山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文) 含解析版

山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文)
一、选择题：共12题
在复平面内对应的点在
1．i是虚数单位,则复数z=2i−1
i
A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限 D.第四象限【答案】A
【解析】本题主要考查复数的几何意义与复数代数式的四则运算。

复数z=2i−1
=2+i，在复平面上点的坐标为（2，1),在第一象限内,故选A。

i
2．下列三句话按“三段论"模式排列顺序正确的是
①y=sinx(x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数;③y=sinx（x∈R)是周期函数．
A.①②③B。

②①③C。

②③①D。

③②①
【答案】B
【解析】本题主要考查演绎推理.演绎推理的三段论：大前提-—小前提——结论,所以答案:②①③，故选B。

3．某班共有30人，其中15人喜爱下象棋,10人喜爱下围棋，8人对这两项棋类都不喜爱,那么喜爱下围棋不喜爱下象棋的人数为
A。

12人 B.7人C。

8人D。

9人
【答案】B
【解析】本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理、集合的基本运算、集合的元素个数。

设全集U=｛某班学生}，集合A=｛喜爱下象棋的学生}，B={喜爱下围棋的学生},C={两种棋类都不喜爱的学生｝,由题意可知，U中有30个元素，A中有15个元素，B 中有10个元素，C中有8个元素，所以同时喜爱两种棋类的元素有15+10+8-30=3人,所以喜爱下围棋不喜爱下象棋的人数为10-3=7，故选B。

4．为研究变量x和y的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到线性回归方程l1和l2,两人计算知x̅相同，y̅也相同,下列说法正确的是
A。

l1与l2重合 B.l1与l2一定平行
C.l1与l2相交于点(x̅,y̅）D。

无法判断l1与l2是否相交
【答案】C
【解析】主要考查回归直线方程的意义.根据回归直线的方程过(x̅,y̅)进行判断，因为两线性回归的直线方程，两人计算知x̅相同,y̅也相同，且都过(x̅,y̅）,可知两回归的直线方程交于（x̅，y̅).
5．直线l1:(a−1)x+y−1=0和l2:3x+ay+2=0垂直，则实数a的值为
A。

1
2B.3
2
C.1
4
D.3
4
【答案】D
【解析】本题主要考查两条直线的位置关系.因为直线l1:(a−1)x+y−1=0和l2:3x+ay+2=0垂直,所以3(a−1)+a=0,解得a=3
4
，故选D。

6．已知数组(x1,y1),(x2,y2),⋅⋅⋅,(x10,y10)满足线性回归方程ŷ=bx+a,则“(x0,y0)满足
线性回归方程y=bx+a"是“x0=x1+x2+⋅⋅⋅+x10
10,y0=y1+y2+⋅⋅⋅+y10
10
”的
A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件
C。

充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、回归分析。

根据题意，数组(x1,y1),(x2,y2),⋅⋅⋅,(x10,y10)满足线性回归方程ŷ=bx+a,则样本点中心是
(x1+x2+⋅⋅⋅+x10
10,y1+y2+⋅⋅⋅+y10
10
），虽然点(x0,y0)满足线性回归方程y=bx+a，但(x0,y0)不
一定是样本点的中心,但是,当x0=x1+x2+⋅⋅⋅+x10
10,y0=y1+y2+⋅⋅⋅+y10
10
时,(x0,y0)一定是样
本点的中心,故，“(x0,y0)满足线性回归方程y=bx+a”是“x0=x1+x2+⋅⋅⋅+x10
10
,y0=
y1+y2+⋅⋅⋅+y10
10
”的必要不充分条件，故选B.
7．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是（)
A。

B。

C. D.
【答案】A
【解析】本题考查学生对图形变化规律的归纳.由图可知该五角星对角上亮的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A中所示的图形。

故选A.
8．函数y=x3
3x−1
的图象大致是
A.B。

C。

D。

【答案】C
【解析】本题主要考查函数的图象与性质。

函数y=x3
3x−1
的定义域是
{x|x≠0},故排除A;当x<0时，显然函数y=x3
3x−1
>0，故排除B；当x=2时,x3
3x−1
=1,当x=3时,x33x−1=2726>1,当x=4时，x33x−1=6480<1,随着x的增大，x33x−1赿来赿小,故D不正确，则C正确.
9．设a,b,c∈(−∞,0),则a+1
b ,b+1
c
,c+1
a
A.都不大于−2B。

都不小于−2
C.至少有一个不小于−2
D.至少有一个不大于−2【答案】D
【解析】本题主要考查反证法、基本不等式.假设a+1
b ,b+1
c
,c+1
a
都大于−2，
即a+1
b >−2,b+1
c
>−2,c+1
a
>−2,则a+1b+b+1c+c+1a>−6,因为a,b,c∈(−∞,0),所以a+1a≤
−2,b+1
b ≤−2,c+1
a
≤−2,则a+1a+b+1b+c+1a≤−6，这与a+1b+b+1c+c+1a>−6矛盾，假设
不成立，故a+1
b ,b+1
c
,c+1
a
至少有一个不大于−2，故选D。

10．给出下列四个命题:
①因为(4+3i)−(2+3i)=2>0，所以4+3i>2+3i；
②由a⋅b=a⋅c两边同除a，可得b=c;
③数列1,4，7，10，⋯，3n+7的一个通项公式是a n=3n+7;
④演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊的推理.
其中正确命题个数有
A。

1个 B.2个C。

3个D。

4个
【答案】A
【解析】本题主要考查命题及其真假的判断、复数与向量、合情推理与演绎推理。

①当复数的虚部不为0时,两个复数不能比较大小,故①是假命题;②令b=(1,0),c=(0,1),a=(1,1)，则a⋅b=a⋅c,b=c不成立，故②是假命题;③数列1，4，7,10,⋯，3n+7的一个通项公式是a n=3n−2，故③是假命题；④是真命题。

故选A.
11．双曲线x 2
a 2−
y 2b 2
=1 (a >0,b >0
）的左焦点与抛物线x 2=4√2ay 的焦点的连线
平行于该双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率为
A 。

2 B.√2
C.√2+2√332
D.1+√33
2
【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的性质、直线的斜率。

由题意，双曲线的左焦点F 1（-c ，0）,抛物线的焦点F 2(0,√2a )，则过点F 1,F 2的直线的斜率k =√2a
c
,双曲线x 2
a
2−
y 2b 2
=1
的渐近线方程为y =±b
a
x ,根据题意可知√2a c =b
a
，求解可得双曲线的离心率e =√2，故选B.
12．设函数f(x)=13
x 3+ax 2+5x +6在区间[1,3]上是单调递减函数,则实数a 的取值范围是 A.[−√5,+∞) B 。

(−∞,−3] C 。

(−∞,−3]∪[−√5,+∞) D.[−√5,√5]
【答案】B
【解析】本题主要考查导数、二次函数的性质、恒成立问题.f′(x)=x 2+
2ax +5
，因为函数f(x)=13
x 3+ax 2
+5x +6在区间[1,3]上是单调递减函数,所以当x
∈[1,3]
时,
f ́(x)=x 2+2ax +5≤0
恒成立，则
{f
́(1)≤0f
́(3)≤0
,即{2a +6≤0
6a +14≤0,求解可得
a ≤−3，故选B.
二、填空题：共4题
13．已知：
sin 230∘+sin 290∘+sin 2150∘=32,sin 25∘+sin 265+sin 2125∘=32，sin 218∘+sin 278∘+sin 2138∘=3
2,通过观察上述等式的规律,写出一般性的命题： ．
【答案】sin 2(α−60∘)+sin 2α+sin 2(α+60∘)=32
【解析】本题主要考查归纳推理。

观察这几个式子，sin 230∘+sin 290∘+
sin 2150∘=
3
2,sin 25∘+sin 265+sin 2125∘=32,sin 218∘+sin 278∘+sin 2138∘=3
2，可知,这三个角成等差数列,所以，一般性的命题是:sin 2(α−60∘)+sin 2α+sin 2(α+60∘)=32。

14．已知函数f(x)={x 2−1,x <1
log 12
x,x ≥1
,函数g(x)=f(x)−k 有三个不同的零点，则实
数k 的取值范围是 ．
【答案】(−1,0)
【解析】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点。

函数g(x)=
f(x)−k
有三个不同的零点,表示方程f (x )=k 有三个不同的实数根,也即可
是函数f(x)的图象与直线y =k 有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象与直线y =k ,如图所示,观察图象可知,实数k 的取值范围是(−1,0).
15．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3),(2,4,6),(3,8,11),(4,16,20)，(5,32,37),⋅⋅⋅
,(a n ,b n ,c n )
．若数列{c n }的前n 项和为S n ,则S 10= (用数字作答）．
【答案】2101
【解析】本题主要考查归纳推理、数列求和，考查了分析问题与解决问题的能力。

由三个数组成的数组可知，数列{a n }的通项公式a n =n ,
数列{b n}的通项公式b n=2n，数列{a n}的通项公式c n=a n+b n=n+2n，所以数列{c n}的前10项和为S10=(1+2+⋯+10)+(2+4+⋯+210)=2 101。

16．下列四个命题中：①a＋b≥2√ab；②sin2x＋4
sin2x
≥4;③设x、y都是正
数，若1
x ＋9
y
＝1，则x＋y的最小值是12;④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε,则|x－y|＜
2ε。

其中所有真命题的序号是__________．
【答案】④
【解析】本题主要考查基本不等式和绝对值的性质的运用。

特殊值法：令a=−1,b=−1，则①错；令x=kπ，k∈Z，则②错；x＋y=（x＋y）
(1 x ＋9
y
）=10+y
x
+9x
y
≥10+6=16，则x＋y的最小值是16, ③错; |x－y｜=|
（x—2）+(y－2）｜≤|x－2|+|y－2|＜2ε，④正确。

三、解答题：共6题
17．已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos(π−2x)．
（1）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2）求f(x)在区间[π
4,3π
4
]上的取值范围．
【答案】（1）∵f(x)=(sinx+cosx)2+cos(π−2x),
∴f(x)=1+sin2x−cos2x=√2sin(2x−π
4
)+1,
函数的最小正周期为T=2π
2
=π,
由−π
2+2kπ≤2x−π
4
≤π
2
+2kπ(k∈Z)得−π
8
+kπ≤x≤3π
8
+kπ(k∈Ζ)，
∴f(x)的单调增区间是[−π8+kπ,3π8+kπ]（k∈Ζ)。

(2)∵π
4≤x≤3π
4
,∴π
4
≤2x−π
4
≤5π
4
，
∴−√2
2≤sin(2x−π
4
)≤1，
∴0≤√2sin(2x−π
4
)+1≤√2+1,
∴函数f(x)在区间[π4,3π4]上的取值范围为[0,√2+1]．
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查了计算能力。

（1）利用二倍角公式、和差
角公式化简f(x)，再利用三角函数的性质求解；（2)由π
4≤x≤3π
4
,可得π
4
≤2x−
π4≤5π
4
，再利用正弦函数的图象与性质即可求出函数f(x)在区间[π
4
,3π
4
]上的
取值范围。

18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1）、（2)、（3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同）,设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1）求出f(5);
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
【答案】（1）∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25，
∴f(2)−f(1)=4=4×1,f(3)−f(2)=8=4×2，f(4)−f(3)=12=4×3,f(5)−f(4)=16=4×4，∴f(5)=25+4×4=41．
(2）由上式规律得出f(n+1)−f(n)=4n．
∴f(2)−f(1)=4×1,f(3)−f(2)=4×2，f(4)−f(3)=4×3,⋅⋅⋅，f(n−1)−f(n−2)=4⋅(n−2),f(n)−f(n−1)=4⋅(n−1)，
∴f(n)−f(1)=4[1+2+⋅⋅⋅+(n−2)+(n−1)]=2(n−1)⋅n，
∴f(n)=2n2−2n+1．
【解析】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查学生了分析问题与解决问题的能力。

（1)分别求出f(1),f(2),f(3),f(4),计算出f(2)−f(1)，f(3)−f(2),f(4)−f(3)的值,找出规律,即可求出f(5)；(2）根据(1）的规律，得出f(n+ 1)−f(n)=4n，然后分别求出f(2)−f(1),f(3)−f(2)，f(4)−f(3),⋅⋅⋅,f(n−1)−f(n−2),f(n)−f(n−1)的值，利用叠加法即可求出结论。

19．通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：
性别与看营养说明列联表单位：名
（1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为10的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名? (2)根据以上列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系？
下面的临界值表供参考:
（参考公式:
Κ2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n =a +b +c +d ）
【答案】（1)根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有1050×30=6名，样本中不看营养说明的女生有1050
×20=4名. (2)假设Η0:该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关,则Κ2应该很小．
根据题中的列联表得k =110×(50×20−30×10)2
80×30×60×50
=
53972
≈7.486
，
由Ρ(Κ2≥6.635)=0.010可知
在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系.
【解析】本题主要考查抽样方法、独立性检验及其应用,考查了学生的计算能力.(1）根据分层抽样法求解可得结果;（2)根据题中列联表中的数据,求出K 2的观测值，对照概率表,即可求得结论。

20．某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y （单位：百万元)之间有如下对应数据：
（1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方
程y
̂=b ̂x +a ̂; （2）求估计广告费支出700万元的销售额．
【答案】(1)由已知:x̅=5,y ̅=50,∑x i 25
i=1=145,∑x i y i 5i=1=1 380,
可得
b ̂=∑x i y i 5
i=1−5⋅x̅⋅y ̅∑x i 25i=1−5⋅x̅
2=1380−5×5×50
145−5×52
=6.5,
a ̂=y ̅−b
̂x̅=50−6.5×5=17.5．
所求的回归直线方程是y
̂=6.5x +17.5． （2）由（1)可知:回归直线方程是y
̂=6.5x +17.5． 又700万元=7百万元,
即x =7时，y
̂=6.5×7+17.5=63 (百万元)， 答：广告费支出700万元销售额大约是6300万元．
【解析】本题主要考查独立性检验及其应用，考查学生的计算能力.(1)
根据公式求出b
̂,a ̂,即可求出回归直线方程；(2)根据题意,将x =7代入回归方程,即可求出结果.
21．已知椭圆x 2
a
2
+y 2
b 2=1(a >b >0
）的左右焦点分别为F 1,F 2，点Α(2,√2)在椭圆
上，且ΑF 2与x 轴垂直． (1）求椭圆的方程；
（2）过Α作直线与椭圆交于另外一点Β,求ΔΑΟΒ面积的最大值． 【答案】（1）由已知：c =2,
b 2a
=√2,∴ a =2√2,b 2=4
，
故椭圆方程为x 2
8+y 2
4=1.
（2)当ΑΒ斜率不存在时,S ΔΑΟΒ=12
×2√2×2=2√2, 当ΑΒ斜率存在时,设其方程为y −√2=k(x −2)（k ≠√22）,
由{y =kx +(√2−2k)
x 2+2y 2
=8
,得(2k 2+1)x 2+4(√2−2k)kx +2(√2−2k)2−8=0, 由已知,Δ=16(√2−2k)2k 2−8(2k 2+1)[(√2−2k)2−4]=8(2k +√2)2>0,
即k ≠−√22，|ΑΒ|=√1+k 2⋅2√2⋅|2k+√2|
2k 2
+1
， Ο
到直线ΑΒ的距离d =√2−2k|√1+k
2
，
∴SΔΑΟΒ=1
2|ΑΒ|d=√2|2−4
2k2+1
|，
∵k≠−√2
2
,∴2k2+1≠2,∴2k2+1∈[1,2)∪(2,+∞),
∴2−4
2k2+1
∈[−2,0)∪(0,2),
此时SΔΑΟΒ∈(0,2√2],
综上所求,当ΑΒ斜率不存在或斜率为零时，ΔΑΟΒ面积取最大值为2√2.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了方程思想与分类讨论思想、计算
能力。

（1）由已知:c=2,b2
a
=√2，求解可得椭圆的方程;（2）当ΑΒ斜率
不存在时,易求SΔΑΟΒ的值;当ΑΒ斜率存在时,设其方程为y−√2=k(x−2)(k≠√2
2
），联立椭圆方程,利用根与系数的关系和弦长公式,求出弦长|ΑΒ|,再求出
原点O到直线AB的距离，化简SΔΑΟΒ=1
2
|ΑΒ|d并求出面积的范围,则三角
形面积的最大值即可求得.
22．已知函数f(x)=1
2
x2+ax−2a2lnx（a≠0）．
（1）讨论函数a≠0的单调性；
（2）若f(x)>0恒成立,求a的取值范围．
【答案】（1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=x+a−2a2
x =x2+ax−2a2
x
=(x+2a)(x−a)
x
,
①当a<0时，在(0,−2a)上f′(x)<0，在(−2a,+∞)上f′(x)>0．因此,f(x)在(0,−2a)上递减，在(−2a,+∞)上递增．
②当a>0时，在(0,a)上f′(x)<0,在(a,+∞)上f′(x)>0．
因此，f(x)在(0,a)上递减，在(a,+∞)上递增．
（2）由(1）知：a<0时，
f(x)min=f(−2a)=2a2−2a2−2a2ln(−2a)=−2a2ln(−2a),由f(x)>0得:ln(−2a)<0⇒0<−2a<1⇒−1
2
<a<0,
当a>0时，f(x)min=f(a)=1
2a2+a2−2a2lna=3
2
a2−2a2lna,
由f(x)>0得：3
2a2−2a2lna>0⇒lna<3
4
⇒0<a<e34,
综上得：a∈(−1
2
,0)∪(0,e34)。

【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了恒成立问题与分类讨论思想,考查学生的计算能力。

(1）f(x)的定义域为(0,+∞),求出f′(x)=
(x+2a)(x−a)
x
,再分a<0,a>0两种情况进行讨论求函数f(x)的单调性；（2）根据（1)的结论,分别求出a<0与a>0时,f(x)min,由题意可知,f(x)min>0,求解可得a 的取值范围．。