2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析) (4)

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
0+2M x x =≤≤4，{}2,3N =-，则M N =
A. ∅
B. {}2-
C. {}2
D. {}2,2-
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出集合M ，再将集合N 中的元素代入集合M ，将满足集合M 的元素保留下来得出集合M N ⋂。

【详解】
{}{}02422M x x x x =≤+≤=-≤≤，因此，{}2M N =-I ，故选：B 。

【点睛】本题考查集合的基本运算，意在考查学生对集合的基本运算律的理解，属于基础题。

2.已知i 是虚数单位，复数1z 在复平面内对应的向量()12,1OZ =-,则复数1
1i
z z =+的虚部为 A. 1
2
-
B. 32
-
C.
12
D. 32
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的几何意义先得出复数1z ，然后利用复数的除法法则求出复数z ，于是可得出复数z 的虚部。

【详解】由题意可知12z i =-+，所以，()()()()
1
211313111222i i z i z i i i i -+--+====-+++-， 因此，复数z 的虚部为
3
2
，故选：D 。

【点睛】本题考查复数的几何意义、复数的除法以及复数的概念，求解复数问题，一般是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，确定复数的实部与虚部，然后针对复数的实部与虚部求解，属于基础题。

3.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：
经过计算，2 6.110K ≈,根据这一数据分析，下列说法正确的是 临界值表供参考：
A. 有97.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系
B. 有99%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系
C. 有99.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系
D. 没有理由认为服药情况与是否患病之间有关系 【答案】A 【解析】 【分析】
根据2K 的观测值，找出临界的0k 的值，并由此计算出犯错误的概率，即可作出相应的结论。

【详解】2 6.110K ≈Q ，(
)
2
5.0240.025P K ∴≥=，
因此，有97.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系，故选：A 。

【点睛】本题考查独立性检验，根据观测值找出犯错误的概率是解题的关键，属于基础题。

4.已知函数()123
e 1,21
log ,23x x f x x x -⎧-<⎪
=⎨-≥⎪⎩
，则()f x 的零点为 A. 1,2 B. 1，2- C. 2,2- D. 1,2,2-
【答案】A 【解析】 【分析】
在2x <和2x ≥时，分别解方程()0f x =，即为函数()y f x =的零点。

【详解】当2x <时，令()1
10x f x e
-=-=，即11x e -=，解得1x =满足2x <；
当2x ≥时，令()231log 03x f x -==，则21
13
x -=，即24x =，得2x =-（舍）或2x =。

因此，函数()y f x =的零点为1、2，故选：A 。

【点睛】本题考查函数的零点个数问题，求解函数的零点个数主要有以下两种方法： ①代数法：令函数值为零，解方程；
②图象法：令函数值为零，转化为两个函数的交点个数问题。

5.下列说法错误的是
A. 相关关系是一种非确定性关系
B. 线性回归方程对应的直线ˆˆy bx
a =+，至少经过其样本数据点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 中的一个点
C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D. 在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好 【答案】B 【解析】 【分析】
利用相关关系、回归直线、残差图以及相关指数的概念来进行判断。

【详解】对于选项A ，相关关系是一种非确定的关系，而函数关系是一种确定的关系，A 选项正确；
对于选项B ，回归直线y bx a =+$$$过样本数据()()()1122,,,,,.n n x y x y x y L 的中心点()
,x y ，并不一定过样本数据中的某一个点，B 选项错误；
对于C 选项，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，说明数据越逼近回归直线，两个变量的相关关系越强，其拟合精确度越高，C 选项正确； 对于D 选项而言，2R 越大，其拟合效果越好，D 选项正确。

故选：B.
【点睛】本题考查变量的相关关系的概念、回归直线的特点、残差的特点以及相关指数与拟合效果之间的关系，意在考查学会对这些知识点的理解与应用，属于基础题。

6.函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象的大致形状是
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的单调性与导数值的符号之间的关系来进行判断。

【详解】函数()y f x =的单调性是先减，再增，最后变为常函数，那么，导函数()y f x ='的符号为：先负，后正，最后变为0，故选：D 。

【点睛】本题考查函数的单调性与导函数符号之间的关系，它们之间的关系如下： ①导函数函数值为正，则原函数单调递增； ②导函数函数值为负，则原函数单调递减；
③导函数函数值为零，则原函数为常函数。

在处理函数单调性与导函数的问题时，应准确抓住上述关系。

7.已知sin cos x x +=
，则cos 2=2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
A.
7
25
B. 725
-
C.
45
D. 45
-
【答案】B 【解析】 【分析】
对等式sin cos 5
x x +=
两边平方，借助二倍角公式可求出sin 2x 的值，再利用诱导公式可求出cos 22x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值。

【详解】对等式sin cos x x +=两边平方，得2
1812sin cos 525x x ⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭
， 即181sin 225x +=
，7sin 225x ∴=-，因此，7cos 2sin 2225x x π⎛
⎫-==- ⎪⎝⎭
，故选：B 。

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式以及诱导公式，遇到sin cos x x ±，一般利用平方关系求解：
①()2
sin cos 12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=±； ②()()2
2
sin cos sin cos 2x x x x ++-=。

8.定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]
0,1内单调递减，则()34123f f f ⎛⎫
⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
、、的大小关系为 A. ()34123f f f ⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()34123f f f ⎛⎫⎛⎫
<-
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. ()34123f f f ⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. ()43132f f f ⎛⎫
⎛⎫
<<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
利用函数()y f x =的周期性和偶函数的性质，将函数值()34123f f f ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
、、中的自变量全部置于区间[]0,1，然后利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可比较这三个数的大小。

【详解】()()2f x f x =-Q ，则函数()y f x =为周期函数，且周期为2，由于该函数为偶函数， 所以，3312222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，442223333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 120123<
<<Q ，且函数()y f x =在区间[]0,1上为减函数，则()21132f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即()43132f f f ⎛⎫⎛⎫
<<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选：D 。

【点睛】本题考查函数的基本性质的综合，考查函数的周期性、奇偶性以及单调性，主要考查利用单调性比较函数值的大小关系，这类问题的求解方法主要是充分利用函数的基本性质将所有自变量置于同一个单调区间，然后利用单调性来比较大小，考查推理能力，属于中等题。

9.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
111
11+
+
+
中“
”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1
1x x
+
=，
求得x =
.
=
B. 3
C. 2
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
x =x =，注意到0x >，解出x 即可。

x =x =，其中0x >，
x =两边平方，得22x x =+，即220x x --=，解得1x =-（舍）或2x =， 故选：C 。

【点睛】本题考查类比推理的思想方法，解决类比推理主要是要构造条件上的相似性，从方法上进行类比，考查运算求解能力、推理论证能力和归纳总结能力，属于中等题。

10.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法预测
【答案】A 【解析】 【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

【详解】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。

因此，第三名是甲，故选：A 。

【点睛】本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。

11.已知正六边形ABCDEF 中，G 是AF 的中点，则CG = A. 53
84
CE DA +
B.
25
36
CE DA + C.
35
48
CE DA + D.
52
63
CE DA + 【答案】C 【解析】 【分析】
先用基底AB 、AF 表示向量CG ，然后再用基底表示向量CE 、DA ，反解出AB 、AF （即用CE 、DA 表示向量AB 、AF ），之后代入CG 的向量表达式可得出结果。

【详解】作出图形如下图所示，设直线AD 、CF 相交于点O ，则点O 为这两条线段的中点，
由图形可知，CB OA OF FA AB AF ==+=--uu r uu r uu u r uu r uu u r uu u r
，
所以，11222
CG CB BA AG AB AF AB AF AB AF =++=---+=--uu u r uu r uu r uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r
，①
222DA CB AB AF ==--uu u r uu r uu u r uu u r
，② CE CD DE AF AB =+=-uur uu u r uuu r uu u r uu u r
，③
联立②③，得22DA AB AF CE AB AF ⎧=--⎨=-+⎩，解得1124
1124AB CE DA AF CE DA
⎧
=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
代入①，
得11111135222242244
8CG AB AF CE DA CE DA CE DA ⎛⎫⎛⎫=--=-----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uur uu u
r uur uu u r uur uu u r ，
故选：C 。

【点睛】本题考查平面向量的基本定理，应用平面向量基本定理应注意的问题：
①只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，平面向量的基底可以有无数多组，在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便；
②利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减法运算或数乘运算。

12.已知ln a =，1b e -=，3ln 2
8
c =，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c >>
B. b c a >>
C. c a b >>
D.
b a
c >>
【答案】D 【解析】 【分析】
将a 、b 、c 分别表示为ln 55a =
，ln e b e =，ln88
c =，然后构造函数()ln x
f x x =，利用导数分析函数()y f x =的单调性，并利用单调性比较a 、b 、c 三个数的大小。

【详解】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88
c =.
令()ln x f x x =
，则()'
2
1ln x f x x -=， 则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
所以,()()max 1
,f x f e b e ===⎡⎤⎣⎦且()()58f f >,即a c >,所以b a c >>。

故选：D 。

【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小，解本题的关键在于将若干个数化为一致的形式，并构造合适的函数，利用导数考查函数的单调性，最后利用单调性来比较大小，考查推理分析能力，属于难题。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.
13.已知()3
sin 5
πα+=- ，且α为第二象限角，则tan α=_______. 【答案】34
- 【解析】 【分析】
利用诱导公式求出sin α，并利用同角三角函数求出cos α，最后利用商数关系求出tan α。

【详解】由诱导公式可得()3sin sin 5παα+=-=-
，3sin 5
α∴=，
αQ 为第二象限角，则4
cos 5
α==-，因此，sin 353tan cos 544ααα⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭。

故答案为：3
4
-。

【点睛】本题考查诱导公式与同角三角函数的基本关系，利用同角三角函数的基本关系求值时，一般按三个步骤进行： （1）定位：确定角所处的象限； （2）定号：确定所求三角函数值的符号； （3）定值：利用同角三角函数的基本关系求值。

14.已知i 是虚数单位，复数()()()1+i 2i 0z a a a =+∈>R 且，若||4z =，则a 的值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】
先利用复数的乘法法则将复数z 表示成一般形式，然后利用复数求模公式求出a 的值。

【
详
解
】
()()(
)()
12
22
z i a i a =++=-Q ，
4z ∴=
==，
由于0a >，解得2a =，故答案为：2。

【点睛】本题考查复数的乘法法则以及复数的模，意在考查学会对这些公式的理解与掌握情况，考查计算能力，属于基础题。

15.观察下列等式：
1－1122
= 1－1111123434
+-=+
1－1111111123456456
+-+-=++
…………
据此规律，第n 个等式可为______________________. 【答案】111111111234212122n n n n n
-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 【解析】 【分析】
由已知可得：第n 个等式左边含有2n 项，其中奇数项为121n -，偶数项为1
2n
-，其等式右边为后n 项的绝对值之和，即可得出。

【详解】由已知可得：第n 个等式左边含有2n 项，其中奇数项为121n -，偶数项为1
2n
-，等式右边为后n 项的绝对值之和，
所以，第n 个等式为：11111111
1234212122n n n n n
-
+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++。

故答案为：11111111
1234212122n n n n n
-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++。

【点睛】本题考查了观察分析猜想归纳求数列通项公式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中等题。

16.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，对任意x ∈R ,()()2f x f x +=-，将函数()f x 的图象向右平移
1
3
个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数()y f x =在[]0,1上的值域为_______.
【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
先由周期性求得ω，由平移求得ϕ，再求三角函数在区间上值域. 【详解】由题意知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的周期为4，
∴π2
ω=
，即π()sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.
将函数()f x 的图象向右平移13
个单位后得：ππsin 26y x ϕ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭，
由其图象关于原点中心对称，故πsin 06ϕ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭.
∵0πϕ<<，∴π6ϕ=，故()π
πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.
∵[0,1]x ∈，∴
πππ2π,2663x ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
. ∴1(),12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即函数()y f x =在[]0,1上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题考查三角函数的性质，求出三角函数的解析式是解题关键.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知直线l
的参数方程为1x y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||AB 的值． 【答案】（1）220x y --=，2
2
220x y x y +--=（2
）
5
【解析】 【分析】
（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，将曲线C 的极坐标方程先利
用两角和的正弦公式展开，再等式两边同时乘以ρ，再代入222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪
=⎨⎪=⎩
代入化简可得出曲
线C 的直角坐标方程；
（2）解法一：将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，得到关于t 的二次方程，列出韦
达定理，由弦长公式得
12
AB t t
=-=AB；
解法二：计算圆心C到直线l的距离d，并求出圆C的半径r，利用勾股定理以及垂径定理得
出AB=AB；
解法三：将直线l的方程与曲线C的直角坐标方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，
列出韦达定理，利用弦长公式
12
AB x x
=-=
出AB（其中k为直线l的斜率）。

【详解】（1）由直线
l
的参数方程()
x
t
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
为参数，消去参数t得()
21
y x
=-，即直线l普通方程为220
x y
--=.
对于曲线C
,由+
4
π
ρθ
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
,即=2cos2sin
ρθθ
+,
2=2cos2sin
ρρ
θρθ
∴+,
222,cos,sin
x y x y
ρρθρθ
+===，
∴曲线C的直角坐标方程为22220
x y x y
+--=.
（2
）解法一：将
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
代入C的直角坐标方程22220
x y x y
+--=，
整理得210
t--
=,
1212
10
t t t t
∴+==-<，
12
AB t t
∴=-==.
（2）解法二：曲线C的标准方程为(
)()2
22
11
x y
-+-=，
曲线C是圆心为()
1
,1
C，半径r=.
设圆心()1,1C 到直线l :220x y --=的距离为d ,则
d =
=
. 则AB =
. (2) 解法三：联立22
22
220
y x x y x y =-⎧⎨+--=⎩,消去y 整理得251480x x -+=, 解得12x =,24
5
x =
. 将12x =,245x =
分别代入220x y --=得1222,5
y y ==-, 所以,直线l 与圆C 的两个交点是()4
22,25
5⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，-
.
所以,AB
=
=
5. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查直线参数方程中t 的几何意义，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，一般而言，可以采用以下三种解法：
（1
）几何法：求出圆的半径r ，以及圆心到直线的距离d ，则直线截圆所得弦长为 （2）代数法：
①将直线的参数方程00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，
α为倾斜角）与圆的普通方程联立，得到
关于t 的二次方程，结合韦达定理与弦长公式12t t -=
计算；
②将直线的普通方程与圆的普通方程联立，消去x 或y ，得到关于另外一个元的二次方程，
利
12x x
-=12y y
-
=k 为直线的斜率）。

18.已知函数()()2
2
=cos 2sin cos sin +1f x x x x x x --∈R .
（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间．
【答案】（1）最小正周期为 π,1（2）减区间为370,,,88πππ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数()y f x =的解析式化为
()
214f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，结合解析式求出该函数的最小正周期和最大值；
（2）先求出函数()y f x =在R 上的单调递减区间，再将递减区间与定义域取交集可得出答案。

【详解】（1）()22
=cos 2sin cos sin +1f x x x x x --
22cos sin 2sin cos 1x x x x =--+
cos2sin21x x =-+
2122x x ⎫=-+⎪⎭
cos2cos sin2sin 144x x ππ⎫=-+⎪⎭
214x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
所以，函数()
f x 最小正周期为T π=，
函数()f x 1； （2）由2224
k x k π
πππ≤+≤+，k Z ∈，
得38
8
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈， 函数()f x 的单调递减区间3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈，
又因为[]0,x π∈，则()f x 在[]0,π上的单调递减区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,8ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的基本性质，对于三角函数基本性质的综合问题，首先应该利用两角和的正余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数解析式化为()sin A x b ωϕ++的形式，并将角x ωϕ+视为一个整体，借助正弦函数的基本性质与图象来求解。

19.已知函数32
()1f x x ax bx =++-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为81y x =-+.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求()y f x =在区间()1,4-上的极值．
【答案】（1）()32
431f x x x x =---（2）极小值为()319f =-,极大值为113327
f ⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）利用导数求出()1f '，由切线斜率为()1f '，得到等式()18f '=-①，再将1x =代入切线方程，得出切点坐标，并将切点坐标代入函数()y f x =的解析式，得到等式②，将等式①②联立求出a 与b 的值，于此可得出函数()y f x =的解析式；
（2）对函数()y f x =求导，求出该函数的极值点，分析函数()y f x =在区间()1,4-上的单调性，便可求出该函数在区间()1,4-上的极值。

【详解】（1）因为32
()1f x x ax bx =++-， 所以，()2
32f x x ax b '=++.
所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程的 斜率()
()1
132x k f x f a b =''===++
又因为8k =-,
所以,
211a b +=- ①
又因为()111811f a b =++-=-⨯+
所以,=7a b +- ② 联立①②解得4,3a b =-=-. 所以,()3
2
431f x x x x =---.
(2)由(1)知,()()2
1383333f x x x x x ⎛⎫'=--=+- ⎪⎝
⎭,
令()0f x '=得,121,33
x x =-= 当1
13
x -<<-,()0f x '>,()f x 单调递增；
当1
33
x -
≤<,()0f x '<,()f x 单调递减； 当34x ≤<,()0f x '>,()f x 单调递增. 所以()f x 在区间()1,4-上的极小值为()319f =-, 极大值为113327
f ⎛⎫-=-
⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值，在处理直线与函数图象相切的问题时，要把握以下两点； （1）切点是切线与函数图象的公共点； （2）导函数在切点出的导数值等于切线的斜率。

20.某种仪器随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加. 现对一批该仪器进行调查，得到这批仪器自购入使用之日起，前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如下表：
（1）根据表中所给数据，试建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）若该仪器的价格是每台12万元，你认为应该使用满五年换一次仪器，还是应该使用满
八年换一次仪器？并说明理由.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的系数公式： ()()()
1
1
2
2
2
1
1
n n
i
i
i i
i=i=n
n
i
i
i=i=y
x x y y x y nx b x x x
nx
∧
---=
=
--∑∑∑∑ ,ˆˆa
y bx =- 【答案】（1）ˆ0.430.31y
x =+（2）满八年换一次仪器更有道理 【解析】 【分析】
（1）先算出x 、y ，并将表格中
的
数据代入公式求出b 和a 的值，即可得出回归直线方程；
（2）利用回归直线方程计算出第6、7、8年的维修费，然后分别计算出使用五年和使用八年每台仪器的平均费用（维修费与仪器价格之和除以使用年数），比较两数的大小，看使用五年和八年，谁的平均费用少。

【详解】解：（1）3x =， 1.6y =，2
9, 4.8x x y == ,
5
1
0.7 2.4 4.88.41228.3i i
i x y
==++++=∑，
5
2
1
149162555i
i x
==++++=∑.
所以，5
1
52
21
28.35 4.8
ˆ0.435559
i i
i i i x y
nx y
b
x nx
==--⨯==
=-⨯-∑∑，
ˆˆ 1.60.4330.31a
y bx =-=-⨯=. 所以回归方程为ˆ0.430.31y
x =+． （2）若满五年换一次仪器，则每年每台仪器的平均费用为：1812
45
y +==（万元） 若满八年换一次设备，则每年每台设备的平均费用为：
280.43(678)30.311229.96
3.74588
y ++++⨯+=
==（万元）
因为12y y >，所以满八年换一次仪器更有道理．
【点睛】本题考查回归直线方程的求解与应用，理解最小二乘法公式的意义，是解本题的关键，着重考查了计算能力，属于中等题。

21.如图，在ABC ∆中，点P 在边BC 上，60PAC ∠=，1PC =,2AP AC +=． （1）求APC ∠；
（2）若APB ∆cos B ．
【答案】（1）60APC ∠=（2 【解析】 【分析】
（1）在APC ∆中对角PAC ∠使用余弦定理求出AP 的值，并判断出APC ∆的形状，从而得出APC ∠；
（2）解法1：利用APB ∆的面积求出PB ，在该三角形中使用余弦定理求出AB ，利用正弦定理求出sin B ，最后利用同角三角函数求出cos B ；
解法2：作A
D B C ⊥，垂足为点D ，结合APC ∆的形状可求出AD ，由APB ∆的面积求出PB ，
并求出BD ，然后利用勾股定理求出AB ，然后在Rt ABD ∆中利用锐角三角函数求出cos B 。

【详解】（1）在APC ∆中，因为60PAC ∠=，1PC =,2AP AC += 由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠，
()()2
221222cos60AP AP AP AP =+---
整理得2210AP AP -+=， 解得1AP =. 所以，1AC =．
所以，APC ∆是等边三角形，所以，60APC ∠=. （2）法1：因为60APC ∠=，所以120APB ∠=．
因为APB ∆的面积是
2
， 所以,
13
sin1202AP PB ⨯⨯⨯=
所以,2PB =. 在APB ∆中，
2222cos AB AP PB AP PB APB =+-⨯⨯∠ 2212212cos120=+-⨯⨯⨯
=7
所以AB =
.
在APB ∆中，由正弦定理得
sin sin AB AP
APB B
=∠,
3
sin
B =
=所以， 易知角B 为锐角，
cos B ===所以， 法2：作AD BC ⊥，垂足为D , 因为APC ∆是边长为1的等边三角形，
所以，13022
PD AD PAD =
=∠=，
因为APB ∆
所以,
12AD PB ⨯⨯=
2PB =得
5.2
BD PB PD =+=所以，
在Rt ADB ∆中,AB =
所以，Rt ADB ∆中，5cos
14BD B AB ====
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，在求解三角形的问题时，先从已知元素较多的三角形入手，合理选择正、余弦定理逐步求解，考查转化思想与数形结合思想，属于中等题。

22.已知函数()()22,,,f x ax ax b a b a b =-+∈∈R R 且是常数,()211log 21x
g x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭. （1）若0a <,函数()f x 在区间[]0,3上的最大值是5，最小值是1,求,a b 的值；
（2）用定义法证明()g x 在其定义域上是减函数；
（3）设2b a =, 若对任意[][]121,2,1,2x x ∈∈，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）1,4a b =-=（2）见解析（3）1,4⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）分析二次函数()y f x =的单调性，可得出函数()y f x =在区间[]0,3上的最大值，可列出有关a 、b 的方程组，即可求出a 与b 的值；
（2）任取121x x >>-，作差()()12g x g x -，利用指数、对数函数的单调性得出差值的正负，从而证明函数()y g x =在定义域上的单调性；
（3）根据题意得出()()min max f x g x ≥，根据（1）和（2）中两个函数的单调性，得出这个最值，然后解出不等式可得出a 的取值范围。

【详解】（1）函数()()220f x ax ax b a =-+≠的对称轴是1x =.
0a <因为,所以，函数()22f x ax ax b =-+在区间[]0,1上是增函数，在区间[]1,3上
是减函数.
()()max 15f x f a b ==-+=所以，. ①
又分析知, ()()min 331f x f a b ==+= ②联立① ②解得1,4a b =-=.
（2）函数()g x 的定义域为()1,-+∞.
设12121,1,x x x x >->->且.
()()12g x g x -
12
22121111
log log 2121
x x x x ⎛⎫⎛⎫
=+-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
12
22121111
log log 2211
x x
x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
1
2
221111
=log 221
x x
x x +⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
因为12121,1,x x x x >->->且,
1
212
1111,02222x x x x
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，即 又有21211
110,011x x x x ++>+><<+，所以，2211
log 01
x x +<+
()()120g x g x -<所以，,即()()12g x g x <.
所以，函数()g x 在其定义域上是减函数.
（3）对任意[][]121,2,1,2x x ∈∈，不等式()()12f x g x ≥恒成立,
()()min max f x g x ≥所以，.
由(2)知()211
log 21x
g x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭在区间[]1,2上是减函数,
且()()2max 1
1
1log 222g x g ==-=-.
若0a >,则()222f x ax ax a =-+在区间[]1,2上是增函数,
()()min 1f x f a ==所以，,
1,2
a ≥-所以， 0a >所以，.
若=0a ,则()0f x =,()()min max f x h x ≥显然成立;
若0a <,则()2
22f x ax ax a =-+在区间[]1,2上是减函数, ()()min 22f x f a ==所以，,
112,24a a ≥-≥-所以，解得,104
a -≤<所以，. 综上,实数a 的取值范围是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】本题考查函数的单调性及其应用，以及全称命题与参数之间的关系，在利用定义证明单调性，主要有以下几个步骤：
（1）取值，规定大小：在定义域上任取两个自变量1x 、2x ，并规定这两个变量的大小；
（2）作差，变形：将函数在这两个自变量处的函数值作差，然后变形，常见的步骤有：因式分解、通分、有理化等步骤，将差式化为若干因式相乘或相除的形式；
（3）定号：判断各因式的正负，从而确定差式的正负；
（4）下结论：根据自变量和函数值的大小关系确定函数在区间上的单调性。