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，
解之得－1≤a ＜23.]
[规律方法]
1求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特
征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.
2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
求二次函数的解析式
【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2
－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R，都有f (1＋x )＝f (1
－x )成立，则f (x )的解析式为________．
(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.
(1)f (x )＝x 2
－2x ＋3 (2)－2x 2
＋4 [(1)∵f (0)＝3，∴c ＝3.
又f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b
2＝1，∴b ＝2. ∴f (x )＝x 2
－2x ＋3.
(2)∵f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2
＋(2a ＋ab )x ＋2a 2
， 又f (x )为偶函数，且值域为(－∞，4]，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＋ab ＝0，2a 2
＝4.∴⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝－2，
2a 2
＝4.
∴f (x )＝－2x 2
＋4.]
[规律方法] 求二次函数解析式的方法
已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确
定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a ＋2b ＋c ＝－1，
a －
b ＋
c ＝－1，
4ac －b 2
4a ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2
＋4x ＋7.
法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2
＋n . ∵f (2)＝f (－1)，
∴函数图象的对称轴为x ＝2＋－12＝12
.
∴m ＝1
2
.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.
∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－122
＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋8＝－4x 2
＋4x ＋7.
法三(利用零点式)：
由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2
－ax －2a －1. 又函数的最大值是8，即
4a
－2a －1－－a
2
4a
＝8，解得a ＝－4，
∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2
＋4x ＋7.
二次函数的图象与性质
►考法1 二次函数的单调性
【例2】 函数f (x )＝ax 2
＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0]
D ．[－3,0]
D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a
2a ，
由f (x )在[－1，＋∞)上递减知
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，3－a
2a
≤－1，解得－3≤a ＜0.
综上，a 的取值X 围为[－3,0]．]
[母题探究] 若函数f (x )＝ax 2
＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.
－3 [由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0，又3－a
2a ＝－1，∴a ＝－3.]
►考法2 二次函数的最值
【例3】 求函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解]f (x )＝(x ＋a )2
＋1－a 2，
∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－1
2
时，
f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5；
(2)当－a ≥12，即a ≤－1
2
时，
f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .
综上，f (x )max
＝⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＋5，a ＞－1
2，2－2a ，a ≤－1
2
.
►考法3 二次函数中的恒成立问题
【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2
－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a
的取值X 围为( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)
D ．(－4，＋∞)
(2)已知函数f (x )＝x 2
＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值X 围是________． (1)B (2)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
22，0 [(1)因为对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2时，a
＞
2x －2x 2
＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122
＋1
2
， 又－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122
＋12≤12
，
则实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. (2)因为函数f (x )＝x 2
＋mx －1的图象是开口向上的抛物线，要使对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都
有f (x )＜0，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
m ＜0，
f m ＋1＜0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m 2
－1＜0，
m ＋12
＋m m ＋1－1＜0，
解得－
2
2
＜m ＜0. 所以实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
22，0.] [规律方法] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
2.由不等式恒成立求参数取值X 围的思路及关键
1一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
2两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f x 恒成立⇔a ≥f x
max
，a ≤f x 恒成立⇔a ≤f x
min
.
已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.
(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围．
[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
－b 2a
＝－1，
f －1＝a －b ＋1＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2.
所以f (x )＝x 2
＋2x ＋1，
函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．
(2)由题意知，x 2
＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2
＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，
令g (x )＝x 2
＋x ＋1，x ∈[－3，－1]．
g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，
则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1， 故k 的取值X 围是(－∞，1)．。