初中数学填空题答案及参考解答(三)

初中数学填空题答案及参考解答(三)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学填空题答案及参考解答（三）
1001．（－6，2），（－2，2），（－4
3，2），（4，2），（2，2） 解：由题意，OB ＝2OA 分三种情况进行讨论：
①当A 是直角顶点时，如图1 作PH ⊥x 轴于H 易证Rt △OAB ≌Rt △HPA ，得AO ＝PH ＝2，
∴P 1（－6，2），P 2（－2，2） ②
当B 是直角顶点时
同理可得P 3（－4
3，2），P 4（
4，2） ③当P 是直角顶点时
同理可得P 5（－2，2）（与情形①的P 2重合），P 6（2，2）
综上可得满足条件的P 点有5个，坐标分别为：
（－6，2），（－2，2），（－43，2），（4，2
1002．4、－4、43、8
3、8 解法参见上题
1003．（3＋433，1）或（3－43
3，1） 3＋3或3－ 3
图1-1 图2-1 图1-2
图3-2
图3-1
解：设OA ＝a ，点P 的坐标为（x ，1），则OB ＝3a ∴AB 2＝a 2＋(3a )2＝10a 2 AP 2＝(x ＋a )2＋12 BP 2＝x 2＋(3a －1)2
∵△PAB 是等边三角形，∴AB 2
＝AP 2
＝BP 2
可得(x ＋a )
2
＋1
2
＝x
2
＋(3a －1)
2
于是x ＝4a －3
∴(4a －3＋a )2＋12＝10a 2，解得a ＝3±3
3
∴x 1＝4×3＋33－3＝3＋433，x 2＝4×3－33－3
b
＝OB ＝3± 3
∴点P 的坐标为（3＋433，1）或（3
－43
3，1b 的值为3＋3或3－ 3
1004．33－3
延长BA 至F ，使AF ＝AD ，连接DF 、DC 、BD 则AB ＋AF ＝BF
∵AB ＋AD ＝BC ，∴BF ＝BC 又∠DBF ＝∠DBC ，BD ＝BD
∴△BDF ≌△BDC ，∴∠BFD ＝∠BCD
∵AF ＝AD ，∴∠BAD ＝2∠BFD ＝2∠BCD ∴∠BAC ＝2∠ACB
∵∠BAC ＋∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝30°，∠BAC ＝60° ∴∠BAE ＝30° ∵BE ＝3，∴AB ＝3
过D 作DH ⊥AB 于H
设BH ＝DH ＝x ，则AH ＝3x ，AD ＝2x ∴3x ＋x ＝3，∴x ＝3
2(3－1) ∴AD ＝33－3
1005．（1）（4514，1514） （2）（1513，30
13） 解：（1）过D 作DH ⊥OA 于H ∵OB ＝5，OC ＝3，∴BC ＝4
∵∠ODF ＝90°，∴∠ODH ＝∠DFH ＝90°－∠HDF ∵EF ∥AB ，∴∠DFH ＝∠BAO ，∴∠ODH ＝∠
∴OH DH ＝tan ∠ODH ＝tan ∠BAO ＝3
5－4＝3，∴OH ＝3设DH ＝x ，则OH ＝3x ，AH ＝
5－3x 在Rt △DHA 中，DH AH ＝tan ∠CAO ＝3
5
∴x 5－3x ＝35，解得x ＝1514
∴D 点的坐标为（4514，15
14）
（2）设O ′是△ODF 的外心，连接O ′O 、O ′D 、O ′F ∵∠ODF ＝45°，∴∠OO ′F ＝90° 设OF ＝2x ，则AF ＝5－2x ，O ′（x ，x ） 作CG ∥AB 交OA 于G ，DH ⊥OA 于H ∴△ADF ∽△ACG ，∴DH AF ＝CO AG ∴DH 5－2x ＝34，∴DH ＝154－32x
∴HF ＝54－12x ，OH ＝2x －(54－12x )＝52x －5
4
∴D （52x －54，154－32x ）
∵O ′D ＝O ′O ，∴(52x －54－x )2＋(154－3
2x －x )2＝2x 2
解得x 1＝2526，x 2＝5
2（舍去） ∴52x －54＝1513，154－32x ＝3013 D 点的坐标为（1513，30
13）
1006．498
解：∵△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60° ∵∠AED ＝60°，∴∠ACD ＝∠AED 又AGE ＝∠DGC ，∴△AGE ∽△DGC ∴
AG DG ＝EG
CG
，又∠AGD ＝∠EGC ∴△ADG ∽△ECG ，∴∠1＝∠2
∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠B
∵△AGE ∽△DGC ，∴∠3＝∠4
∴∠AEB ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝∠ADC ＝60°＝∠AED ∴∠BAE ＝∠DAE
∵△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ，∴AB ＝AD
在△ABE 和△ADE 中
AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ∴△ABE ≌△ADE ，∴DE ＝BE ＝8 ∵∠AEB ＝∠AED ＝60°，∴∠DEF ＝60° 又∠BFD ＝60°，∴△DEF 是等边三角形 ∴EF ＝DE ＝8
∵CE :CF ＝3 :5，∴CE ＝3，CF ＝5 过D 作DH ⊥EF 于H 则EH ＝4，CH ＝1，DH ＝4 3 在Rt △DCH ，由勾股定理得DC ＝7 ∴AB ＝AD ＝7
∵∠1＝∠B ，∠DAG ＝∠AEB ＝60°
A
B
C D
F
E G
3
4
1 2
H
∴△DAG ≌△BEA ，∴DG BA ＝DA
BE 即DG 7＝78，∴DG ＝498
解：（1）设⊙O 与BC 边相切于点H ，连接OA 、OH ，则OA ＝OH ＝1
2EF
（2）由△AEF ∽△ABC ，得AF AE ＝AC AB ＝3
4 ∵AF MN ＝3
4，∴MN ＝AE
作OG ⊥AB 于G ，OH ⊥BC 于H ，则OH ＝OG 由△GEO ∽△AEF ，得OG ＝34EG ＝3
8x ∴OH ＝38x ，∴BE ＝53OH ＝5
8x 1008．85
5
∵△ADE 是等腰直角三角形，四边形ACDE 是平行四边形 ∴CD ＝AE ＝AD ＝4，AC ＝DE ＝2AE ＝42，AE ∥CD ∴∠ADC ＝∠DAE ＝90°，∴△ADC 是等腰直角三角形 ∴∠CAD ＝45°，∴∠CAE ＝135°
过E 作EH ⊥AC 于H ，则△AHE 是等腰直角三角形 ∴AH ＝EH ＝2
2AE ＝22，∴CH ＝6 2
图2
A
C
B
G F E
H
在Rt△CHE中，由勾股定理得CE＝45，∴CF＝2 5 ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°＋∠CAD ∴△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC
又∠AFE＝∠GFD，∴∠DGF＝∠EAF＝90°
∴△CGD∽△CDF，∴CG
CD＝
CD
CF
∴CG
4＝
4
25
＝
85
5
1009．7
解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝120°∵BD⊥BC，∴∠ABD＝120°＝∠BAC
又BD＝1
2AB，F为AB的中点，∴BD＝AF
∴△BDA≌AF C，∴∠BAD＝∠ACF＝∠FCH 易证△AFG∽△CHG∽△CFA
∴FG
AG＝
AF
AC＝
1
2，
HG
CG＝
AF
AC＝
1
2
过C作CN⊥AB于N
设AF＝x，则AC＝2x，AN＝x，CN＝3x，FN＝2x，在Rt△FNC中，CF＝CN2＋FN2＝7x
由△AFG∽△CFA得：FG
AF＝
AF
CF
∴FG
x＝
x
7x
，∴FG＝
7
7x
∴AG＝27
7x，CG＝
67
7x，HG＝
37
7x
∵AG＋HG＝AH，∴27
7x＋
37
7x＝5
∴x＝7，即AF的长为7 1010．9
A
B C D
E
F G
H
N
解：在Rt △BCD 中，BC ＝25，BD ＝15 ∴CD ＝BC 2－BD 2＝252－152＝20 在Rt △BCE 中，BC ＝25，CE ＝7 ∴BE ＝BC 2－CE 2＝252－72＝24
设AD ＝a ，AE ＝b ，在Rt △ABE 和Rt △ACD 中分别根据勾股定理
得⎩⎨⎧b 2＋242＝(a ＋15)2a 2＋202＝(b ＋7)
2 解得⎩⎨⎧a ＝15
b ＝18 ∴AD ＝BD 连接DF
∵以DE 为直径的圆与AC 交于另一点F ∴∠DFE ＝90°，∴DF ∥BE ∴AF ＝CF ＝9
1011．20
3
4
解：设AF ＝x ，AF ＝y ，△EFG 的面积为S 则S ＝S 四边形ABGF －S △AEF －S △BEG
＝12(x ＋y )×4－12×2·x －1
2×2·y ＝x ＋y 由△AEF ∽△BEG ，得x y ＝4
∴当x 、y 相差越大时，x ＋y 的值越大，即S 越大 当x ＝6或23时，S 最大，最大值为6＋23＝20
3
又S ＝x ＋y ＝x ＋4x ＝(x －2x
)2
＋4
当x －2
x
＝0，即x ＝2时，S 最小，最小值为4
1012．5 75°，240°，255°
解：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F
则四边形AEDF 是矩形，DE ＝AF ＝12AC ＝12AB ＝12BD
B
A D
C
E F A D
C
B E G
F
x
y 2
2
A
B C
D
E
F
∴∠ABD ＝30°，∴∠BAD ＝∠BDA ＝75° ∵∠BAC ＝90°，AD ＝DC ∴∠DAC ＝∠DCA ＝15° ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°
∴∠DBC ＝15°，∠DCB ＝30°
满足条件的点A ′ 有5个（如图1－图5） 当A ′B ∥CD 时（如图1） 则∠CBA ′＝∠DCB ＝30° ∴θ＝∠ABA ′＝75° 当A ′D ∥BC 时（如图4） 则∠A ′＝∠A ′DB ＝∠DBC ＝15° ∴∠A ′BD ＝150°，∴∠ABA ′＝120° ∴θ＝360°－120°＝240° 当A ′B ∥CD 时（如图5） 则∠A ′BC ＝180°－∠DCB ＝150° ∴∠ABA ′＝150°－45°＝105° ∴θ＝360°－105°＝255°
1013．1＋7
2a
解：作点B 关于AC 的对称点E ，连接PE 、BE 、DE 、CE 则PB ＋PD ＝PE ＋PD ，∴DE 的长就是PB ＋PD 的最小值
A
C
D
B
A ′
图4
A C
D B ′
图2
A C
D
A ′
图5
A C D
B
A ′
图1
A
C
D
B
A ′
图3
A P
E
G F
即当点P运动到DE与AC的交点G时，△PBD的周长最小过D作DF⊥BE于F
∵BC＝a，∴BD＝1
2a，BE＝2a
2
＋(
1
2a
)2＝3a
∵∠DBF＝30°，∴DF＝1
2BD＝
1
4a，BF＝3DF＝
3
4a
∴EF＝BE－BF＝3a－
3
4a＝
33
4a
∴DE＝DF2＋EF2＝
7 2a
∴△PBD的周长的最小值是1＋7 2a
1014．1 4
解：设BD交AC于O
∵△ABC和△BPD是等腰直角三角形∴∠1＝∠2＝45°，又∠AOB＝∠DOP
∴△AOB∽△DOP，∴OA
OD＝
OB
OP
∵∠AOD＝∠BOP，∴△AOD∽△BOP ∴∠DAC＝∠OBP＝45°，∴∠DAC＝∠C
∴AD∥BC，∴△AOD∽△BOC，∴AD
BC＝
OD
OB
∵AP将△BPD的面积分为1:2的两部分
∴OD
OB＝
1
2，∴
AD
BC＝
1
2，∴
AD
AB＝
1
2
过D作DE⊥AC于E
∵△AOB∽△DOP，∴∠3＝∠4
又∠BAD＝∠PED＝90°，∴△ABD∽△EPD
∴DE
PE＝
AD
AB＝
1
2，∴PE＝2DE＝2AD＝
2
2AB＝
2
2×
2
2AC＝
1
2AC
∴AE＝DE＝1
4AC，∴PC＝AC－AE－PE＝
1
4AC
A D
B C
P
O
E
3
4
2
1
1015．1
2
解：连接DE 、CF
∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC
∴梯形ABCD 是等腰梯形，∴OA ＝OD ，OB ＝OC ∵∠ADB ＝60°，∴△AOD 和△BOC 均为等边三角形 ∵E 是OA 的中点，∴DE ⊥OA
在Rt △DEC 中，G 是CD 中点，EG 是斜边CD 的中线 ∴EG ＝12CD
同理，CF ⊥BD ，在Rt △DFC 中，FG ＝1
2CD
又EF 是△AOB 的中位线，∴EF ＝12AB ＝1
2CD ∴EF ＝FG ＝EG ，∴△EFG 是等边三角形 设AD ＝a ，BC ＝b （a ＜b ）
则CD 2＝CE 2＋DE 2＝(12a ＋b )2＋(32a )2
＝a 2＋b 2＋ab
∴EG 2＝1
4(a 2＋b 2＋ab )
∴S △EFG ＝34×14(a 2＋b 2＋ab )＝3
16(a 2＋b 2＋ab )
又△AOB 和△AOD 是高相等的三角形，∴S △AOB S △AOD ＝OB OD ＝b
a
∴S △AOB ＝34a 2×b a ＝3
4ab
∵S △EFG S △AOB ＝78，∴8×316(a 2＋b 2＋ab )＝7×34ab 即2a 2－5ab ＋2b 2＝0，∴(2a －b )(a －2b )＝0 ∵a ＜b ，∴2a ＝b ，∴a b ＝1
2
A B
D
G
C
E F O
1016．1≤m ≤4
解：∵y ＝12x 2－mx ＋2m ＝12(x －m )2＋4m －m
2
2
∴抛物线的顶点坐标为（m ，4m －m 2
2）
过B 作BD ⊥x 轴于D
由A （0，2），C （4，0），△BCD ∽△ABC 得B 点坐标为（5，2）
易得直线AC 的解析式为y ＝－12x ＋2，把x ＝m 代入得y ＝－1
2m ＋2 直线BC 的解析式为y ＝2x －8，把x ＝m 代入得y ＝2m －8 ∵抛物线的顶点在△ABC 的内部（含边界） ∴0≤m ≤5
0≤4m －m 2
2≤2，解得0≤m ≤4 －12m ＋2≤4m －m 22，解得1≤m ≤4
2m －8≤4m －m 2
2，解得－4≤m ≤4 综合得m 的取值范围是1≤m ≤4
1017．6≤m ≤6＋610
解：∵A （1，23b ），B （－2
3a ，3）两点在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23b －23a
2＋b ＝3 解得⎩⎨⎧a 1＝－3b 1＝9 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－32b 2＝92
当a ＝－3，b ＝9时，A （1，6），B （2，3）
当a ＝－32，b ＝9
2 时，A （1，3），B （1，3），A 、B
∴A （1，6），B （2，3），AB ＝10
∵AB＝BC，∴将△ABC沿直线AC翻折后得到菱形ABCB′∴AB′＝AB＝10，AB′∥BC∥x轴，∴B′（1＋10，6）
当反比例函数y＝m
x的图象经过A、B两点时，m＝1×6＝6
当反比例函数y＝m
x的图象经过B′点时，m＝(1＋10)×6＝6＋610
∵反比例函数y＝m
x的图象与△AB′C有公共点
∴m的取值范围是6≤m≤6＋610
1018．573 4
解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°
∴∠EAB＝∠DAC＝60°－∠CAE
∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点，即BM＝1
2BE，CN＝
1
2CD
∴BM＝CN，又AB＝AC
∴△ABM≌△ACN，∴AM＝AN，∠MAB＝∠NAC
∴∠NAM＝∠NAC＋∠CAM＝∠MAB＋∠CAM＝∠CAB＝60°∴△AMN是等边三角形
作EF⊥AB于F，MH⊥AB于H
在Rt△AEF中，∵∠EAB＝30°，AE＝AD＝2 3
∴EF＝ 3
∵M是BE中点，∴MH∥EF，MH＝1
2EF＝
3
2
取AB中点G，连接MG，则MG∥AE，MG＝1
2AE＝ 3
∴∠MGH＝30°，∴GH＝3 2
∴AH＝AG＋GH＝15 2
在Rt△AMH中，AM2＝AH2＋MH2＝57
C
D
E
M
N
∴S△AMN＝
3
4AM
2＝573
4
1019．31 4
解：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形
∴AB＝2AC，AE＝2AD，∠BAC＝∠EAD＝45°∴∠EAB＝∠DAC＝45°－∠CAE
∴AB
AC＝
AE
AD＝2，△ABE∽△ACD
∴BE
CD＝
AB
AC＝2，∠ABE＝∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点，即BM＝1
2BE，CN＝
1
2CD
∴BM
CN＝
BE
CD＝
AB
AC，∴△ABM∽△ACN
∴AM
AN＝
AB
AC＝2，∠MAB＝∠NAC
∴AM＝2AN，∠NAM＝∠NAC＋∠CAM＝∠MAB＋∠CAM＝∠CAB＝45°
过N作NP⊥AM于P，则NP＝AP＝PM＝
2
2AN
∴△AMN是等边三角形
作EF⊥AB于F，MH⊥AB于H
在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝42，∴AB＝8在Rt△ADE中，∵AD＝DE＝6，∴AE＝2 3 在Rt△AEF中，∵∠EAB＝30°，∴EF＝ 3
∵M是BE中点，∴MH∥EF，MH＝1
2EF＝
3
2
取AB中点G，连接MG，则MG∥AE，MG＝1
2AE＝ 3
∴∠MGH＝30°，∴GH＝3 2
∴AH＝AG＋GH＝4＋3
2＝
11
2
在Rt△AMH中，AM2＝AH2＋MH2＝31
C
D
E
M
N
F G H
P
∴S △AMN ＝14AM 2＝31
4
1020．123
7
解：延长AF 和BC 交于点G
易证△ADF ≌△GCF ，∴AD ＝BC ＝CG ，AF ＝FG ＝4 ∵E 是BC 的中点，∴EG ＝3EC ＝3
2BC ∴BC ＝2
3EG
过E 作EH ⊥AF 于H ，在Rt △AEH 中 ∵AE ＝3，∠EAF ＝60°，∴AH ＝32，EH ＝33
2 又AG ＝2AF ＝8，HG ＝8－32＝132 在Rt △HEG 中，由勾股定理得EG ＝7 ∴BC ＝23EG ＝143，BE ＝12BC ＝7
3 过A 作AK ⊥BC 于K ，设KE ＝x 则AK 2＝9－x 2，KG 2＝(x ＋7)2 在Rt △AKG 中，(9－x 2)＋(x ＋7)2＝82 解得x ＝37，∴AK ＝9－x 2＝123
7
即BC 边上的高是 123
7
1021．3
20
解：∵AH ∥GC ，∴∠1＝∠2 ∵AB ∥CD ，∴∠AEH ＝∠CDG ∴△AEH ∽△CDG ，∴GC AH ＝CD AE ＝AB
AE ＝2 ∴AH ＝1
2GC
连接AC ，过E 作EI ∥BF 交AF 于I 则BF ＝2EI ，∴AD ＝2BF ＝4EI
B C A
D E F
G
H
K A B
D
G C
H
F E
I 1 2
由△AGD ∽△IGE ，得AG ＝4GI ，∴AG ＝45AI ＝2
5AF ∴S △AGC ＝25S △AFC ＝15S △ABC ＝1
10S □ABCD 设△AGC 中GC 边上的高为h
则S △AGC ＝12GC ·h ，S 梯形AGCH ＝12(AH ＋GC )·h ＝12(12GC ＋GC )·h ＝3
4GC ·h ∴S 梯形AGCH ＝32S △AGC ＝3
20S □ABCD ∴S 梯形AGCH S □ABCD ＝320
1022．30
7
解：∵△C ′EF ≌△DPF ，∠C ′＝∠D ＝90°，∠C ′FE ＝∠DFP ∴C ′E ＝DP ，C ′F ＝DF ，EF ＝PF 设C ′E ＝DP ＝a ，C ′F ＝DF ＝b
则C ′P ＝PC ＝6－a ，EF ＝PF ＝6－a －b ，BE ＝10－a AE ＝10－(6－a －b )－b ＝4＋a 在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2 ∴62＋(4＋a )2＝(10－a )2，解得a ＝127 ∴PC ＝6－127＝30
7
1023．4 :3
设等边△ABC 的边长为3a ，则BD ＝2a ，CD ＝a 过D 作DG ⊥AB 于G ，则BG ＝a ，DG ＝3a ，AG ＝2a 在Rt △ADG 中，由勾股定理得AD ＝7a ∵∠APE ＝60°＝∠B ，∠PAE ＝∠BAD
∴△APF ∽△ABD ，∴AE AD ＝AP AB ＝PE
BD 即AE 7a ＝AP 3a ＝PE 2a
设AP ＝3k ，则AE ＝7k ，PE ＝2k ∵∠APE ＝60°＝∠FAE ，∠AEP ＝∠FEA
∴△APE ∽△FAE ，∴AE EF ＝PE
AE
A
B
D
C C ′
E
F P
A
B
C
E F G P
即7k EF ＝2k 7k
，∴EF ＝72k ，∴PF ＝32k
∴PE :PF ＝4 :3
1024．17
2
解：连接EN ，过E 分别作AB 、BC 的垂线，垂直为G 、H ∵ME 平分∠BMN ，∴EF ＝EG ，MF ＝MG 四边形BHEG 是正方形，∴EG ＝EH ∴EF ＝EH ，又EN ＝EN
∴Rt △EFN ≌Rt △EHN ，∴FN ＝HN ∵AB ＝BC ，MA ＝NC ，BG ＝BH
∴MF －NF ＝MG －HN ＝(MA ＋AB －BG )－(BC －BH －NC )＝2MA ∴MA ＝NC ＝12(MF －NF )＝1
2 设AB ＝x ，在Rt △MBN 中
(x ＋1
2)2
＋(x －1
2)2
＝(2＋1)2，解得x ＝17
2
即AB ＝17
2
1025．1
16
解：∵∠BFG ＋∠BCG ＝180°，∠BCG ＝90° ∴∠BFG ＝90°，∴△DFG 是等腰直角三角形 设CG ＝x ，则DG ＝1－x
∴△CFG 中CG 边上的高为 12DG ＝1
2(1－x )
∴S △CFG ＝12x ·12(1－x )＝－14(x －12)2＋116 ∴当x ＝12 时，y 有最大值 1
16
1026．π
4
A
B
D
C
M E F G H
N
解：∵S 1＝S ，∴S △ABC ＝S 半圆
∴12AC ·BC ＝12π(1
2AC )2
∴BC AC ＝π4
1027．（133，259）或（13＋5103，25＋510
9）
解：连接AC 交y 轴于D ，过D 作DG ⊥AB 于G 由题意得：A （－4，0），B （0，3） ∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝5 易知AC 平分∠BAO ，∴DG ＝DO ∵S △BAO ＝12OA ·OB ＝12OA ·OD ＋1
2AB ·DG ∴OD ＝OA ·OB OA ＋AB ＝4×34＋5＝43，∴OD OA ＝1
3
易得直线AC 的解析式为y ＝13x ＋4
3 过F 作FH ⊥OE 于H
∵AE ＝AF ，AC 平分∠BAO ，∴AC ⊥EF 可证△FHE ∽△AOD ，得HE ＝1
3FH 设F （m ，34m ＋3），则OH ＝m ，FH ＝3
4m ＋3
HE ＝14m ＋1，∴OE ＝5
4m ＋1 CE ＝13(54m ＋1)＋43＝512m ＋53
∴C （54m ＋1，512m ＋53
）
∴BE 2＝(54m ＋1)2＋32，BF 2＝m 2＋(34m )2，EF 2＝(14m ＋1)2＋(3
4m ＋3)2 ∵AE ＝AF ，∴∠BFE ＝∠AEF ＞∠BEF ，∴BE ＞BF
①若BE ＝FE ，则(54m ＋1)2＋32＝(14m ＋1)2＋(3
4m ＋3)2
解得m ＝0（舍去）或m ＝8
3
∴C （133，259）
②若BF ＝EF ，则m 2＋(34m )2＝(14m ＋1)2＋(3
4m ＋3)2
解得m ＝8－4103（舍去）或m ＝8＋410
3 C （13＋5103，25＋510
9
）
1028．（－4，0），（2
7，0），（4，0），（14，0） 解：由题意，点A （－2，m ）在双曲线y ＝－8
x
上
∴A （－2，4），代入y ＝－74x ＋b ，得b ＝1
2
令－74x ＋12＝－6x ，解得x 1＝－12
7（舍去），x 2＝2 ∴B （2，－3） 设P （m ，0）
当△APC ∽△PBD 时，有PC AC ＝BD
PD ∴m ＋24＝3
m －2，解得m 1＝－4，m 2＝4 ∴P 1（－4，0），P 2（4，0） 当△PAC ∽△PBD 时，有PC AC ＝PD
BD ∴m ＋24＝m －2
3，解得m 3＝14 ∴P 3（14，0）
此外，直线AB 与x 轴的交点P 4也满足条件 令y ＝－74x ＋12＝0，解得x ＝2
7 ∴P 4（2
7，0）
1029．π－3
2
解：由题意，AB ︵＝AC ︵＝BC ︵＝π
3 所以可设AB ＝AC ＝BC ＝r
A
则60×π×r 180＝π
3，解得r ＝1 即等边三角形ABC 的边长为1
∴曲边三角形的面积＝△ABC 的面积＋三个弓形的面积 ＝34×12＋3(
60×π×12360－34)＝π－32
1030．D （7925，72
25）
解：连接BD 交AC 于M ，过M 作MH ⊥BC 于
则AC 垂直平分BD
∵B （1，0），C （4，0），∴BC ＝3 由△BMC ∽△AOC ，得BM ＝35BC ＝9
5
由△BMH ∽△BCM ，得BH ＝35BM ＝2725，MH ＝45BM ＝36
25
∴D 点横坐标为：1＋2×2725＝7925，D 点纵坐标为：2×3625＝72
25
∴D （7925，7225）
1031．4.5
解：由题意，BF ＝BC ，EF ＝EC
∵△ABF 的周长为15，△DEF 的周长为6 ∴AB ＋AF ＋BF ＝15，DE ＋DF ＋EF ＝6 ∴AB ＋AF ＋BC ＝15，DE ＋DF ＋EC ＝6 ∴(AB ＋AF ＋BC )－(DE ＋DF ＋EC )
＝(AB ＋AF ＋BC )－(DC ＋DF ) ＝AF ＋BC －DF
＝AF ＋BC －(BC －AF ) ＝2AF ＝9 ∴AF ＝4.5
1032．924
25
解：设AB ＝DC ＝x ，BE ＝y 在Rt △ABE 中，x 2＋y 2＝225 ① 在Rt △DEC 中，x 2＋(14－y )2＝169 ② 由①②解得：x ＝12，y ＝9
易证△DFA ∽△ABE ，∴S △DFA S △ABE ＝AD 2AE 2＝196
225
∴S △DFA ＝196225S △ABEA ＝196225×12×9×12＝1176
25
∴S △BFC ＝12S 矩形ABCD －S △DFA ＝12×14×12－117625＝924
25
1033．2
3＜k ＜2
解：画出函数y ＝⎩⎨⎧2x ＋4（x ＜－3）
－2（－3≤x ≤3）2x －8（x ＞3）的图象，即图中的粗黑折线
当直线y ＝kx 过点A （－3，－2）时，k ＝2
3
此时直线与函数图象有2个不同的交点
当k ＝2时，直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋4和y ＝2x －8
此时直线与函数图象只有1个交点 ∵y ＝kx 与函数图象有3个不同的交点
∴k 的取值范围是2
3＜k ＜2
1034．25
解：∵∠ABC ＝65°，∠EBC ＝55°，∴∠DBE ＝10° 在BC 边上取点F ，使∠FBC ＝45°，连接DF ∵∠ABC ＝65°，∠EBC ＝55° ∴∠DBF ＝20°，∠FBE ＝∠DBE ＝10°
∵∠ACB ＝100°，∠DCB ＝80°，∴∠DCF ＝20°
A
B
D
C
F
E
A D F E O
∴∠DBF＝∠DCF，又∠A＝∠A
∴△ABF∽△ACD，∴AF
AD＝
AB
AC
又∠A＝∠A，∴∠AFD＝∠ABC
∴∠ADF＝∠ACB＝100°，∴∠BDF＝80°
∴∠BFD＝80°，∴∠BDF＝∠BFD
∴BD＝BF
又∠DBE＝∠FBE，BE＝BE
∴△BDE≌△BFE，∴∠BDE＝∠BFE
∵∠FBC＝45°，∠ACB＝100°，∴∠BFC＝35°
∴∠BDE＝∠BFE＝145°
∴∠DEB＝180°－145°－10°＝25°
1035．30
解：在AC边上取点F，使∠FBC＝20°，连接DF、BF 则BD＝BC＝BF，∴△BFC是等腰三角形
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠DBF＝60°
∴△BDF是等边三角形
∴∠BFC＝80°，∠DFE＝40°，∠BEF＝40°
∴△BEF是等腰三角形，BF＝EF
∴DF＝EF，△DEF是等腰三角形
∴∠DEF＝70°，∴∠DEB＝30°
1036．75
4
F
A
B C
D
E
解：延长MO 交AD 于N
由题意，FG 垂直平分AE ，OA ＝OE ∴OA 是△ADE 的中位线
设DE ＝x ，则ON ＝12x ，OM ＝9－1
2x ∵OM ＝OA ，∴AE ＝2OA ＝2OM ＝18－x 在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2 ∴62＋x 2＝(18－x )2，∴x ＝8 ∴OE ＝9－1
2x ＝5
由△FOE ∽△ADE ，得OF ＝34OE ＝15
4 易知△FOE ≌△GOA ，∴FG ＝2OF ＝15
2 ∴S △EFG ＝12FG ·OE ＝12×152×5＝75
4
1037．y ＝－3x 2＋6x ＋9或y ＝x 2－2x －3
解：∵抛物线与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0） 所以抛物线的对称轴为x ＝1
若a ＜0，在－2≤x ≤5上，当x ＝1时，y 有最大值12 ∴抛物线的顶点坐标为（1，12）
设抛物线为y ＝a (x ＋1)(x －3)，把（1，12）代入得： 12＝a (1＋1)(1－3)，解得a ＝－3 ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x ＋1)(x －3) 即y ＝－3x
2
＋6x ＋9
若a ＞0，在－2≤x ≤5上，当x ＝5时，y 有最大值12 把（5，12）代入y ＝a (x ＋1)(x －3)得： 12＝a (5＋1)(5－3)，解得a ＝1
A
B
C D G
F E H
O
M
N
∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3) 即y ＝x 2－2x －3
1038．（1）a 2＋b 2 （2）如图
①在BA 上截取BG ＝b ； ②画出两条裁剪线CG ，FG ；
③把△BGC 绕点C 顺时针旋转90°到△DHC 的位置； ④把△AFG 绕点F 顺时针旋转90°到△EFH 的位置． 此时得到的四边形FGCH 即为所拼的正方形
1039．π3 π
4
解：固定的线段绕一点转动扫过的面积与计算雨刮器相同，可以采用割补的方法 ∵∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，∴AC 2＝12＋22＝5 ∵M 是BC 的中点，∴AC 2
＝1
2
＋1
2
＝2
BC 边扫过的面积S 1如图1中的阴影部分 将曲边三角形BFC 割补到曲边三角形DGE 则S 1＝S 扇形ACE －S 扇形AFG ＝
30×π(5－1)360
＝π
3
线段MC 扫过的面积为S 2如图2中的阴影部分 将曲边三角形MPC 割补到曲边三角形NQE 则S 2＝S 扇形ACE －S 扇形APQ ＝30×π(5－2)360
＝π
4
1040．3
8
解：连接B ′E ，过F 作FG ⊥AB 于G ，则FG ＝BC ＝AB
F
A E ② ①
② ①
G
B
C D
H 图1
图2
∵EF 为折痕，∴EF ⊥B ′B ∴∠EFG ＝∠B ′BA ＝90°－∠BEF
又∵∠EGF ＝∠A ＝90°，∴△EGF ≌△B ′AB 设AB ′＝x ，则EG ＝x
∴在Rt △AB ′E 中，(1－BE )2＋x 2＝BE 2 ∴BE ＝12(x 2＋1)，∴CF ＝BE －EG ＝1
2(x 2＋1)－x ∵四边形B ′EFC ′与四边形BEFC 全等
∴S ＝12(BE ＋CF )·BC ＝12(x 2＋1－x )×1＝12(x －12)2＋38 ∴当x ＝12时，S 有最小值3
8
1041．3n －2
解：第1个图形有1枚棋子；
第2个图形有5枚棋子：5＝1＋4＝1＋3×2－2； 第3个图形有12枚棋子：12＝1＋4＋7＝1＋4＋3×3－2； ……
第n 个图形比第（n －1）个图形多（3n －2）枚棋子
1042．－4
解：作PE ⊥OA 于E ，BF ⊥OA 于F ，PG ⊥BF
则四边形EFGP 是矩形，∴∠EPG ＝90° ∵半径PB ⊥PA ，∴∠APE ＝∠BPG ＝90°－∠又∠AEP ＝∠BGP ＝90°，PA ＝PB ∴△APE ≌△BPG ，∴BG ＝AE ＝1
2OA ＝3 PG ＝PE ＝1
2OC ＝1，∴P （1，3）
A B
C
G F D
E C ′ B ′
∴BF＝3－1＝2，∴B（－2，2）
∴k＝－2×2＝－4
1043．60
解：连接OB、OD
∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC
∴四边形OABC为菱形，∴OA＝AB＝BC＝OC
∵OA＝OB＝OC，∴△OAB和△OBC是等边三角形∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°
∴∠ADC＝1
2∠AOC/2＝60°
∵OA＝OD＝OC，∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC ∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°
1044．70°
解：延长BA至D，使BD＝BC，连接DP、DC
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP
又BP＝BP，∴△BPD≌△BPC，∴PD＝PC
∵△BDC中，∠DBC＝20°，∴∠D＝∠BCD＝80°∴∠ACD＝20°，∠PCD＝60°
∴△PCD是等边三角形，∴PC＝DC
∵△ACD中，∠D＝80°，∠ACD＝20°
∴∠CAD＝80°＝∠D，∴AC＝DC
∴PC＝AC
∵∠ACB＝60°，∠PCB＝20°，∴∠ACP＝40°
∴∠PAC＝∠APC＝70°
1045．3 715
解：过A作AH⊥AB于H
A
B C
P
D
∵AB ＝AC ，∴BH ＝1
2BC ＝1 ∴AH ＝AB 2－BH 2＝42－12＝15
∴S △ABC ＝12BC ·AH ＝1
2×2×15＝15 ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ∵BC ＝EC ，∴∠B ＝∠BEC ∴∠B ＝∠ACB ＝∠BEC
∴△CBE ∽△ABC ，∴S △CBE S △ABC ＝BC 2AB 2＝2 24 2＝1
4
∴S △CBE ＝14S △ABC ，∴S △AEC ＝3
4S △ABC ∵△CBE ∽△ABC ，∴BE BC ＝BC
AB
得BE ＝1，AE ＝3
∵∠DEC ＝∠B ＝∠BEC ，∴∠AEF ＝180°－2∠B ∵∠A ＝180°－2∠B ，∴∠AEF ＝∠A ，∴AF ＝EF ∵∠A ＝∠D ，∠AFE ＝∠DFC
∴△AEF ∽△DCF ，∴DF ＝CF ，AF DF ＝AE DC ＝34 ∴CF ＝43AF ＝4
7AC
∴S △CEF ＝47S △AEC ＝37S △ABC ＝3
715 1046．4
解：由题意，S 梯形ABOC ＝2S △ADC ＝2×43S △ADE ＝83S △ADE ＝83×9
4＝6 ∴k ＝23S 梯形ABOC ＝2
3×6＝4
1047．（－54，0）或（－1，0）；x ＜－54；－5
4＜x ＜－1或－1＜x ＜1 解：由题意得：A （－1，0），C （0，3），抛物线的对称轴为x ＝1
当P 点在线段EF 上运动时，在射线FA 上总存在一点Q ，使得∠QPF ＝∠CPE
从而△QPF ∽△CPE
当以CQ 为直径的⊙M 与EF 相切于P 点时，则△PQF
连接MP ，设QF ＝x ，则CE ＋QF ＝2MP ＝CQ
∴1＋x ＝(x －1)2
＋32
，解得x ＝9
4
∴QO ＝94－1＝54，∴Q （－5
4，0）
当Q 点的横坐标x ＜－5
4时，以CQ 为直径的⊙M 与EF 相离 此时满足条件的P 点有且只有一个
当Q 点的横坐标x ＞－5
4时，以CQ 为直径的⊙M 与EF 相交 当Q 点坐标为（－1，0）时，设P 点坐标为（1，m ） 由△QPF ∽△CPE 得：QF CE ＝PF
PE
即21＝m
3－m ，解得m ＝2，∴PF ＝2，PE ＝1 ∴PQ 2＋PC 2＝2×22＋2×12＝10 又CQ 2
＝1
2
＋3
2
＝10，∴PQ
2
＋PC
2
＝CQ 2
∴△PQC 是直角三角形，且∠CPQ ＝90°
∴P 点与以CQ 为直径的⊙M 与EF 的其中一个交点重合 ∴此时满足条件的P 点有且只有两个
综上所述，当满足条件的P 点有且只有两个时，Q 点的坐标为（－5
4，0）或（－1，0）；当满足条件的P 点有且只有一个时，Q 点的横坐标x 的取值范围是x ＜－5
4；当满足条件的P 点有三个时，Q 点的横坐标x 的取值范围是－5
4＜x ＜－1或－1＜x ＜1
1048．34 93
16
解：在Rt △AOB 中，tan ∠ABO ＝OA OB ＝3
3 ∴∠ABO ＝30°
易得直线l 的解析式为y ＝－3
3x ＋ 3
令－33x ＋3＝k x ，得－33x 2
＋3x －k ＝0
设C 、D 两点的横坐标分别为x 1、x 2，则x 1x 2
∵AC ＝x 1cos30°
＝233x 1，AD ＝
x 2cos30°＝23
3x 2 若AC ·AD ＝3，则233x 1·23
3x 2＝ 3
∴x 1x 2＝334，∴3k ＝33
4
∴k ＝34
若AC AD ＝13，则x 1x 2
＝1
3，∴x 2＝3x 1
∴D 点的纵坐标为－3
3·3x 1＋3＝3－3x 1
∴k ＝x 1(－3
3x 1＋3)＝3x 1(3－3x 1)
∵x 1≠0，∴－3
3x 1＋3＝33－33x 1
解得x 1＝3
4
∴k ＝34(－33×34＋3)＝9316 解：∵B （1，0），C （3，0），∴OB ＝1，BC ＝2 过F 作FD ∥BC 交AB 于D ，则∠DFE ＝∠BOE 又∠DEF ＝∠BEO ，OE ＝EF ，∴△DEF ≌△BEO ∴DF ＝OB ＝1
2BC ，∴点F 是AC 的中点
当点A 在第一象限时，易得A （2，3） ∴F （52，32），∴E （54，34）
由对称性可知，当点A 在第四象限时，E （54，－3
4）
1050．162
95
解：由题意得：AC ＝CE ＝8，BC ＝4 ∵AF ＝5，∴CF ＝3，∴BF ＝5 ∴S △ABF ＝12AF ·BC ＝1
2×5×4＝10
易证△CGF ∽△ABF ，∴S △CGF S △ABF ＝CF 2BF 2＝3 25 2＝9
25
∴S △CGF ＝925S △ABF ＝925×10＝18
5 过M 作MN ⊥CE 于N
则△MCN ∽△ABC ，△MNE ∽△FCE 得MN ＝2CN ，NE ＝83MN ＝16
3CN ∵CN ＋NE ＝CE ，∴CN ＋16
3CN ＝8 ∴CN ＝2419，∴MN ＝48
19
∴S △FCM ＝S △FCE －S △MCE ＝12×8×3－12×8×4819＝36
19 S △FMG ＝S △FCG －S △FCM ＝185－3619＝162
95 1051．1
解：过D 作DH ⊥BC 于H
由题意，BD ＝(26)2＋(6)2＝30
CH ＝DH ＝22DC ＝2
2×6＝ 3 BH ＝BC －CH ＝2×26－3＝3 3 由△DEH ∽△BDH ，得DH EH ＝BH
DH 即3EH ＝333
，∴EH ＝33
∴EC ＝CH －EH ＝3－33＝23
3
∴S △CDE ＝12EC ·DH ＝12×23
3×3＝1
1052．360
A D
B
C E
G F H
M N
A
D
解：过D 作DF ∥AE 交BC 的延长线于F 则四边形AEFD 是平行四边形 ∴DF ＝AE ＝15，EF ＝AD ＝26
∵E 是BC 的中点，BC ＝AD ＝26，∴BE ＝13 ∴BF ＝BE ＋EF ＝39
∵BD ＝36，∴BD 2＋DF 2＝36 2＋15 2＝39 2＝BF 2 ∴△DBF 是直角三角形
∴S □ABCD ＝2S △BDC ＝43S △BDF ＝43×1
2×36×15＝360
1053．1 6－33或 3 当△CDF 是直角三角形时
由于∠FDC 和∠FCD 均为锐角，所以只能∠CFD ＝90° 取CD 的中点M ，连接BM 、FM 则FM ＝CM ，又BF ＝BC ，BM ＝BM
∴△BFM ≌△BCM ，∴∠BFM ＝∠BCM ＝90° 又∠BFE ＝90°，∴E 、F 、M 三点共线 设AE ＝x ，则DE ＝3－x ，EM ＝32＋x ，DM ＝32
在Rt △DEM 中，(3－x )2
＋(32)2＝(3
2＋x )2
解得x ＝1
当△CDF 是等腰三角形时
由题意可知点F 的运动路线是以点B 为圆心，以BA 的长为半径的四分之一圆 所以DF ＜DC
①若CF ＝CD ，则CF ＝BA ＝BF ＝BC ∴△BFC 是等边三角形
A B D
C E F
A
B
D
C
E F
G
H A B D
C
E F
M
过F作BC的垂线，分别交AD、BC于G、H
则∠BFH＝30°，FH＝
3
2BC＝
33
2，∴FG＝3－
33
2
∵∠BFE＝90°，∴∠EFG＝60°，∠FEG＝30°∴AE＝EF＝2FG＝6－3 3
②若CF＝DF
过F作AB的垂线，分别交AB、CD于G、H
则BG＝CH＝1
2CD＝
1
2AB＝
1
2BF
∴∠BFG＝30°，∠GBF＝60°∴∠ABE＝∠FBE＝30°
∴AE＝
3
3AB＝ 3
1054．(n－1)2
n2＋1
m2n2－2n＋1
m2n2＋1
如图1，连接BE
则MN垂直平分BE，∴BN＝EN
∵CE
CD＝
1
n，设CE＝1，BN＝x，则BC＝CD＝n，EN＝x，CN＝n－x
在Rt△ENC中，EN2＝CN2＋CE2
∴x2＝(n－x)2＋12，解得x＝n2＋1
2n，即BN＝
n2＋1
2n
过N作NG∥CD交AD于G
则NG＝CD＝BC，AG＝BN＝n2＋1 2n
易证△NGM≌△BCE，∴MG＝EC＝1
∴AM＝AG－MG＝n2＋1
2n－1＝
(n－1)2
2n
∴AM
BN＝
(n－1)2
n2＋1
如图2，连接BE
A
B
D
C
E
F
G H
A D
M
C
图1
E
G
F
则MN 垂直平分BE ，∴BN ＝EN
∵AB BC ＝1m ，CE CD ＝1
n ，设CE ＝1，BN ＝x ，则CD ＝n ，BC ＝mn ，EN ＝x ，CN ＝mn －x 在Rt △ENC 中，EN 2＝CN 2＋CE 2
∴x 2＝(mn －x )2＋12，解得x ＝m 2n 2
＋12mn ，即BN ＝m 2n 2
＋1
2mn 过N 作NG ∥CD 交AD 于G
则NG ＝CD ＝n ，AG ＝BN ＝m 2n 2＋1
2mn
易证△NGM ∽△BCE ，∴MG ＝1m EC ＝1
m
∴AM ＝AG －MG ＝m 2n 2＋12mn －1m ＝m 2n 2－2n ＋1
2mn
∴AM BN ＝m 2n 2－2n ＋1m 2n 2＋1
1055．－23
3
解：由题意，设B （x ，1），则A （12x ，1－3
2x ）
∴k ＝x ·1＝12x (1＋32x )，∴x ＝－23
3
∴k ＝－233×1＝－23
3
1056．2 2
解：过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C 、D 则四边形PCOD 是矩形 由已知可证△PAC ≌△PBD ∴AC ＝BD ，PC ＝PD
∴四边形PCOD 是正方形，∴OC ＝OD
∴OA ＋OB ＝(OC ＋AC )＋(OD －BD )＝OC ＋OD ＝2
设P （x ，－2x ），则OC ＝|x |，OD ＝|－2
x |
A
B D G
C
E
N
F
M
图2
∵OC ＝OD ，∴|x |＝|－2
x |，解得x ＝±2 ∴OC ＝OD ＝ 2 ∴OA ＋OB ＝2OC ＝2 2
1057．（5－136，5＋13
2） 解：设B （x 1，1x 1），C （x 2，1
x 2
）
过A 作y 轴的平行线，过B 、C 分别作这条平行线的垂线，垂足为
则△ABE ≌△CAF ，∴AE ＝CF
，BE ＝AF
∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1－2＝x 2＋1x 1＋1＝2－1
x
2
解得x 1＝5＋136（舍去）或x 1＝5－136
∴B （5－136，5＋13
2）
1058．1
12 解：连接DE
∵CD 是半圆直径，∴∠CED ＝90° ∵BD 是切线，∴∠CDB ＝90° 又∠DCE ＝∠BCD ，∴△CDE ∽△CBD ∴CE DE ＝CD BD ＝32
∵AC 是切线，∴∠ACE ＋∠ECD ＝90° ∵∠CED ＝90°，∴∠FDE ＋∠ECD ＝90° ∴∠ACE ＝∠FDE
∵EF ⊥AE ，∴∠AEC ＝∠FED ＝90°－∠CEF ∴△ACE ∽FDE ，∴AC FD ＝CE DE ＝32 ∴FD ＝23AC ＝8
3
∴CF＝CD－FD＝3－8
3＝
1
3
∴tan∠CAF＝CF
AC＝
1
12
1060．875 6
解：过E作EF⊥BD于F
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A＝90°
∵AB＝10，AD＝15，∴BD＝102＋152＝513 由题意，∠1＝∠2
∵AD∥BC，∴∠1＝∠3
∴∠2＝∠3，∴BE＝DE
∴BF＝DF＝5 213
由△FED∽△ABD，得EF＝2
3DF＝
5
313
∴S凹五边形BDCEA1＝S△A1BD＋S△CDE＝S△ABD＋S△CDE A
B
D
C
E
A1
F
1
2
3
＝S
梯形ABCD－S
△BDE
＝
1
2(15＋25)×10－
1
2×513×
5
313＝
875
6
1061．2
3
63－2π
27
解：连接EF
∵△AB C中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝BD＝2 ∴∠C＝30°，BC＝4，DC＝2
设DE＝x，则EF＝x，EC＝2x
∵DE＋EC＝DC，∴x＋2x＝2，∴x＝2 3
S曲边△FGC＝S△FEC－S扇形FEG＝1
2×
2
3×
2
33－
60×π×(
2
3
)2
360＝
63－2π
27
1062．1 0.1或0.7
解：作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形高
∵OC⊥AB，∴AD＝1
2AB＝0.3
设管道的直径为2r，则OA＝OC＝r，OD＝r－0.1
在Rt△OAD中，0.32＋(r－0.1)2＝r2
解得r＝0.5（米）
∴管道的直径为1米
当水位上升到水面宽MN为0.8米时，设直线OC与MN相交于点E
则ME＝1
2MN＝0.4
∴OE＝0.52－0.42＝0.3
而OD＝0.5－0.1＝0.4
当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为：0.4－0.3＝0.1
当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为：0.4＋0.3＝0.7（米）1063．（1，6）
解：由题意，B （－2，0），C （0，－1） ∴OB ＝2
∵BA ＝25，∴OA ＝BA 2－OB 2＝4 ∴A （0，4），∴D （2，3）
∵双曲线y ＝k
x （x ＞0）过点D ，∴k ＝2×3＝6 ∴y ＝6x
易得直线BA 的解析式为y ＝2x ＋4 令2x ＋4＝6
x ，解得x 1＝－3（舍去），x 2＝1 ∴E （1，6） 1064．（
21－233，0），（－33
，0），（－3，0解：设直线BC 交x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x CH ⊥x 轴于H ，设P （x ，0）
则BF ＝EO ＝1
2AO ＝2，BC ＝OP ＝|x |，AB ⊥BC ∵∠ABO ＝60°，∴∠OBD ＝30° 又∠BOD ＝30°，∴∠BDF ＝60°
∴CH ＝2＋32x 或CH ＝－2－32x
∴S △OPC ＝12x (2＋32x )＝3
4
解得x ＝－21－233（舍去）或x ＝21－23
3
∴P 1（21－23
3，0）
或S △OPC ＝12(－x )(2＋32x )＝3
4
解得x ＝－3
3（舍去）或x ＝－ 3
∴P 2（－3
3，0），P 3（－3，0）
或S △OPC ＝12(－x )(－2－32x )＝3
4
图1
图2
解得x ＝－
21－233或x ＝21－23
3（舍去） ∴P 4（－
21－23
3
，0）
1065．6
解：设一次函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴、y 轴交于D 、C 两点 则C （0，b ），D （b ，0），∴OC ＝OD ＝b 过O 作OE ⊥AB 于E ，则OE ＝2
2b 令－x ＋b ＝1x ，解得x ＝b ±b 2－4
2
∴A （b －b 2－42，b ＋b 2－42），B （b ＋b 2－42，b －b 2－42）∴AB ＝2b 2－8
∵△AOB 是等边三角形，∴OE ＝3
2AB
∴22b ＝3
2·2b 2－8，解得b ＝－6（舍去）或b ＝ 6 ∴b 的值为 6
1066．3－12 3－1
4 解：过E 作EF ⊥AB 于F
设AB ＝2，AF ＝EF ＝x ，则AD ＝2，BC ＝3，AE ＝2x ，BE ＝2x ，BF ＝3x 由AF ＋BF ＝AB ，得x ＋3x ＝2，∴x ＝3－1 ∴AE ＝6－2，DE ＝2－(6－2)＝22－ 6 BE ＝23－2，CE ＝3－(23－2)＝2－ 3 ∴DE AE ＝22－66－2＝3－12
CE BE ＝2－323－2＝3－14
A
E
C
D
1067．17
2
解：当两个矩形的对角线重叠时菱形的面积最大
设菱形的边长为x ，则有22＋(8－x )2＝x 2 解得x ＝17
4
∴菱形面积的最大值为：174×2＝17
2
1068．2413 192
25
解：∵ab a ＋b
＝2，∴
a ＋
b ab
＝1
2 即
1a ＋1b
＝12 ① 同理可得：1b ＋1c
＝1
3 ②
1c ＋1a ＝14
③ ①＋②＋③得：1a ＋1b ＋1c ＝13
24
∴
abc ab ＋
bc ＋ca
＝11a ＋1b ＋1c
＝24
13
①－②得：
1a －1c ＝16 ④ ③＋④得：1a
＝524，∴1a ＝25
576
1b
＝12－524＝724，∴1b ＝49576 1c ＝13－724＝124
，∴1c ＝1576
∴abc ab ＋bc ＋ca ＝11a ＋1b ＋1c ＝125576＋49576＋1576
＝
19225
1069．51
2 解：延长DE 至F ，使EF ＝DE ，连接CF
则CE垂直平分DF，∴CD＝CF
∴∠CDF＝∠F
∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝∠CDF ∴∠B＝∠F
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAF ∴∠ADB＝∠ACF，∴∠F＝∠ACF ∴AF＝AC＝5，∴DF＝5－2＝3
∴DE＝1
2DF＝
3
2
易证△CDF∽△ACF，∴CD
AC＝
DF
CD
∴CD
5＝
3
CD，∴CD＝15
∴CE＝CD2－DE2＝51 2
1070．3
解：过C作CG⊥AB于G
∵AF为⊙O的切线，∴AF⊥AB ∴AF∥CG
∵D为EF的中点，∴DE＝DF
∵DE＝3
4CE，∴
CE
DE＝
4
3，∴
CE
EF＝
2
3
易证△CEG∽△FEA，∴CG
AF＝
CE
EF＝
2
3
连接AD、BC
∵AF⊥AB，∴∠DAF＋∠DAB＝90°
∵D为EF的中点，∴AD＝DE＝DF
∴∠F＝∠DAF
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACD＋∠DCB＝90°∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DAF＝∠ACD
∴∠F＝∠ACD，∴AF＝AC＝ 5
∴CG AC＝
2
3
设CG＝2k，则AC＝3k，AG＝AC2－CG2＝5k ∵AC＝5，∴3k＝ 5
∴k＝
5
3，∴AG＝5k＝
5
3
B
A
B
E
C
D
易证△ABC∽△ACG，∴AB
AC＝
AC
AG
∴AB
5
＝
5
5
3
，∴AB＝3
1071．2 2
解：过P作PQ∥BC交AB于Q，连接AC
∵P为CD中点，∴PQ为梯形ABCD的中位线∵AB⊥BC，∴PQ垂直平分AB
∴AP＝BP，又AP＝AB
∴△ABP是等边三角形
∴∠BAP＝∠ABP＝60°，∴∠DAP＝30°
∵AE平分∠DAP，∴∠DAE＝∠PAE＝15°
∵AB⊥BC，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°∴∠DAC＝45°，∴∠CAE＝30°，∠BAE＝75°∴∠AEB＝180°－60°－75°＝45°
∴∠AEB＝∠ACB
设AC、BE相交于点O，则△AOE∽△BOC
∴OA
OB＝
OE
OC，又∠AOB＝∠EOC
∴△AOB∽△EOC，∴∠BEC＝∠BAC＝45°∴∠AEC＝45°＋45°＝90°
∴CE＝1
2AC＝
2
2AB＝2 2
1072． 3 3
解：连接BD、BE
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°
A
B C
D
E
P
Q
O
E
∵EF⊥AF，∴∠AFE＝90°
∴∠ADB＝∠AFE，又∠A＝∠A
∴△ADB∽△AFE，∴AD
AF＝
AB
AE
∴△ADF∽△ABE，∴∠DFB＝∠DEB
∴∠EBF＝∠EDF＝∠ADC＝1
2∠AOC＝30°
∴BF
EF＝ 3
∵∠AFC＜∠ABC＝30°，∴∠DFE＞60°∵BD与OC不平行，∴∠ABD＞60°
∵∠DEF＝∠ABD，∴∠DEF＞60°
又∠EDF＝30°，∴DE＞EF，DF＞EF
∴当△DEF是等腰三角形时，只能DE＝DF 此时∠DEF＝∠DFE＝75°
∴∠EAB＝15°，∴∠AEB＝15°
∴∠EAB＝∠AEB，∴BE＝AB＝6
∴EF＝3
由旋转的性质和菱形的对称性可知阴影部分为正八边形 故阴影部分的周长为83－8，面积为6－23
1074．253
4－6
解：将△ABD 绕点B 顺时针旋转60°，得△CBE ，连接AC 、DE 则CE ＝AD ＝4，∠BCE ＝∠BAD 易知△BDE 是等边三角形，DE ＝BD ＝5
在四边形ABCD 中，∵∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30° ∴∠BAD ＋∠BCD ＝360°－(60°＋30°)＝270°
∴∠BCE ＋∠BCD ＝270° ∴∠ECD ＝360°－270°＝90° ∴CD ＝52－42＝3
∴S 四边形ABCD ＝S △BAD ＋S △BCD ＝S △BCE ＋S △BCD ＝S △BDE －S △CDE ＝34×52－12×3×4＝2534－6
1075．32或6
5
解：第一次操作后剩下的矩形长为a ，宽为2－a
第二次操作后剩下的矩形的边长分别为a －(2－a )，2－a ，即2a －2，2－a 当2a －2＞2－a ，即a ＞4
3 时，矩形长为2a －2，宽为2－a 因为第三次操作后剩下的图形恰好是正方形 所以2a －2＝2(2－a )，解得a ＝3
2
当2－a ＞2a －2，即a ＜4
3 时，矩形长为2－a ，宽为2a －2 因为第三次操作后剩下的图形恰好是正方形
A B
C
D
E。