广东省阳江市第三中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

广东省阳江市第三中学17-18学年下学期期末考试题
（高一数学）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 设集合，则＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，，所以，故选C.
2. = （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式把要求的式子化为，从而求得结果.
【详解】
，故选B.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.
3. 在区间[－2，1]上随机取一个数，则的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何概型计算公式，求出区间长度的比值即可.
【详解】区间的长度为，
区间的长度为，
在区间上随机取一个数，
的概率为，故选A.
【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
4. 下列函数中为偶函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一判断选项中所给函数的奇偶性，即可得结果.
【详解】，函数，是偶函数，符合题意；
，函数是奇函数，不合题意；
，函数是非奇非偶函数，不合题意；
，函数是非奇非偶函数，不合题意，故选A.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇
函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由
求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
5. 如果执行如图所示的程序框图，若输入,那么输出的等于( )
A. 720
B. 120
C. 240
D. 360
【答案】D
【解析】
【分析】
执行程序框图，写出每次循环得到的的值，当有时不满足条件，输出的值为.
【详解】执行程序框图，有，
第一次执行循环体，，
满足条件，第二次执行循环体，有；
满足条件，第三次执行循环体，有；
满足条件，第四次执行循环体，有；
不满足条件，输出的值为，故选D.
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
6. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（）
A. 2，5
B. 5，8
C. 5，5
D. 8，8
【答案】B
【解析】
【分析】
由甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，列出方程组求出的值即可.
【详解】甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，
由茎叶图知：
解得，故选B.
【点睛】本题主要考查中位数与平均数的定义，属于简单题. 平均数等于样本数据的算术平均值，即
．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
7. 已知=，且为第二象限角，那么的值等于( )
A. 7
B. -7
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，正弦值除以余弦值得正切值，利用两角和的正切公式可得结果. 【详解】且是第二象限的角，
，
，故选D.
【点睛】本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用以及两角和的正切公式，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
8. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
A . B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.
考点：古典概型
视频
9. 若将函数的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应
的函数为，故选D.
【考点】三角函数图像的平移
【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.
视频
10. 若，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：，故选C.
考点：二倍角公式
11. 函数的部分图象如图,则的值分别（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
答案：A.
由函数图像得，
则=π，解得ω=2，
又点（，2）在函数图像上，
则有2sin(2×+φ)=2，
所以sin(2×+φ)=1，
所以可令+φ=，
解得φ=.
故选A.
12. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则（）
A. -2
B.
C.
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的周期性与奇偶性可得且，可得的值，进而分析可得，从而可得结果.
【详解】因为函数是定义在的周期为的奇函数，
所以则有且，
即，则，
，
则，故选A.
【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
填空题（每小题5分，满分20分）
13. 在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．
【答案】2.8
【解析】
由茎叶图知，去掉一个最高分95和一个最低分89后，
所剩数据90，90，93，94，93的平均数为（90+90+93+94+93）=92；
方差为[（90-92）2+（90-92）2+（93-92）2+（94-92）2+（93-92）2]=2.8．
14. 把89化为五进制数是________．
【答案】
【解析】
，余数是
，余数是
，余数是
故
故答案为
视频
15. 某几何体的三视图如右图所示, 则其表面积为________.
【答案】
【解析】
综合三视图可知，，立体图是一个半径r=1的半个球体。

其表面积=视频
16. 设,若对任意实数都有,则实数的取值范围是______【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，只需，从而可得结论.
【详解】不等式对任意实数恒成立，
令，
则，
，
，，
，
即实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】利用辅助角公式() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由
可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.
解答题（共6小题，17小题10分，18-22题各小题12分）
17. 已知，且是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）由题意结合同角三角函数基本关系可得.则.
（2）化简三角函数式可得，结合(1)的结论可知三角函数式的值为.
详解：（1）∵是第二象限角，∴，∴.
.
（2）∵，
∴.
点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的化简与求值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
【解析】
分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
19. 已知函数.
求的值；
求函数的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（1）2（2）
【解析】
试题分析：（1）借助题设直接运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件和二倍角公式求解．
试题解析:
（1），
（2）因为．
所以，由，
得，所以的单调递增区间为．
考点：三角函数的图象及诱导公式二倍角公式的运用．
视频
20. 某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元；未售出的产品，每盒亏损元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示。

该同学为这个开学季购进了盒该产品，以(单位：盒，)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润。

（1）求市场需求量在[100,120]的概率；
（2）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数；
（3）将表示为的函数，并根据直方图估计利润不少于元的概率。

【答案】（1）0.1（2）（3）0.9
【解析】
试题分析：（1）应用众数和平均数的定义计算.（2）由于市场需求量有可能大于160或是小于160，要分两种情形进行讨论.（3）经计算利润要大于4800，则需求量要在120以上，考虑到需求量小于120的概率是0.1，所以大于120的概率就是0.9.
试题解析：（1）由频率直方图得：最大需求量为的频率．
这个开学季内市场需求量的众数估计值是；
需求量为的频率，
需求量为的频率，
需求量为的频率，
需求量为的频率，
需求量为的频率．
则平均数．……………………（5分）
（2）因为每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元，
所以当时，，………………………………（7分）
当时，，…………………………（9分）
所以．
（3）因为利润不少于元所以，解得，解得．
所以由（1）知利润不少于元的概率．……………（12分）
考点：1、频率分布直方图；2、分段函数；3.概率.
21. 在平行六面体中，,。

求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.
详解：
证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.
22. 已知圆经过点，和直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
【答案】（1）(x－1)2＋(y＋2)2＝2．（2）x＝2或3x－4y－6＝0．
【解析】
【分析】
（1）根据圆的弦的中垂线过圆心以及圆心到切线的距离等于半径可求得圆心坐标及半径的大小，从而可得结果；（2）若直线斜率不存在，符合题意；若直线斜率存在，可设直线方程为，利用点到直线距离公式列方程可求出的值，从而可得结果.
【详解】（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)，,
线段AB的垂直平分线方程为，即，
设圆心的坐标为C(a，－a－1)，
则，
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，
半径r＝|AC|＝＝．
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．
（2）由题知圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，
满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，
解得k＝，
∴直线l的方程为y＝（x－2）．
综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0．
【点睛】本题主要考查圆的方程和性质、以及直线的点斜式方程，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.。