高考数学一轮复习 5.3 平面向量的数量积 理 苏教版

5.3 平面向量的数量积
一、填空题
1. 已知向量a 和向量b 的夹角为30°,| a |=2,| b |=3 ,则a ·b = . 解析 考查数量积的运算. a ·b =2×3
3 =3. 答案 3
2．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． 解析 ∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2
，即|a ||b |·cos θ＝|b |2
，当b ≠0时， ∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]． 答案 [0,1]
3．若e 1，e 2是夹角为π
3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于________．
解析 a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 2
1＋e 1·e 2＋2e 2
2 ＝－6＋cos π3＋2＝－4＋12＝－7
2.
答案 －7
2
4．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，a ＝(3，1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 由a ＝(3，1)，得|a |＝2，所以|a ＋2b |＝
a ＋2b
2
＝a 2
＋4a ·b ＋4b 2
＝4＋8cos 60°＋4＝12＝2 3. 答案 2 3
5．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →
·AC →
＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是________． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则
B (－1,0)，
C (1,0)．设A (x ，y )
则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →
＝(1－x ，－y )，
于是AB →
·AC →
＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2
－1＋y 2
.
由条件AB →·AC →
＝1知x 2
＋y 2
＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． 当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即
S △ABC ＝12
×2×2＝ 2.
【点评】 建系设标，数形转化，简单易行，用心体会.
6.已知1e ,2e
是夹角为
23
π
的两个单位向量, a =1e -22e ,b =k 1e +2e , 若a ·b =0,则实数k 的值为 .
解析 由a ·b =0得（1e -22e ）·（k 1e +2e ）=0. 整理,得 k - 2+（1-2k ）cos 23π=0,解得k=5
4
. 答案
5
4
7．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →
＝3BD →
，|AD →
|＝1，则AC →·AD →
＝________.
解析 法一 建系如图所示． 令B (x B,0)，C (x C ，y C )，D (0,1)，
所以BC →
＝(x C －x B ，y C )，
BD →
＝(－x B,1)，
BC →
＝ 3 BD →
，
所以⎩⎨
⎧
x C －x B ＝3－x B ，y C ＝3，
所以x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3. AC →
＝((1－3)x B ，3)，AD →＝(0,1)，则AC →
·AD →＝ 3.
法二 AC →·AD →
＝(AB →
＋BC →)·AD →
＝BC →·AD →
＝3AD →
·BD →， 其中AD →
·BD →
＝|AD →||BD →
|cos ∠ADB ＝|AD →||BD →
|·|AD →
|
|BD →
|
＝AD →2＝1.
故 3 AD →
·BD →
＝ 3. 答案
3
8．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →
＝16CB →＋2
3
CA →，则MA →·MB →＝________.
解析 建立直角坐标，由题意，设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，则M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
332，12，MA →·MB
→
＝⎝
⎛⎭⎪⎫3
2
，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52＝－2.
答案 －2
9．已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π
4，a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则
以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________． 解析 |a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q | ＝2p ＋3q
2
＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2
＝
8＋122×
2
2
＋9 ＝29. 答案
29
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →
|＝10，则点C 的坐标是________．
解析 法一：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，直线OB 方程为y ＝4
3
x ，因点C 在∠AOB
的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y |5
＝|x |.又x 2＋y 2
＝10，
解之得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．
法二：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，则因点C 在∠AOB 的平分线上，所以由
cos 〈OC →，OA →〉＝cos 〈OC →，OB →〉得－y 1·10＝－3x －4y 510.又x 2＋y 2
＝10，解之得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1， y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)． 答案 (－1，－3)
11．已知O 是△ABC 的内部一点，OA →＋OB →
＋OC →＝0，AB →·AC →
＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC
的面积为________．
解析 由AB →·AC →
＝|AB →||AC →
|cos 60°＝2，
得|AB →
||AC →
|＝4，S △ABC ＝1
2
|AB →||AC →|sin 60°＝3，由OA →＋OB →＋OC →
＝0知，
O 是△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝
33
. 答案
33
12．已知点G 是△ABC 的重心，AG →
＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC →
＝－2，
则|AG →
|的最小值是________．
解析 设AG 交BC 于D ，则由G 是△ABC 的重心，得D 是BC 的中点， 所以AG →
＝23AD →＝23·1
2(AB →＋AC →)
＝13(AB →＋AC →)，所以|AG →|2＝19(AB →＋AC →
)2
＝19(|AB →|2＋|AC →|2
－4)，又由－2＝AB →·AC → ＝|AB →
||AC →|cos 120°，得|AB →||AC →
|＝4， 故当|AB →
|＝|AC →
|＝2时，|AG →
|取最小值2
3.
答案 23
13．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →
·BC →＝AC →
2
－AB →
2
，则M 点的轨迹过△ABC 的
________心．
解析 如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →
＝(AC →－AB →
)·(AC →
＋AB →
)＝BC →
·2AN →
，得(AM →
－
AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →
＝0，
所以NM →
⊥BC →
，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 答案 外心 二、解答题
14．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，|a －b |＝2.
(1)求a ·b 的值； (2)求|a ＋b |的值． 解析 (1)因为|a －b |＝2，
所以|a －b |2
＝a 2
－2a ·b ＋b 2
＝4＋1－2a ·b ＝4. 所以a ·b ＝1
2
.
(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝4＋2×12＋1＝6.
故|a ＋b |＝ 6.
15．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．
解析 由条件知，cos45°＝
a·b
|a|·|b|
，∴a·b ＝3，
设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，
∴cos θ＝a ＋λb ·λa ＋b
|a ＋λb |·|λa ＋b |
<0，
∴(a ＋λb )·(λa ＋b )<0. λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，
∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2
＋11λ＋3<0，
∴－11－856<λ<－11＋856
.
若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反， ∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，
∵a ，b 不共线，∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
kλ＝1，λ＝k .
∴k ＝λ＝－1， ∴－11－856<λ<－11＋856
且λ≠－1.
16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．
(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；
(2)设α＝π
4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．
解析 (1)因为b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，
所以|b ＋c |2
＝(cos β－1)2
＋sin 2
β＝2(1－cos β)． 因为－1≤cos β≤1，所以0≤|b ＋c |2
≤4，
即0≤|b ＋c |≤2，故当cos θ＝－1时，向量b ＋c 的长度取最大值2. (2)若α＝π4，则a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2
，22，
又b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，所以a ·(b ＋c )＝
22cos β＋22sin β－2
2
.
因为a ⊥(b ＋c )，所以a ·(b ＋c )＝0，
即cos β＋sin β＝1，平方得cos β sin β＝0， 所以cos β＝0或cos β＝1.
经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．
17．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝6，BC ＝7，AD 是∠BAC 的平分线．
(1)求证：DC ＝2BD ；
(2)求AB →·DC →的值．
解析(1)证明 在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BD
sin ∠BAD .
①
在△ACD 中，由正弦定理得 AC
sin ∠ADC ＝
DC
sin ∠CAD .
②
又AD 平分∠BAC ，
所以∠BAD ＝∠CAD ，sin ∠BAD ＝sin ∠CAD ， 又sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ，
由①②得BD DC ＝AB AC ＝3
6
，所以DC ＝2BD .
(2)因为DC ＝2BD ，所以DC →
＝2
3
BC →.
在△ABC 中，因为cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 2
2AB ·BC
＝32
＋72
－62
2×3×7＝1121
. 所以AB →·DC →＝AB →
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23BC →
＝2
3|AB →||BC →|cos(π－B ) ＝23×3×7×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1121＝－223. 18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC 的重心，且
56sin A ·GA →
＋40sin B ·GB →＋35sin C ·GC →
＝0.
(1)求角B 的大小；
(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值．
解析 (1)由G 是△ABC 的重心，得GA →
＋GB →＋GC →
＝0， 所以GC →＝－(GA →＋GB →
)，由正弦定理，可将已知等式转化为 56a ·GA →
＋40b ·GB →
＋35c ·(－GA →
－GB →
)＝0. 整理，得(56a －35c )·GA →
＋(40b －35c )·GB →＝0.
因为GA →
，GB →
不共线，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
56a －35c ＝0，
40b －35c ＝0.由此，
得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.
不妨设a ＝5，b ＝7，c ＝8，由余弦定理，
得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝1
2
.
因为0<B <π，所以B ＝π
3
.
(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2
A ＋4k sin A ＋1， 由(1)得
B ＝π3，所以A ＋
C ＝23π，故得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.
设sin A ＝t ∈(0,1]，则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1，t ∈(0,1]．
令f (t )＝－2t 2
＋4kt ＋1，则可知当t ∈(0,1]，且k >1时，f (t )在(0,1]上为增函数，所以，当t ＝1时，m ·n 取得最大值5.于是有：－2＋4k ＋1＝5， 解得k ＝32，符合题意，所以，k ＝3
2
.。