四川省泸县第二中学2021-2022高二数学下学期第一次在线月考试题 理.doc

四川省泸县第二中学2021-2022高二数学下学期第一次在线月考试
题 理
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

110y +-=的倾斜角是 A ．30
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
2．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是 A ．32,10x R x x ∀∈--> B ．32
,10x R x x ∀∈--< C ．32,10x x x ∃∈-->R
D ．32,10x R x x ∃∈--<
3．“22am bm <”是“a b <”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件
4．已知命题“设a 、b 、R c ∈，若22ac bc >，则a b >”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．过抛物线2
8y x =的焦点作直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则AB = A ．6
B ．8
C ．12
D ．16
6．若圆2
2
220x y x y m ++-+=，则实数m =
A ．32
-
B ．-1
C ．1
D ．
32
7．已知圆22
1:2310C x y x y ++++=，圆2
2
2:43360C x y x y ++--=，则圆1C 和圆2
C 的位置关系为 A ．相切
B ．内含
C ．外离
D ．相交
8．若方程22148sin x y α
+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是
A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,
32ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．,62ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
9．已知定点()3,0B ，点A 在圆2
2
(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是
A ．2
2
(1)1x y ++= B ．22
(2)4x y -+= C ．2
2
(1)1x y -+=
D ．2
2
(2)4x y ++=
10，则该三棱锥的外接球的表面积 A ．24π
B ．18π
C ．10π
D ．6π
11．若点（m ，n ）在椭圆9x 2+y 2＝9上，则
3
n
m -的最小值为
A ．3
-
B ．3-
C ．3
-
D ．4
-
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过
点A M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是
A B C ．
3
D ．
53
第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．不等式2620x x +->的解集用区间表示为______.
14．抛物线24y x =的焦点坐标是___________．
15．双曲线22
1916
x y -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于9，那么点P 到另一个焦点的
距离等于_____.
16．已知点(0,2),(0,2),(3,2)A B C -，若动点(,)M x y 满足||||||||MA AC MB BC +=+，则点M 的轨迹方程为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）给定如下两个命题：命题:p “曲线2212x y
m +=是焦点在y 轴上的椭圆，其中
m 为常数”；命题:q “曲线22
11
y x m -=-是焦点在x 轴上的双曲线，其中m 为常数”．已知命题“p q ∧”为假命题，命题“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I ）求直方图中a 的值；
（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.
19．（12分）已知动点P 到定点1,02M ⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离比到定直线1x =-的距离小12，其轨迹
为C .
（I ）求C 的方程
（II ）过点()1,0N 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()0,0E x ，求0x 的取值范围.
20．（12分）足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
（I ）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y
与x 的线性相关性强弱. （已知：0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较）：
（II ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2021年足球特色学校的个数（精确到个）.
参考公式和数据：()()
n
i
i
x x y y r --=
∑
()
2
1
10,
n
i i x x =-=∑()
2
1
1.3,
n
i i y y =-=∑ 3.6056≈，
()()
()
1
2
1
ˆ,n
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx
=-.
21．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
2
AB BC AD ==
, E 是PD 的中点．
（I）证明：直线CE∥平面PAB；（II）求二面角B PC D
--的余弦值．
22．（12分）已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有
222
OA OB AB
+<，求a的取值范围．
2021年春四川省泸县第二中学高二第一学月考试
理科数学试题参考答案
1．C 2．C
3．A
4．B
5．C
6．B
7．B
8．C
9．C
10．D
11．D 12．B
13．3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
14．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭
15．3或15
16．2
2
1(1)3
x y y -=≤-
17．若命题p 为真命题，则2m >，若命题q 为真命题，则1m ， 由题知p 与q 一真一假，若p 真q 假，则2
1m m >⎧⎨
<⎩
，此时无解. 若p 假q 真，则2
1m m ≤⎧⎨
>⎩
，得12m <≤， 综上：实数m 的取值范围是(]
1,2．
18：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12="36" 000．
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 19．解：（1）由题意知，动点P 到1,02M ⎛⎫
⎪⎝⎭
与定直线1
2x =-的距离与到定点的距离相等，
由抛物线的定义可知，曲线C 的方程为：2
2y x =.
（2）由题意知直线存在斜率，设直线l 的方程为()10x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，
AB 中点()33,S x y ，
则由2
12x my y x
=+⎧⎨
=⎩得2
220y my --=， 所以12
32
y y y m +=
=，23311x my m =+=+， 则线段AB 的中垂线的方程为()
2
1y m m x m ⎡⎤-=--+⎣⎦，则202x m =+， 又2
0,0m m ≠∴>，即02x >，
所以0x 的取值范围是2,
.
20．（1）由题得2016,x =1y =
所以()()
n
i
i
x x y y r --
=
∑=
3.6
0.9980.73.6056
=≈>，
∴y 与x 线性相关性很强.
（2）()()
()
5
1
5
2
1
ˆi
i
i i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑
(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.7
41014
-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=
++++0.36=，
ˆˆa
y bx =-120160.36=-⨯724.76=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76y
x =-. 当2020x =时，ˆ0.36724.76y
x =- 2.44=，即该地区2021年足球特色学校有244个. 21．(1)取PA 的中点F ,连FE FB 、,E 是PD 的中点,
∴FE //=
12AD ,又BC //=
1
2
AD ∴FE //=BC ∴四边形EFBC 是平行四边形 CE ∴∥BF 又CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB
∴CE ∥平面PAB
(2)在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ,不妨令1
22
AB BC AD ==
=,则4=AD 由
PAB ∆是等边三角形,则2PA PB ==,O 为AB 的中点,3PO =
分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴,以底面内AB 的中垂线为y 轴建立空间直角坐标系,
则(0,0,3)P ,(1,0,0)B ,(1,2,0)C ,(1,4,0)D -
(1,2,3)PC ∴=-,(0,2,0)BC =,(2,2,0)CD =-
设平面PBC 的法向量为111(,,1)n x y =,平面PDC 的法向量为222(1,,)n y z =-,
则11111112303
02000n PC x y x n BC y y ⎧⎧⋅=+-==⎪⎪⇒⎨⎨
⋅=++==⎪⎪⎩⎩ 则1(3,0,1)n = 22222221
123022003
y n PC y z n CD y z =-⎧⎧⋅=-+-=⎪⎪⇒⎨
⎨⋅=++==-⎪⎪⎩⎩ 则2(1,1,3)n =--- 121212
(3,0,1)(1,1,3)2315
cos ,2525
n n n n n n ⋅⋅----∴=
=
==-⋅⋅⋅
经检验,二面角B PC D --的弦值的大小为15
-
22．（1）设M N ，为短轴的两个三等分点，MNF ∆为正三角形，
所以OF =
，213
b
=，解得b 2214a b =+=，所以椭圆方程为22
143
x y +=． （2）设1122(,),(,).A x y B x y （ⅰ）当直线AB 与x 轴重合时，
222222
2222,4(1),OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有．
（ⅱ）当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22
221,1,x y
x my a b
=++=代入
整理得2
2
2
2
2
2
22
()20,a b m y b my b a b +++-=2222
12122222
22
2,b m b a b y y y y a b m a b m -+=-=++ 因恒有222
OA OB AB +<，所以AOB ∠恒为钝角， 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+<恒成立．
2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++
2222222222222
222222222
(1)()210.m b a b b m m a b b a b a a b m a b m a b m
+--+-+=-+=<+++ 又2220a b m +>，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m R ∈恒成立， 即2222222m a b a b a b >+-对m R ∈恒成立，
当m R ∈时， 222m a b 最小值为0，所以22220a b a b +-<，2
2
2
4
(1)a b a b <-=，
因为
220,0,1a b a b a >>∴<=-，即210a a -->，解得12a +>
或12
a -<去），
即a >，综合（i ）（ii ），a 的取值范围为)+∞．。