专题三 开放探究型问题

精品课件
单击此处编辑母版标题样式
[对应训练]
• 单1．击如此图，处在编四边辑形母AB版CD中文，本点H样是B式C的中点，作射线AH，在线段AH及
其延•长第线二上级分别取点E，F，连结BE，CF.
(1)请•你第添三加级一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 ___E_H_＝__F_H___•，第并•四证第级明五；级
在 Rt△CHD 中，tan60°＝DCHH，∴DH＝ 3CH，∵AD＋DE＝AD＋AF
＝FD＝2DH＝2 3CH，即：AD＋DE＝2 3CH.
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
【点评】本题是三角形的综合题，综合考查了全等三角形、等腰三角形
•三单线击合一此、处直角编三辑角母形的版性文质，本本样题从式第一问中三条线段的数量关系，
(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因
导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；
(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合
条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立
所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得
S四边•形第OAMB二＝6级，∴k＝6；
(2)存•在第点三E，级使得PE＝PF.由题意，得点P的坐标为(3，2)．①如图1， 过点P作PG⊥•x轴第•四于第级点五G，级过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K.∵∠PGE＝ ∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG＝FH＝2 ，FK＝OK＝3－2＝1，GE＝HP＝2－1＝1，∴OE＝OG＋GE＝3＋1＝4， ∴E(4，0)；
(1)如图•a，第当三∠级ACB＝90°时，连结CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于
点F.
• 第四级
• 第五级
①求证：FA＝DE； ②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，直接写出结论； (2)如图b，当∠ACB＝120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数 量关系？请证明你的结论．
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
解 ： 证 明 ： (1)①∵CF⊥CD ， ∴ ∠ FCD ＝ 90° ， ∵ ∠ ACB ＝ 90° ，
•∴单∠击FCA此＋∠处A编CD＝辑∠母ACD版＋文∠D本CE样，∴式∠FCA＝∠DCE.∵∠FAC＝90°＋
∠ B• ，第∠二D级EC ＝ 90° ＋ ∠ B ， ∴ ∠ FAC ＝ ∠ DEC ， ∵ AC ＝ EC ，
出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
1．(2016·三明)若一元二次方程x2＋4x＋c＝0有两个不相等的实数根，
•则单c的击值此可以处是编__1_辑_(写母出版一文个即本可样)．式
2．•(2第01•6二·第级牡三丹级江)如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一AE个＝条CE件
• 第三级 在 △ABF 和• 第△四C级BN
中 ， ∠∠ABABFF＝＝∠∠CBBCNN＝，90°， ∴ △ ABF ≌ △
• 第五级 AB＝BC，
CBN(AAS)，∴AF＝CN，∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，∴∠BAF
＝∠OCM，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF＝∠COM
•据单、解击题此方处法、编问辑题母结论版这文四本项要样素式中，缺少解题要素两个或两个以
上，• 需第要二通级过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来 确
定所需求• 的第条三件级或结论或方法．
• 第四级
(1)常规题的结论• 往第往五是级唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确 定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广 阔空间；
单击此处编辑母版标题样式 浙江专用
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四专级 题三 开放探究型问题 • 第五级
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依
(2)解：当 BH＝EH 时．∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形 BFCE 是
平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，∵当 BH＝EH 时，
则 BC＝EF，∴平行四边形 BFCE 为矩形(对角线相等的平行四边形为矩
形)．
精品课件
单击此处编辑结母论开版放型问标题 题样式
•【点单D例在•2击A】第B上此二，(级处2连01编结6·D辑E抚，顺母∠)A版如CB图＋文，∠本△ADA样EB＝C式中18，0°BC，>A作C，CH点⊥EA在B，B垂C上足，为CHE.＝CA，
•延单长线击于此F，处∵编∠F辑CA母＋∠版A文CD本＝∠样A式CD＋∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，
• 第二级
∵∠EDA• ＝第6三0°级，∴∠EDB＝120°，∵∠FAC＝120°＋∠B，∠DEC
• 第四级
＝120°＋∠B，∴• ∠第五FA级C＝∠DEC，∵AC＝CE，∴△FAC≌△DEC，∴
AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，
5．(2016·贵阳)已知△ABC，∠BAC＝45°，AB＝8，要使满足条件
•的单△A击BC此唯处一编确定辑，母那么版B文C 边本长样度 式x 的取值范围为_x_＝__4__2_或___x_≥__8_．
点到拨•E，：第使过•二D第BE级•三点＝第作级A四DB，级D①⊥当A点C 于C
D 点，则△ABD 是等腰三角形；再延长 AD 和点 D 重合时，△ABC 是等腰直角三角形，
引申• 到第第二二级问中非垂直关系的数量关系，运用了相同的方法，构建全等
三角形，• 将第线三段级转化到同一条直线上或同一三角形中确定其数量关系，
• 第四级
都运用了等腰三•角第形五三级线合一的性质．
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
[对应训练]
• 单2击．(此201处6·济编宁辑)如母图，版正文方形本A样BC式D 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
，使△ABE≌•△第C四DE级(只添一个即可)，你所添加的条件是_________．
• 第五级
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
3．(2016·邵阳)已知反比例函数 y＝xk(k≠0)的图象如图所示，则 k
• 单击此处编辑母版文本样式
的值•可第能二是_级_－__1__(写出一个即可)．
• 第三级
• 第四级 • 第五级
是否存在点 E，使得 PE＝PF？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请
说明理由．
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
解：(1)图略，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，则∠MCA＝
•∠单MDB击＝此90°处，编∠A辑MC＝母∠版BM文D，本MC＝样MD式，∴△AMC≌△BMD，∴S四边形OCMD＝
∴△AFC•≌第△三ED级C，∴FA＝DE；
• 第四级
②DE＋AD＝2C•H，第五理级由是：∵△AFC≌△EDC，∴CF＝CD，∵CH⊥AB，
∴FH＝HD，在Rt△FCD中，CH是斜边FD的中线，∴FD＝2CH，∴AF＋AD＝
2CH，∴DE＋AD＝2CH；
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
(2)AD＋DE＝2 3CH，理由是：如图 b，作∠FCD＝∠ACB，交 BA
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
三个解题方法
•(1单)条击件此开放处型编问辑题：母由版已知文的本结样论反式思题目应具备怎样的条件，即从
题目• 的第结二论级出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分
析型思维• 方第式三．级它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途
寻因；
• 第四级 • 第五级
BC＝4 2，这个•三第角五形级是唯一确定的；②当点 C 和点 E 重合时，△ABC
也是等腰三角形，BC＝8，这个三角形也是唯一确定的；③当点 C 在线
段 AE 的延长线上时，即 x 大于 BE，也就是 x>8，这时，△ABC 也是唯
一确定的；综上所述，∠BAC＝45°，AB＝8，要使△ABC 唯一确定，
CEMM.∵CF＝CA＝ 2CB，∴ECOB＝21×CB2CB＝ 22.∵EO＝ 2，∴BC＝2，
∴正方形 ABCD 的边长为 2；
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
• 单击(2)E此M＝处21C编N，辑证母明版：∵文CF本＝样CA式，CE 是∠ACF 的平分线，∴CE⊥
AF，• ∴第∠二AE级N＝∠CBN＝90°，∵∠ANE＝∠CNB，∴∠BAF＝∠BCN，
• 第二级
延长 CB•至第点三F级，使 CF＝CA，连结 AF，∠ACF 的平分线分别交 AF，
• 第四级
AB，BD 于点 E，• N第，五M级，连结 EO. (1)已知 EO＝ 2，求正方形 ABCD 的边长； (2)猜想线段 EM 与 CN 的数量关系并加以证明．
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，
•有单时击需要此尽处可能编多辑地母找出版解文决本问题样的式方法，有时则需要指出解题的思
路等• ．第二级
对于开放• 探第究三型级问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展 开发散性思•维第，•四充第级分五运级用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、 类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常 通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
4．(2016·龙东)如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD
•，单连结击EB此，处EC，编DB辑，请母你版添文加一本个样条件式_________E，B＝使D得C 四边形DBCE是矩
形．• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请 说明理由．
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
解：(1)答：添加：EH＝FH，证明：∵点 H 是 BC 的中点，∴BH＝
•C单H，击在此△B处EH编和辑△C母FH版中文， 本样式
• 第二级 BH• ＝第C三H级 ∠BHE• ＝第∠四C级HF，∴△BEH≌△CFH(SAS)； EH＝FH • 第五级
•＝单x 交击于此点 处M，编∠辑AM母B＝版90文°，本其样两边式分别与两坐标轴的正半轴交于点
A，•B，第四•二第边级三形级OAMB 的面积为 6.
• 第四级 • 第五级
(1)求 k 的值；
(2)点 P 在反比例函数 y＝kx(x>0)的图象上，若点 P 的横坐标为 3，∠ EPF＝90°，其两边分别与 x 轴的正半轴，直线 y＝x 交于点 E，F，问
那么 BC 的长度 x 满足的条件是：x＝4 2或 x≥8.
精品课件
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
精品课件
单击此处编辑母版标题样式 条件开放型问题
【例1】 已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行四边形
•的单结论击，此还处应具编备辑什么母条版件文？ 本样式
解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴CA＝ 2BC2＝ 2BC，∵CF＝
•CA单，•击C第E此二是∠级处A编CF辑的角母平版分文线，本∴样E 是式AF 的中点．∵E，O 分别是 AF，
AC
• 第三级 的中点，• ∴第E四O级∥BC，且
EO＝12CF，∴△EOM∽△CBM，∴ECOB＝
• 第五级
＝90°，∴△ABF∽△COM，∴CAMF ＝OACB，∴CCMN＝OACB＝
22，即
CM＝
2 2
CN.由(1)知ECOB＝CEMM＝ 22，∴EM＝ 22CM＝ 22× 22CN＝21CN. 精品课件
单击此处存在编开放辑型问题母版标题样式
【例 3】 (2016·莆田)如图，反比例函数 y＝xk(x>0)的图象与直线 y
Байду номын сангаас• 第二级
• 第三级
• 第四级
解：当AB∥CD时•，第只五要级具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行 四边形．(1)AD∥BC；(2)AB＝CD；(3)∠A＝∠C；(4)∠B＝∠D；(5)∠A ＋∠B＝180°…… 【点评】 判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的 定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由 此可以想到：①两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③一组对 边平行，一组对角相等．都能得到平行四边形的结论．