湖南省长沙市雅礼中学高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

雅礼中学2018年上学期期末考试试卷
高二理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 是的共轭复数. 若（为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先设z=x+yi，（x,y∈R），由题得关于x,y的方程组，解方程组得x,y的值即得z的值. 详解：设z=x+yi，（x,y∈R），
由题得故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数的共轭复数复数相
等:.
2. 设全集为R，集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 设，则“”是的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断.
详解：由得-1＜x-1＜1，所以0＜x＜2.
由得x＜2，
因为，所以“”是的充分不必要条件.
故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：（1）若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；（2）若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；（3）若且，
即时，则是的充要条件.
4. 设是等差数列. 下列结论中正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
试题分析：本题可使用举反例法排除错误选项．A项中，取，可见命题是错误的；B项中，取，可见命题是错误的；D项中，取，可见命题是错误的；而C项中，，因为，所以，可得，故本题的正确选项为C.
考点：等差数列的运用.
5. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．
详解：首先根据函数y=lnx的图象，
则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．
由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．
则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．
故答案为：B．
点睛：本题主要考查函数图像的变换和对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.
6. 已知为正实数，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由对数与指数的运算法则，知，，所以
，故D正确，故选D．
考点：指数与对数的运算．
7. 已知点、、、，则向量在方向上的投影为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，，向量在方向上的投影为，故选A．8. 【2018天津，文2】
设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）
A. 6
B. 19
C. 21
D. 45
【答案】C
【解析】
分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y 的最大值．
详解：由变量x，y满足约束条件，
得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．
当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．
将其代入得z的值为21，
故答案为：C．
点睛：（1）本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.
9. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由图象可知，，解得，，所以
，
令，解得<<，，故单调减区间为(，)，，故选D．
【名师点睛】本题考查函数的图象与性质，先列出关于的方程，求出，或利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求出是解题的关键.
10. 在中，，BC边上的高等于,则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：设
,故选C.
考点：解三角形.
视频
11. 设，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较的大小关系得解.
详解：由题得＜ln1=0,>. 所以ab<0.
.
所以
，所以.
故答案为：B.
点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.
12. 已知数列满足，且是递减数列，是递增数列，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数
列，所以，即，由不等式的性质可得：
，又因为，即，所以
，即，同理可得：；当数列的项数为
偶数时，令，可得：
，将这个式子
相加得：，所以
，则，所以选D．
考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量的夹角为60°，，则 _____________ .
【答案】
【解析】
由题意知·＝||·||cos60°＝2×1×＝1，
则＝()2＝||2＋4||2＋4·＝4＋4＋4＝12.
所以＝2.
故答案为：.
14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
【答案】3
【解析】
分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．
详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，
∴S7==381，解得a1=3．故答案为：3.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.
15. 已知函数, 其中是自然对数的底数.若,则实数的取值范围是__________________________.
【答案】
【解析】
由已知，则是奇函数，又
，所以是上的增函数，所以由
得，，解得．
【点睛】解函数不等式的问题，一般解法是说明（或已知）是奇函数，然后证明是单调函数，这样已知不等式可变为，然后利用单调性去“”求解，对偶函数的不等式一般变形为，再由单调性去“”求解．
16. 中，，则的最大值为____________.
【答案】
【解析】
分析：先求出，再利用正弦定理求出，再利用三角变换和基本不等式求其最大值.
详解：由题得,
由正弦定理得
所以的最大值为.故答案为：
点睛：（1）本题主要考查平面向量的数量积，考查正弦定理和三角变换，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是求出，其二是化简得到，再利用基本不等式求最大值.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 已知集合=，集合=.
（1）若，求；
（2）若A B，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）先化简集合A,B，再求.(2)先化简集合A,B，再根据A B得到，解不等式得到实数的取值范围.
详解：（1）当时，，解得.则.
由，得.则.
所以.
（2）由，得.
若A B，则解得.
所以实数的取值范围是.
点睛：（1）本题主要考查集合的运算和集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.
18. 已知等比数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）利用项和公式求出数列的通项公式.(2)先化简得，再利用裂项相消法求数列的前项和.
详解： (1)由得，
当时，，即，
又，当时符合上式，所以通项公式为.
(2)由（1）可知
.
点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.
19. 已知, , 分别为△三个内角, , 的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若,且的面积为,求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）根据正弦定理边化角，根据三角恒等变换求出A；
（2）根据面积求出bc=4，利用余弦定理求出a．
详解：（1）由正弦定理得，
∵
∴，即．
∵，∴，
∴∴．
（2）由：可得．
∴，
∵，
∴由余弦定理得：，
∴.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
20. 某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身高不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．
（1）求该市高三学生身高高于1.70米的概率，并求图1中、、的值．
（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记为身高在的学生人数，求的分布列和数学期望；
（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布
的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．
【答案】（1）概率为0.15．，，．（2）见解析（3）正常
【解析】
分析：（1）先利用概率公式求这批学生的身高高于 1.70的概率，再求、
、，从而得到a,b,c的值.(2)由于随机变量服从二项分布
，根据二项分布求的分布列和数学期望.(3)先求、
，再根据已知判断该市高三学生的身高发育总体是否正常.
详解：（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率
估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15．
记为学生的身高，结合图1可得：
，
，
，
又由于组距为0.1，所以，，．
（2）以样本的频率估计总体的概率，
可知从这批学生中随机选取1名，身高在的概率为
，
因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验，
所以随机变量服从二项分布，
分布列为：，
（或）（3）由，取，，
由（2）可知，，
又结合（1），可得：，
，
所以这批学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中频数频率的计算，考查随机变量的分布列和期望、考查正态分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若～则
21. 已知，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，
可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）令
，问题转化为在上恒成立，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得当时不合题意，当时，可证明在上单调递增；所以，满足题意，从而可得结果.
试题解析：（1），
当时，，．∴在上单调递增；
当时，由，得．
当时，；当时，．
所以在单调递减；在单调递增．
（2）令，
问题转化为在上恒成立，
，注意到．
当时，，
，
因为，所以，，
所以存在，使，
当时，，递减，
所以，不满足题意．
当时，，
因为，，，
所以，在上单调递增；所以，满足题意．
综上所述：．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；
（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线
与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.
【答案】（1）曲线是以为圆心，以为半径的圆.（2）
【解析】
分析：（1）设，，根据，推出，代入到，消去参数即可求得曲
线的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出点的直角坐标，再求出直线的普通方程，再根据题设条件设点坐标为，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值；法2：将，代入，即可求得，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值.
详解：（1）设，，由得.
∴
∵在上
∴即（为参数），消去参数得.
∴曲线是以为圆心，以为半径的圆.
（2）法1：点的直角坐标为.
∴直线的普通方程为，即.
设点坐标为，则点到直线的距离
.
∴当时，
∴的最大值为
∴.
法2：将，代入并整理得：，令得. ∴
∴
∴当时，取得最大值，依题意，∴.
点睛：本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.。