(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函

象限;
②假设角θ是第二象限角,试判断sin(cos θ)的符号.
解:①因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,
sin > 0,
所以 sin θcos θ<0,2cos θ<0,即
cos < 0.
所以角 θ 为第二象限角.
π
②因为 2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z),所以-1<cos θ<0.
180

弧长公式
弧长 l= |α|r
扇形面积公式
S= lr= |α|r2
1
1
2
2
°≈57.3°
-6知识梳理
双击自测
3.任意角的三角函数
(1)三角函数定义:设P(x,y)是角α终边上任一点,且|PO|=r(r>0),那



sin α= ,cos α= ,tan α=
么有
,它们都是以角为 自变量
,以
-20-
考点一
考点二
考点三
(3)由得,l+2R=20.
1
1
2
2
所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当R=5时,S取得最大值25,此时l=10,α=2.
方法总结1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更
方便、简捷.
2.求扇形面积的最值应从扇形面积公式出发,在弧度制下使问题
.
π
,那么角
3
关闭
π
2
因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+ (k∈Z).
π
又 β=-3 ,
5π
所以 5π
α=2kπ+ (k∈Z).
6
2kπ+ 6
关闭
解析
-18答案
考点一
考点二
考点三
(2)①如果点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角θ所在的
.
如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.
-5知识梳理
双击自测
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于 半径长
的角.弧度记作rad.
(2)公式:
角 α 的弧度数公式
角度与弧度的换算
的弧所对的圆心角叫做1弧度
l
|α|= (弧长用 l 表示)
r

①1°=180 rad,
②1 rad=
弧度.
关闭
π
由题意可知弦和半径组成等边三角形,所以所对圆心角为3 .
关闭
π
3
解析
答案
-12知识梳理
双击自测
1
5.(2018 浙江嘉兴模拟)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P -2,y ,则
sin α·tan α=(
A.-
3
)
B.±
3
3
3
3
C.-
3
D.±
2
2
关闭
1
∵点 P -2,y 在单位圆上,∴y=± 3,
π
π
2π- ≤x<2kπ+ ,∈Z .
6
4
关闭
π
π
2π- 6 ≤x<2kπ+4 ,∈Z
解析
-27答案
考点一
考点二
考点三
方法总结1.利用三角函数定义求角的三角函数值,需确定三个量:
π
5π
π
5π
正确;由于 sin6 =sin 6 ,但6 与 6 的终边不相同,故④错;当 cos
θ=-1,θ=π 时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故⑤错.综上可知关闭
A ③正确.
只有
解析
-16答案
考点一
考点二
考点三
方法总结1.利用终边一样的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断
一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
)
关闭
α=45°+k·180°,k∈Z,
当k=0时,α=45°,此时α为第一象限角,排除C,D;
当k=1时,α=225°,此时α是第三象限角,排除B;
即角α的终边落在第一或第三象限,故选A.
A
关闭
解析
答案
-9知识梳理
双击自测
1
此,α=
.
1
2
1
= 2 .因
关闭
2
解析
-22答案
考点一
考点二
考点三
三角函数定义的应用(考点难度★★)
考情分析从近五年高考来看,单独考察三角函数定义的问题比较少
且难度较低;常结合三角函数的根底知识及三角恒等变形进展考
察,题目有一定难度.题目的常见类型有:(1)直接应用三角函数定义
求三角函数值;(2)利用三角函数的几何意义,即三角函数线求三角
(2)分类
按旋转方向不同分为
正角 、
按终边位置不同分为 象限角
负角
、 零角
.
和轴线角.
(3)终边一样的角:所有与角α终边一样的角,连同角α在内,可构成
一个集合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
.
(4)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半
第几象限角
轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是
≤x<2kπ+ 3 ,∈Z
解析
-26答案
考点一
考点二
考点三
关闭
1
sin ≥ - 2 ,
①
2sin + f(x)=
1 ≥ 0,2sin
(2)函数
+
1+lg(2cos
x2)的定义域为
.
由
得
2
2cos- 2 > 0
cos > ,②
2
在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域,其公共区域为
不等式组的解集,故函数 f(x)的定义域为
3π
∴2kπ+π<α<2kπ+ 2 ,k∈Z,
π

3π
3π

π
∴kπ+2 < 2 <kπ+ 4 ,k∈Z,
∴-kπ- 4 <-2 <-kπ-2 ,k∈Z,
π
1
π
∴-kπ+4 <π-2 <-kπ+2 ,k∈Z,
1
1
故当 k 为偶数时,π-2 是第一象限角;故当 k 为奇数时,π-2 是第三象关闭
15
- 5

6
- 3
= 2 2 =- 4 ,tan θ= = - 3 = 3 .
则 cos
15
6
15
6
综上可知,cos θ=- 4 ,tan θ=- 3 或 cos θ=- 4 ,tan θ= 3 .

θ=
-25-
考点一
考点二
考点三
类型二 利用三角函数线解三角不等式
1
【例 4】 (1)不等式 cos x≥-2的解为 .



比值为 函数值
的函数.
(2)三角函数符号:三角函数在各象限内的正值口诀是:一全正、
二正弦、三正切、四余弦.
-7知识梳理
双击自测
(3)三角函数的几何意义(三角函数线):如下图,各象限内的正弦线
MP 、余弦线为
为
OM 、正切线为
AT .
-8知识梳理
双击自测
1.角α=45°+k·180°,k∈Z,那么角α的终边落在(
的换算.
2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.
本节内容高考一般不直接考查,常常结合三角恒等
考向分析
变形进行综合考查.但它是后续各节的基础,是学习
三角函数必须掌握的基本功.
-4知识梳理
双击自测
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 端点 从一个位置旋
转到另一个位置所形成的图形.
2
所以sin(cos θ)<0.所以sin(cos θ)的符号是负号.
-19-
考点一
考点二
考点三
扇形弧长、面积公式的应用(考点难度★)
【例2】 一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)假设α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;
与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.
2.熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键,对于三
角函数式符号判断角所在象限时,可分两步进展:第一步,根据三角
函数式的符号确定各三角函数值的符号;第二步,判断角所在象限.
-17-
考点一
考点二
考点三
对点训练(1)角α和角β的终边关于直线y=x对称,且β=α=
B
限角,故选
B.
解析
-14答案
考点一
考点二
考点三
(2)终边落在射线y= 3 x(x>0)上的角α构成的集合有以下四种表
示形式:
π
① = 2π + 3 ,∈Z ;
π
② = 2π- 3 ,∈Z ;
③ = 2π-
5π
3
π
,∈Z ;
④ = π ± 3 ,∈Z .
的大小无关;
④假设sin α=sin β,那么α与β的终边一样;
⑤假设cos θ<0,那么θ是第二象限或第三象限的角.
关闭
其中正确命题的个数是(
)
由于第一象限角
370°不小于第二象限角
100°,故①错;当三角形的
A.1 90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故
B.2
C.3 D.4
内角为
②错;③
1
1
关闭
过点 - 2 ,0 作直线与单位圆交于点 Q1 - 2 ,
1
2
3
2
1
,Q2 - 2 , -
3
2
,则以
OQ1 ,OQ2 为终边的角的余弦值为- ,终边落在阴影部分的角的余弦
1
值大于- .故
2
cos
1
x≥- 的解集为
2

2π
2π3
≤ < 2π +
2π
,∈Z
3
.
关闭
2π-
2π
3
2π
2.扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,那么扇形的圆心角的弧度数是
(
)
A.1
B.4
C.1或4
D.2或4
关闭
设此扇形的半径为 r cm,弧长为 l cm,则
= 2,

4

2
从而 α= = =4 或 α= = =1.

1

2

=
2.
C
2 + = 6,
1

2
= 2,
解得
= 1,
或
=4
能在同一式子中出现.
2.当判定角的终边所在的象限时,要注意对k进展分类讨论.
考点一
考点二
考点三
象限角、三角函数值的符号判断(考点难度★)

(1)假设α是第三象限的角,那么π2
【例1】
是(
A.第一或第二象限的角 B.第一或第三象限的角
C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角
)
关闭
∵α 是第三象限角,
其中正确的选项是(
)
A.① B.①③C.② D.③④
关闭
在平面直角坐标系中作出图形,观察知符合题意的角的集合为①③.
关闭
B
解析
-15答案
考点一
考点二
考点三
(3)给出以下命题:
①第二象限角大于第一象限角;
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;
③不管是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径
(3)假设扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇
形的面积最大?
π
π
10π
解:(1)α=60°=3 rad, ∴l=α·R=3 ×10= 3 (cm).
2 + = 10,
= 4,
= 1,
(2)由题意得 1
解得
(舍去),
1
2 = 4,
·


=
.

=
8
2
2
1
2
故扇形圆心角为 .
第四章
三角函数、解三角形
4.1
任意角、弧度制及任意角
的三角函数
-3-
2018
2017
2016 2015
2014
年份
任意角、弧度
7,5 分(理) 18(1),3 分(理)
制及任
18(1),3 分 18(1),6 分
意角的三角
8,5 分(文)
函数
1.了解角、角度制与弧度制的概念,掌握弧度与角度
考查要求
转化为关于α的函数,利用根本不等式或二次函数求最值的方法求
最值.
-21-
考点一
考点二
考点三
对点训练一扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,那么该扇形圆心
角的弧度数α=
.
关闭
1
设扇形半径为 r cm,则弧长为(10-2r)cm,由其面积 S= ·(10-2r)·r=4,
2
10-2×4
4
解得 r=1 或 r=4.当 r=1 时,α=8>2π,舍去;当 r=4 时,α=
关闭
解析
答案
-10知识梳理
双击自测
3.如果sin α>0,且cos α<0,那么α是(
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
)
关闭


∵sin α= >0,cos α= <0,∴x<0,y>0.
∴α 是第二象限角.故选 B.
关闭
B
解析
答案
-11知识梳理
双击自测
4.(教材改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为
m,试判断角θ所
4
2
m.
4
∵m≠0, ∴m=± 5.故角 θ 是第二或第三象限角.
当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角,
则 cos

θ=
=
6
- 3
=- 4 ,tan
2 2

θ=
=
15
5
=- 3 .
- 3
当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角.
2
1
3
则由三角函数的定义可得,cos α=-2,sin α=±2 ,
si n 2
则 sin α·tan α= cos =
C
3
4
1
2
3
=-2.
关闭
解析
答案
-13知识梳理
双击自测
自测点评
1.将角的概念推广到任意角后,角既有大小之分又有正负之别,按
逆时针旋转的为正角,按顺时针旋转的为负角.角度制与弧度制不