浙江省杭州市萧山区高考模拟命题比赛数学试卷22

2017年高考模拟试卷数学卷
（本卷满分150分 考试时间120分钟 ）
参考公式：
如果事件互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+
如果事件相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生此的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
()(1),(0,1,2,)k k
n k n n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅ 棱台的体积公式
球的表面积公式
121
()3
V S S h =+
其中分别表示棱台的上、下底面积 球的体积公式 表示棱台的高 其中表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1. 设集合2{||1|1},{|log 2}A x x B x x =-≤=≤，则=（ ）
A. B. C. D. （原创）
2. 定义运算，则符合条件的复数对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 （原创）
3. 已知2*
012(31)()n n n x a a x a x a x n N -=+++⋅⋅⋅+∈，设的展开式的二项式系数和为，
*12()n n T a a a n N =++⋅⋅⋅+∈，则（ ）
A. B. C.为奇数时，；为偶数时， D. (改编)
4. 设函数,20,4)(3
<<+-=a a x x x f 若的三个零点为，且，则 （ ） A. B. C. D. （原创）
5. 设函数()sin()sin()sin()f x a x b x c x αβγ=+++++，则“”是“为偶函数”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （改编）
6. 下列命题中，正确的命题的个数为（ ） ①已知直线，若与共面，与共面，则若与共面； ②若直线上有一点在平面外，则在平面外；
③若是两条直线，且，则直线平行于经过直线的平面；
④若直线与平面不平行，则此直线与平面内所有直线都不平行；
⑤如果平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （原创）
7. 某人进行驾驶理论考试，每做完一道题，计算机自动显示已做题的正确率，记已做题的正确率为， ，则下列结论不可能成立的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. （改编）
8. 已知，且，则的最小值为（ ）
A ．4
B ．
C ．
D ． （改编）
9．正四面体，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成的角不可能是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． （原创）
10. 已知，是双曲线：)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，，
点在双曲线的右支上，线段与双曲线左支相交于点，的内切圆与 边相切于点．若，，则双曲线的离心率为 （ ） A ． B ． C ． D ．2 （改编）
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11. ， . （原创）
12. 已知抛物线方程为，其焦点坐标为 ，是抛物线上两点且满足， 则线段的中点到轴的距离为 . （原创）
13. 某四面体的三视图如右图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为的等腰直角三
角形，正视图是边长为的正方形，则此四面体的体积为 ，表面积为 .
（原创）
14. 从中挑出三个不同的数字能组成 个不同的五位数，有两个数字各用两次（如：）的概率为 .
（原创）
15. 等腰三角形，，为的中点，，则面积的最大值为 . （改编）
16. 记,,
max{,},.
a a
b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知向量满足，，其中，则当取最小值时， = .
（改编）
17. 已知，若21
|sin sin |2
a x
b x
c ++≤
对恒成立，则的 最大值为 . （改编）
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.
已知，函数2())sin f x x x ϕ=
++． （1）若，求的单调递增区间； （2）若的最大值是，求的值． （原创）
19. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形， （1）求证：
（2）若分别为的中点，平面，求直线与平面所成角的大小. （改编）
20. 已知函数2()ln ,()2,a
f x x
g x x a R x
==-∈. （1）证明：；
（2）若在上恒成立，求的取值范围. （原创）
21. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为，离心率为，过右焦点作两条互相垂直的弦.设的
中点分别为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线必经过定点，并求此定点. （改编）
22. 已知数列满足，，.
（1）求，并求数列的通项公式； （2）设的前项的和为，求证：13
21))32(1(56<≤-n n S . （改编）
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分40分． 1. B 【命题意图】 考查集合、交集、补集的运算． ,，{|0,2}R C A x x x =<>或，则，故选B.
2. D 【命题意图】考查复数的四则运算及共轭复数，复数的代数形式与复平面内的点的对应关系
(1)1111
,22222
i i z i z i i +=
=+=-则，故选D. 3. C 【命题意图】考查二项展开式的二项式系数的性质，利用赋值法求系数和
，令，得，令，得0122n
n a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以，
故选C.
4. C 【命题意图】考查函数的零点与函数图像的交点的等价转化；三次函数的图像
3()04(2)(2)f x a x x x x x =⇔=-+=-+-,在同一坐标系下作出与的图像，三个交点的横坐标从
左到右分别是，可得 故选C.
5. C 【命题意图】考查三角函数的图像以及充分必要条件有关概念．
法一：从三角函数的图像的对称轴与零点的角度来考虑。

首先，函数可化简为
周期，若，则是函数的零点，则距离零点的位置的即轴必是函数的对称轴，则为偶函数；反之亦然，故选C. 法二： sin(
)sin()sin()0222
a b c π
ππ
αβγ+++++=cos cos s 0a b cco αβγ++= 为偶函数对任意的有成立，则
sin()sin()sin()sin()sin()sin()a x b x c x a x b x c x αβγαβγ+++++=-++-++-+，展开得 2sin [cos cos s ]0x a b cco αβγ++=对任意的都成立，则cos cos s 0a b cco αβγ++=. 故选C.
6. B 【命题意图】考查空间点线面的位置关系
只有②是正确的 对于①：，可以是异面直线
对于②：在平面外有两种情况，与，故正确 对于③：可以与平面平行，也可以在平面内 对于④：当时，可以有直线与之平行
对于⑤：如果过内任意一点且垂直于交线的垂线不在平面内，则它必不垂直于. 7. D 【命题意图】考查数列的概念与性质
第一题做错后，以后各题均作对，则，由得数列是递增数列，故选项A 可以成立 前两题均做错，以后各题均做对，可得B 可以成立
前8题均做错，则，或者前4题做对1题，第5到第8均做错，则，，故C 可以成立
由于，说明前6题中至少有1道题做错，且第7题做对，如果第8题做错，则，如果第8题做对，则，故D 不可能成立。

选D.
8． A 【命题意图】 考查运用基本不等式求最值．
且，可知，所以．
424
224)2(24222≥-+-=-+-=-+y x y x y x xy y x y x y x ，当且
仅当
2
1
3,13-=
+=y x 时等号成立． 故选A ．
9. D 【命题意图】考查空间直线与平面所成角有关知识
直线与所成角的余弦值为，线面角是直线与平面内的直线所成角中最小的角，故选D. 10． C 【命题意图】 考查双曲线的几何性质． 设，由双曲线定义知 ，．
所以，244222==-+=a AF BF AB BE ，
故，，故选B ．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36
分．
11. 【命题意图】考察指数与对数运算
10
2
114cos 1122
ππ-
++=+-=
；2log 3
3log 92231-=-=-. 12. 【命题意图】考查抛物线的简单几何性质以及其定义的简单应用
将抛物线方程化为标准方程，则
设，则12||||23AF BF y y +=++=得中点的纵坐标为，所以中点
到轴的距
离为.
13. 【命题意图】考查几何体的三视图和体积公式，同时考查空间想象能力． 14. 【命题意图】考查排列组合、古典概型有关知识
从中挑出三个不同的数字组成一个五位数，分为两类，一类是型，一类是型
共有4312114
5
35
3
5
2222
()10(6090)1500A C C A C C A A +=+=个不同的五位数.
有两个数字各用两次的共个，故概率为. 15. 【命题意图】考查解三角形有关知识
法1：在中，设，由余弦定理得
2
2
2
4
544cos 422
c c A c c c +-==-⋅⋅
，
211168sin 2233
S c A =
=≤⋅=
法2：取中点，连接交于， 则18833sin sin 233
ABC
BGC
S
S
BG GC BGC BGC ==⋅⋅⋅⋅∠=∠≤
法3：以点为原点，为轴建立平面直角坐标系
B
设，由知22933
42164424
a y a y ay +=≥⋅⋅= 则，所以的最大值为.
16. 【命题意图】考查平面向量数量积有关概念 法1：如图建系，，,
9,[,1]10999,[0,]
10x x y x x ⎧
∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩
，易得，当且仅当时取到最小值，此时
法2：由数量积的几何意义知，当在方向上的投影是在方向上的投影的3倍时，取到的最小值，由相似可求得.
17. 【命题意图】考查利用绝对值不等式求最值问题 令，，(0),(1),(1)f c f a b c f a b c ==++-=-+ 得：(1)(1)(1)(1)
(0),22
f f f f a f b +---=
-=
，则 (1)(1)(1)(1)11
|||[
(0)]||(1)(1)(0)|222211|(1)||(1)||(0)|1||2
22
f f f f t t at b f t f f tf t t f f tf t +---+-+=-+=+--+-≤+-+≤+≤
当且仅当1
1(0),(1)(1)2
2f f f =-=-=
或11
(0),(1)(1)22
f f f ==-=-时取到最大值，此时 或.
三、解答题：本大题共5小题，共74分．
18. 【命题意图】考查三角恒等变换以及三角函数的性质，满分为14分. （1
）1111()cos 22cos(2)42232
f x x x x π=
+=++——————————3分 522223
3
6
k x k k x k π
π
π
ππππππ+≤+
≤+⇒+
≤≤+
， 则的单调递增区间为5[,]()3
6
k k k Z π
π
ππ+
+
∈—————————————7分 （2
）11())cos 2sin 222
f x x x ϕϕ=--+，最大值为
则221))12ϕϕ-+=，展开解得得——————14分 19. 【命题意图】考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力
和运算求解能力．满分15分． 解：（1）证明：如图一，连接交于点，连接，
B
图一
B
PD
PB PDO PBO DO BO PO
BD PAC BD AC BD PA BD =⇒∆≅∆∴=⊥⇒⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥,
又面
————6分
（2）法一：如图二，取中点,连接,
AFEH EH AF EH AF ⇒⎭
⎬⎫
=//为平行四边形,
又面，所以面PD AH CD AH ⊥⊥⇒,,易得 面面
————10分
由,设到面的距离为，
直线与平面所成的角为，则1
sin 302
d AB θθ=
=⇒=︒ ————15分
法二：由上述证明已经得到， 如图三建立坐标系,易得
)0,0,2(),0,2,2(),0,2,0(),2,0,0(B C D P
)2,2,0(),0,0,2(-== ——————9分
设面的法向量为
)1,1,0(0
2202=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒z y x ， ————————12分
︒=⇒=
302
1
θ ———————15分 法三：由得到在面内的射影在上（亦能利用得到） 设
，
)2
,22,22(
),0,0,2(),0,2,2(),0,2,0(),0,0,0(n
m m E B C D A ++，，则
)2,22,2(n
m m +=，,00=⇒=⋅m CD FE ，此时，202
102=⇒=-⇒=⋅n n PC FE ，
————15分
确定了的坐标后，同法二
20. 【命题意图】 考查函数与导数的综合应用；利用导数证明不等式；利用导数求函数的最值 满分为15分
（1）证明：，11
'()101x h x x x x
-=-
=>⇒>，
则在递减，递增，则，所以成立 ，得证 —5分 （2）解：23ln 22ln a
x x a x x x x
<-
⇔<- ———————————————————7分 令， ———————————————————9分 由（1）知，当时，，
所以2
'()6ln 11ln 0k x x x x x =-->-->， ———————————————————13分 所以在上单调递增，则1
11
()()ln 2242
h x h >=
+ 所以 ————————————————————15分
21. 【命题意图】考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
（1
）22
13c a c c a
=⎧⎧=⎪⎪
⇒⎨⎨
==⎪⎩⎪⎩，所以，椭圆的方程为——————————5分 （2）
当的斜率均存在时，设的斜率为，则的斜率为，
设,代入椭圆方程消得：2
2
2
2
(32)6(36)0k x k x k +-+-=，——————7分
22232,(1)23232
A B M M M x x k k x y k x k k +-===-=++ ，所以
将换成可得————————————————————————9分
(i) 当时，222242
22225(1)523323333332332
MN k k
k k k k k k k k k
k k ++++===---
++ 此时，直线的方程为222253
()233323
k k y x k k k -=-+-+，——————————————11分
化为
2222
2
222253332()3323523
532(33)53()()33235(23)335
k k k
y x k k k k k k k x x k k k k -=-+⋅-++-=-+=--++- 过定点————————————————————————————————————13分 (ii)当时，，即直线的方程为，过定点 当的斜率不存在时，直线为轴，过定点
综上，直线必过定点.——————————————————————————15分
22. 【命题意图】考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析和解决问题的能力．满分15分．
（1）由递推关系可求得． ————————————————————————2分 由得：，即
所以是等比数列．因此，．————————————————7分 （2）先证左边部分
法1：由（1）可得1
1
1122533331222n n n
n
n a --⎛⎫=
≥
= ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，
所以1
1
2222255353n n S -⎛⎫
⎛⎫≥+⋅+
+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
62153n
⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，62153n
n S ⎛⎫
⎛⎫≥- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立． 法2：（分析首项，只需证明即可）
1332122n
n n n n a +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，，所以1112(32)2(32)2
3233323
n n n n n n n n n n a a +++++=>=+⋅+⋅ 下同法1. ——————————————————————12分
另一方面11
2333122n
n n n
a ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 34
12324222513333n n n S a a a a ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=+++
<++++
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
2
4688221
6599313
n -⎛⎫=+-⋅≤
⎪⎝⎭，， 又，，因此，．————————————————15分。