宜宾市初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习有解析

宜宾市初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习有解析
一、选择题
1．解方程组：223020
x y x y -=⎧⎨+=⎩.
【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.
【详解】
由方程①，得x ＝3y③，
将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，
整理，得y 2＝2，
解这个方程，得y 1
，y 2
④，
将④代入③，得x 1＝
，2x ＝﹣
所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】
该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.
2．解方程组()()22x y x y 0x y 8⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩
. 【答案】11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】
【分析】
先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．
【详解】
解：由原方程组变形得：22x y 0x y 8⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②， 22x-y 0x y 8⎧=⎪⎨+=⎪⎩
③④ 由①变形得：y=-x ，
把y=-x 代入②得：22x -x 8+=（），解得12x =2x =-2，，
把12x =2x =-2，代入②解得：12y =-2y =2，，
所以解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩
，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 由③变形得：y=x ，
把y=x 代入②得：22x x 8+=，解得34x =2x =-2，，
把34x =2x =-2，代入②解得：34y =2y =-2，，
所以解为：33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 综上所述解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．
3．解方程组：22120y x x xy y -=⎧⎨--=⎩
． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先将第二个方程分解因式可得：x ﹣2y =0或x +y =0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．
【详解】
解：22120y x x x y -=⎧⎨--=⎩
①② 由②得：（x ﹣2y ）（x +y ）=0
x ﹣2y =0或x +y =0
原方程组可化为11200y x y x x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩
， 解得原方程组的解为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩
，
∴原方程组的解是为
1
22
11
2
x
x
y
y
⎧
=-
⎪
=-
⎧⎪
⎨⎨
=-
⎩⎪=
⎪⎩
，．
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．
4．解方程组：
22
20 23
x xy y
x y
⎧--=
⎨
+=
⎩
．
【答案】原方程组的解为1
23 3
x y =
⎧
⎨
=-⎩，
2
2
6
5
3
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
【解析】
分析：由①得出（x+y）（x-2y）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
详解：
22
20 23
x xy y
x y
⎧--
⎨
+
⎩
＝①
＝②
由①得：（x+y）（x-2y）=0，x+y=0，x-2y=0，
即原方程组化为
23
x y
x y
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，
20
23
x y
x y
-
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，
解得：1
23 3
x y =
⎧
⎨
=-⎩，
2
2
6
5
3
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
即原方程组的解为1
23 3
x y =
⎧
⎨
=-⎩，
2
2
6
5
3
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．
5．解方程组：
23
22 441
x y
x xy y
+=
⎧
-+=⎨
⎩
【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．
详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
①② 由②得2(2)1x y -=，
所以21x y -=③，21x y -=-④
由①③、①④联立，得方程组：
2321x y x y +=⎧-=⎨⎩
，23
21x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组23
21x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{
11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，157
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 所以原方程组的解为：11
11x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
6．解方程组
【答案】原方程组的解为：
， 【解析】
【分析】
把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.
【详解】
解：
把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，
x 2+4x =0，
解得：x =-4或x =0，
当x =-4时，y =-3，
当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】
本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
7．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩
【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.
【详解】
解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪
⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），
把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，
解这个方程，得121,4x x ==，
把11x =代入（3），得13y =，
把24x =代入（3），得29y =，
所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.
8．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩
．
【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．
【详解】
22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩
， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，
故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩
解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．
9．解方程组：2220334
x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨
=⎩或63
x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】 由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．
【详解】
解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩
①② , 由①得：2x y =………… ③
将③代入②，化简整理，得：
2340y y +-=，
解得：13y y ==-或，
将13y y ==-或代入①，得：
21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
10．解方程组：22+2-0110
x y x y ⎧=⎨-+=⎩ 【答案】：2112113,02
3x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
把(2)変形后代入(1)便可解得答案
【详解】
22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①②
由②得:x=y-1
代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
， 故原方程组的解为：2112113,02
3x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【点睛】
此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
11．解方程组：222,
{230.x y x xy y -=--=
【答案】1111x y =⎧⎨=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
【详解】
x 2-2xy-3y 2="0"
(x-y)2-4y 2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y 2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴1111x y =⎧⎨=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩
12．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩
【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.
【详解】
22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②
, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），
∴x-y+2=0或x+y=0，
原方程组转化为以下两个方程组：
（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩
或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，
33
22x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩, 所以，原方程组的解是:
12
12
11
11
x x
y y
⎧⎧
==-
⎪⎪
⎨⎨
==
⎪
⎪⎩
⎩
3
3
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
4
4
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.
13．k为何值时，方程组
2216
x y
x y k
⎧+=
⎨
-=
⎩
只有唯一解？
【答案】
k=±.
【解析】
【分析】
将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.
【详解】
2216(1)
(2)
x y
x y k
⎧+=
⎨
-=
⎩
由（2）得， y=x-k（3）
将（3）代入（1）得，22
22160
x kx k
-+-=，
要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即
22
(2)42(16)0
k k
--⨯⨯-=，
解得，
k=±.
所以当
k=±
2216
x y
x y k
⎧+=
⎨
-=
⎩
只有唯一解.
【点睛】
本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．
14．解方程组:
22
340
3
x xy y
x y
⎧--=
⎨
-=
⎩
【答案】1
1
4
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
2
3
2
3
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
；
【解析】
【分析】
由代入消元法，消去一个未知数x，得到关于y的一元二次方程，然后用公式法解出y的值，然后计算出x，即可得到方程组的解.
【详解】
解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
①②， 由②得：3x y =+③，
把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，
整理得：26390y y +-=，
∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，
∴用求根公式法，得
y =， 解得：1=1y ，232y =-
； ∴14x =，232
x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
15．解方程组：248
x y x xy +=⎧⎨-=⎩.
【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】
【分析】
把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.
【详解】
解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①②
由①得，4y x ＝﹣
③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝
整理，得2240x x ﹣﹣＝
解得：1211x x ＝＝，
把1x ＝③
，得1413y ＝﹣（
把1x ③
，得2413y ＝﹣（
所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】
本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.
16．解方程组： 22320449
x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【解析】
【分析】
由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
【详解】
22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩
①② 由②得：（x +2y ）2＝9，
即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3
所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩
． 解方程组3223
x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
．
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．
17．解下列方程组：
（1）222220560
x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y
⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩ 【答案】（1
）31241
23444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13
x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】
解：（1）因为222220560
x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，
即20x y -=或30x y -=
原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩
把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入22
20x y +=中，
得24y =，所以2y =± ， 所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩
或42x y =-⎧⎨=-⎩
同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
所以原方程组的解是：31241
23444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩
①② 所以①＋②得：36x y
=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13
x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．
18．解方程组：2225210
x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩． 【答案】7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y =⎧⎨=⎩． 【解析】
【分析】
将方程22
210x y xy +--=变形整理求出1x y -=或1x y -=-，然后分别与25x y +=组成方程组，求出对应的x ，y 的值即可．
【详解】
解：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩
①②，
对②变形得：()21x y -=，
∴1x y -=③或1x y -=-④，
①－③得：34y =，解得：43y =
， 把43
y =代入①得：4253x +⨯=，解得：73x =； ①－④得：36y =，解得：2y =，
把2y =代入①得：225x +⨯=，解得：1x =， 故原方程组的解为：7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12
x y =⎧⎨=⎩．
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
19．已知方程组222603
x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的
解.
【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨
=⎩;当1m =-时 21
x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；
【详解】 解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①②
把②代入①后计算得()22
2112120m x mx +++=，
∵方程组有两组相等的实数解，
∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，
解得：1m =±， 当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩
当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．
20．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩
【答案】111,1.
x y =⎧⎨
=-⎩ 【解析】
【分析】
首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可. 【详解】
解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩
①② 由①得30x y -=或0x y +=，
原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203
x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 解这两个方程组得原方程组的解为
11,7,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
2277x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩44
1,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】 此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.。