【上海初中数学讲义】预初(上)第15讲：期末复习-运算类教师版

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向量的线性运算讲义-2024-2025学年沪教版(上海)九年级数学第一学期

《24.7向量的线性运算》讲义同学们好，咱们现在已经到了九年级啦，在沪教版（上海）的数学教材里，今天咱们要一起学习第二十四章相似三角形里的第四节内容，也就是向量的线性运算。

这部分知识呀，就像打开数学世界里一个新的小宝藏箱，里面有很多有趣的东西等着咱们去发现呢。

那什么是向量呢？我给大家讲个事儿啊。

有一次我去公园遛弯儿，看到一个小朋友在放风筝。

那风筝线就好像是一个向量。

风筝线有长度吧，这就相当于向量的大小；风筝线还有方向，是朝着天上风筝的方向，这就是向量的方向。

所以说向量这个东西啊，就是既有大小又有方向的量。

咱们再来说说向量的表示方法。

通常呢，我们可以用有向线段来表示向量。

就像刚刚说的风筝线，我们可以把它看成是一条有方向的线段。

在纸上画的时候，我们用一个箭头来表示方向，线段的长度就表示向量的大小。

比如说，我们画一个小箭头从点A指向点B，这个就可以表示一个向量，我们可以写成向量AB，这个箭头可不能丢哦，丢了就不知道方向啦。

一、向量的加法运算1、三角形法则咱们先来讲向量加法的三角形法则。

还是拿刚刚放风筝的事儿来说，假如这个小朋友先往东走了一段距离，这可以看成是一个向量，我们就叫向量a吧。

然后呢，他又往北走了一段距离，这就是另一个向量，叫向量b。

那他从最开始的位置到最后的位置这个总的位移呢，就是向量a和向量b的和。

咱们在图上画的时候，就把向量a的终点和向量b的起点连起来，然后从向量a的起点指向向量b的终点的这个向量，就是向量a加向量b。

这就像你要去一个地方，先走了一段路，接着又走了另一段路，总的路程就是这两段路的合成。

2、平行四边形法则除了三角形法则，向量加法还有平行四边形法则呢。

想象一下，你和你的小伙伴一起推一个箱子。

你从箱子的左边往右边用力，这是一个向量，你的小伙伴从箱子的前面往后面用力，这是另一个向量。

那箱子最终移动的方向和距离呢，就是这两个向量的和。

在图上怎么画呢？我们把这两个向量的起点放在一起，然后以这两个向量为邻边作一个平行四边形，那从这两个向量共同的起点指向平行四边形对角顶点的这个向量，就是这两个向量的和。

八年级数学代数总复习：第十三章～第十五章华东师大版知识精讲

初二数学代数总复习：第十三章～第十五章华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数总复习第十三章一元一次不等式第十四章整式的乘法第十五章频率与机会［教学目标］1. 理解不等式（组）的意义，会列，解不等式（组），明确不等式（组）的解。

2. 理解一元一次不等式（组）的解集的概念，注意不等式（组）的解与解集的不同，能将不等式的解集在数轴上表示出来。

3. 熟练解一元一次不等式（组）及解不等式（组）在实际问题中的应用。

4. 掌握幂的运算法则。

5. 掌握整式的乘法运算法则。

6. 熟练运用乘法公式。

7. 会利用提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，对多项式进行因式分解。

8. 理解代数恒等式与面积的关系。

9. 会在实验中寻找规律，计算频率，可能性大小。

10. 会估计机会的大小，并会进行模拟实验。

二. 重点、难点：1. 不等式（组）的应用。

2. 整式乘法的灵活应用。

3. 模拟实验。

三. 教学过程：第十三章一元一次不等式第一单元不等式和不等式的基本性质［知识梳理］1. 不等式的意义：（1）用不等号把数或代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。

（2）不等式与等式一样也有左边、右边；但不同的是不等号“＞”“＜”还有方向性。

（3）不等式可分为三种：①条件不等式，如：36x >，只有当x >2时，才能成立。

②绝对不等式，如：620102->+>，x 。

③矛盾不等式，如：780->。

2. 不等式的性质：（文字略）用字母可以表示如下：（1）若a b >，则a c b c ±>±；若a b <，则a c b c ±<±。

（2）若a b c >>，0，则ac bc >或a cb c>；若a b c <>，0，则ac bc <或a cb c<。

（3）若a b c ><，0，则ac bc <或a c bc <；若a b c <>，0，则ac bc >或a c bc>。

沪科版七年级期数学上册期末复习提纲

第一章有理数--------------1.1 正数及负数①大于0的数叫正数。

②在正数前面加上“-”号的数，叫做负数。

③0既不是正数也不是负数。

0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。

④搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等。

⑤正整数、0、负整数统称整数（结合数轴和一元一次方程出题），正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

⑥非负数就是正数和零；非负整数就是正整数和0。

-------------1.2 数轴①通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。

②数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

③数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。

④只有符号不同的两个数叫做互为相反数（和为零）。

（例：2的相反数是-2，；0的相反数是0）⑤数轴上表示数a的点及原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。

从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离（无方向性，有两个点）。

⑥数轴上两点间的距离=|M—N|⑥正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

⑦两个负数，绝对值大的反而小。

⑧|a|≥0（即非负性）；绝对值等于一个正数的值有两个（两个互为相反数）如：|a|=5，a=5或a=－5-------------1.3 有理数的大小①数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大。

②负数小于零，零小于正数，负数小于正数。

③两个负数的比较大小，绝对值大的反而小。

-------------1.4 有理数的加减法①有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

3.一个数同0相加，仍得这个数。

②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

-------------1.5 有理数的乘除法①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.3 第1课时等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT

系，∠ABC、∠C呢？
x
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°，30°.
5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
B
DC
BD=DC（作图），
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2：证明：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

【上海初中数学讲义】预初(上)第14讲：圆与扇形的面积教师版

第14讲圆与扇形的面积1. 圆的面积公式：设圆的半径长为r ，面积为S ，那么圆的面积2==S r r r ππ⨯ 2. 圆环面积圆环的计算公式（r 表示小圆半径，R 表示大圆半径）22=S R r ππ-圆环 3. 扇形面积公式：设组成扇形的半径为r ，圆心角为o n ，弧长为l ，那么21==3602n S r lr π扇形特别地：360S nS=扇 4. 组合图形面积（1）计算图形面积时，经常用到割补法，要善于添加辅助线，把图形分割成几个基本图形，再分别求出它们的面积.（2）一些复杂的图形，要经常用到平移、翻转等方法，把复杂图形转化为基本图形，再分别计算它们的面积.【例题1】填空：1. 在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是6.28厘米，这正方形的面积是_________平方厘米.剩下的面积是__________平方厘米.2. 大圆半径是3分米，小圆半径是2分米，小圆面积是大圆面积的__________.3. 已知外圆的半径为2cm ，内圆半径为1cm ，圆环的面积为 .4.小圆的半径为2，大圆的直径为8，那么大圆的面积是小圆的__________倍.5. 甲圆的半径是乙圆的43，则甲圆与乙圆的周长之比为面积之比为_______ 6. A B 两圆的周长之比为2:3，其中一个大圆的面积是18，另外一个圆的面积为：______ 7. 若两圆的周长和为87.92cm ，并且大圆的直径是小圆直径的3倍，则小圆的面积为______【例题2】（圆的面积）已知甲圆的半径长等于乙圆的直径长，且它们的面积之和是100平方厘米，那么甲圆的面积是多少？【例题3】（圆环面积）已知一个圆形花坛的直径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，求这条小路的面积。

【例题4】（扇形面积）已知圆心角为60 ，OC=6厘米，AC=2厘米，求阴影部分的面积.【例题5】（组合图形问题）求图中阴影部分的面积.【例题6】如图，长方形ABCD的长AD=8cm，宽AB=6cm，求阴影部分的周长和面积.【例题7】有一只狗被拴在建筑物的墙角上，这个建筑物是边长600厘米的正方形，拴狗的绳子长20米，现在狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，求狗跑过的图形面积【练习1】填空：1. 有相同周长的长方形、正方形、圆，它们的面积从大到小是_________________________.2. 如果一个扇形所含圆弧的长是相同半径圆周长的51，那么这个扇形的面积是这个圆面积的．3. 如图，三个同心圆的半径分别为2、6、10，则图中阴影部分占大圆面积的____________%.（第3题）（第4题）（第5题）4. 如图，大小两个圆重叠部分的面积是20平方厘米，是大圆面积的18，是小圆面积的16，则大圆面积比小圆面积多__________平方厘米.5. 如图所示，圆1O 、圆2O 、圆3O 的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为_______平方厘米.【练习2】两个圆的周长之比是3∶2，面积之差是10平方厘米，两个圆的面积之和是多少？【练习3】如图中两个相连的正方形的边长分别是8厘米、3厘米，求阴影部分的面积.【练习4】求阴影部分的面积.【练习5】某已知直角三角形三边长为12、16、20，求阴影部分的面积.【练习6】如图，已知AB=10cm，以AB为直径的半圆绕A点旋转了30 ，求阴影部分的面积．（结果保留π）【练习7】如图A与B两个圆（只有14）的圆心,那么两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？【练习8】如图，小杨将自家宠物A栓在墙角，若绳长为3米，求小狗在地面活动的最大区域面积．【练习1】如图所示，Rt△ABC中，∶C=90°，AB=10，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为___________.【练习2】已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积.A B【练习3】求下列阴影部分的面积．（1）（2）【练习4】已知小正方形的边长是2，大正方形的边长是4，求阴影部分的面积．【练习5】如图是以边长为40米的正方形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 长为半径的弧与以CD 、BC 为直径的半圆构成的花坛（图中阴影部分）．小杰沿着这个花坛边以相同的速度跑了6圈，用去了8分钟，求小杰平均每分钟跑多少米？A BCD【例题精讲】【例题1】（1）4、0.86 （2）49（3）3π （4）4 （5）3:4、9:16 （6）8 （7）494π 【例题2】280cm 【例题3】5π2m 【例题4】143π2cm 【例题5】（1）32 （2）816-π 【例题6】()10cm π+8、2(2648)cm -π 【例题7】166π2m【学习巩固】【练习1】（1）圆、正方形、长方形（2）15（3）33 （4）40 （5）2π【练习2】26【练习3】9(214-π)2cm【练习4】()88-π 【练习5】96 【练习6】253π2cm 【练习7】()238cm -π 【练习8】52π2m【家庭作业】【练习1】254π 【练习2】24-π【练习3】（1）8π （2）24-π 【练习4】2+π【练习5】()6030/min m +π。

沪科版八年级数学上册期末复习讲义(含答案)

期末复习(一) 平面直角坐标系01 知识结构图02 重难点突破重难点1 平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】 (长沙中考)若点P(2m ＋1，3m －12)在第四象限，则m 的取值范围是(C )A ．m ＜13B ．m ＞－12C ．－12<m<13D ．－12≤m<13根据点所在的位置和平面直角坐标系内点的坐标特征，构建方程或不等式(组)求解即可．1．(淮北月考)若点P(a ＋1，1－2a)在x 轴上，则a 的取值为(B ) A ．a ＝－1 B ．a ＝12C ．a ＝2D ．a ＝－1或a ＝122．(济宁中考)已知点P(x ，y)位于第四象限，并且x ≤y ＋4(x ，y 为整数)，写出一个符合上述条件的点P 的坐标(1，－2)(答案不唯一)．3．(阜阳颍东区期末)已知点P(2，－6)到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，则a－b＝4．重难点2建立坐标系表示点的坐标【例2】(蚌埠段考)象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘．如果“帅”坐标是(0，1)，“卒”坐标是(2，2)，那么“马”坐标是(C)A．(－2，1)B．(2，－2)C．(－2，2)D．(2，2)根据点的坐标建立坐标系的方法：若(a，b)是某坐标系中的点，当a＞0(a＜0)时，向左(向右)|a|个单位长度的铅直线即为y轴；当b＞0(b＜0)时，向下(向上)|b|个单位长度的水平线即为x轴．4．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示点A，(0，4)表示点B，那么点C的位置可表示为(C) A．(0，3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，0)第4题图第5题图5．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是(B)A．景仁宫(4，2) B．养心殿(－2，3)C．保和殿(1，0) D．武英殿(－3.5，－4)重难点3图形在坐标系中的平移【例3】(大连中考)在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB，得到线段A′B′.已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为(B)A．(4，2) B．(5，2) C．(6，2) D．(5，3)图形中任意一点的平移方向和距离都与图形的平移保持一致，所以我们可以通过图形上某一点的坐标变化确定出图形的平移方向和距离，从而确定其他点平移后对应点的坐标．6．(亳州高炉学校期末)点P(x，y)平移后得到点P′(x＋1，y－2)，其平移的方式是(D)A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度7．(兰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A(－3，5)，B(－4，3)，A1(3，3)，则点B1的坐标为(B)A．(1，2)B．(2，1)C．(1，4)D．(4，1)重难点4坐标系中的对称问题【例4】(广西中考)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于x轴对称，那么点B的对应点B′的坐标为(C)A．(－1，4) B．(1，－4)C．(－1，－4) D．(－4，1)点M(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)．8．(海南中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(－2，3)，先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是(B) A．(－3，2) B．(2，－3)C．(1，－2) D．(－1，2)第8题图第9题图9．如图，在平面直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB＝2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是－2.重难点5坐标系中的规律探索问题【例5】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，设坐标轴的单位长度为1 cm，整点P从原点O出发向右或向上运动，速度为1 cm/s，则点P运动1 s后可以到达(0，1)，(1，0)两个整点；它运动2 s后可以到达(2，0)，(1，1)，(0，2)三个整点；运动3 s后它可以到达(3，0)，(2，1)，(1，2)，(0，3)四个整点；….问：(1)当整点P从点O出发4 s后可以到达的整点是(4，0)，(3，1)，(2，2)，(1，3)，(0，4)；(2)当整点P从点O出发8 s后，在平面直角坐标系中描出它所能到达的整点，并顺次连接这些整点；(3)当整点P从点O出发14s后可到达整点(9，5)的位置．【思路点拨】由动点在第一象限运动所到达的整点坐标可知，这些整点的横、纵坐标的和等于运动的秒数，所以由此规律可以推得出发后4 s可以到达的整点及要到达整点(9，5)需要的时间．通过观察、猜想、验证找到整点的横、纵坐标与运动的秒数之间的关系，然后由规律写出答案．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中规律排列，如：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)，…，根据这个规律，第17个点的坐标为(6，－1)．11．(北京中考)在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0，4)，点B 是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝6n－3(用含n的代数式表示)．03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标为(a，b)，则ab的值为(B)A．1 B．2 C．－1 D．－2第1题图第2题图2．(安徽模拟)如图，小手盖住的点的坐标可能是(B) A ．(3，－4) B ．(－4，－3) C ．(－4，3) D ．(4，2)3．如图，在平面直角坐标系中，点P(－3，5)关于y 轴的对称点的坐标是(B )A ．(－3，－5)B ．(3，5)C ．(3，－5)D ．(5，－3)4．(六安校级月考)在平面直角坐标系中，点A(－2，－2m ＋3)在第三象限，则m 的取值范围是(C ) A ．m<－32B ．m>－32C ．m>32D ．m<325．已知点M 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2，则M 点的坐标为(D ) A ．(1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(2，1)或(2，－1)或(－2，1)或(－2，－1)6．(蚌埠四校联考)对任意实数x ，点(x ，x 2－2x)一定不在(C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．如图是做课间操时，小明，小刚和小红三人的相对位置，如果用(4，5)表示小明的位置，(2，4)表示小刚的位置，则小红的位置可表示为(D )A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(1，2)8．已知正方形ABCD 的边长为3，点A 在原点，点B 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴负半轴上，则点C 的坐标是(C )A ．(3，3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(－3，－3)9．(安徽模拟)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是(说明：棋子的位置用数对表示，如A 点在(6，3))(C )A ．黑(3，7)；白(5，3)B ．黑(4，7)；白(6，2)C ．黑(2，7)；白(5，3)D ．黑(3，7)；白(2，6)10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(－4，－3)，B(0，－3)，C(－2，1)．若将B 点向右平移2个单位长度后再向上平移4个单位长度到达B 1点．若设△ABC 的面积为S 1，△AB 1C 的面积为S 2，则S 1，S 2的大小关系为(B )A ．S 1≥S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1<S 2D ．S 1>S 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知两点A(4，2)，B(4，－3)，则经过A ，B 两点的直线与y 轴平行．12．(蚌埠期末)在平面直角坐标系中，点M(－3，－4)先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时点M 的坐标为(0，－6)．13．已知点A(a ，3)，过点A 向x 轴、y 轴作垂线，两条垂线与两坐标轴围成的图形的面积是15，则a 的值是±5．14．如图，已知A 1(1，0)，A 2(1，－1)，A 3(－1，－1)，A 4(－1，1)，A 5(2，1)，…，则点A 2 019的坐标是(－505，－505)．三、解答题(本大题共5小题，满分40分)15．(6分)(陕西中考)已知点P(a ＋1，2a －1)关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．解：依题意，得点P 在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，2a －1<0.解得－1＜a ＜12.∴a 的取值范围是－1＜a ＜12.16．(6分)如图，面积为12的△ABC 向x 轴正方向平移至△DEF 的位置，相应坐标如图所示(a ，b 为常数)． (1)求点E ，D 的坐标(用含a ，b 的式子表示)； (2)求四边形ACED 的面积．解：(1)E(－a ，0)，D(－2a ，b)．(2)由题意，得OE ＝－2a －(－a)＝－a ，AD ＝－2a ，OA ＝b. ∵S △ABC ＝12＝12(－a)b ，∴－ab ＝24.∴S 四边形ACED ＝－2ab －(－12ab)＝－32ab ＝36.17．(9分)各写出3个满足下列条件的点，并在平面直角坐标系中描出它们：(1)横坐标与纵坐标相等；(2)横坐标与纵坐标互为相反数； (3)横坐标与纵坐标的和是6.观察各小题中3个点的位置，指出它们有什么特点．解：(1)答案不唯一，如(1，1)，(6，6)，(－2，－2)，它们在第一、三象限的角平分线上．图略． (2)答案不唯一，如(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，它们在第二、四象限的角平分线上．图略． (3)答案不唯一，如(2，4)，(3，3)，(－2，8)，它们在直线x ＋y ＝6上．图略．18．(9分)(淮北杜集区月考)△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示，已知A(－2，3)，B(－1，1)，C(0，2)．(1)作△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1；(2)将△A 1B 1C 1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上求作一点P ，使PB 1＋PC 2的值最小，并写出点P 的坐标(不写解答过程，直接写出结果)．解：(1)如图所示． (2)如图所示．(3)如图所示，作出B 1关于x 轴的对称点B′，连接B′C 2，交x 轴于点P ，此时PB 1＋PC 2的值最小，可得点P 的坐标为(2，0)．19．(10分)在平面直角坐标系中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“识别距离”，给出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1(x 1，y 1)与点P 2(x 2，y 2)的“识别距离”为|x 1－x 2|；若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1(x 1，y 1)与点P 2(x 2，y 2)的“识别距离”为|y 1－y 2|. (1)已知点A(－1，0)，点B 为y 轴上的动点．①若点A 与点B 的“识别距离”为2，写出满足条件的B 点的坐标(0，2)或(0，－2)； ②直接写出点A 与点B 的“识别距离”的最小值为1；(2)已知C(m ，34m ＋3)，D(0，1)，求点C 与点D 的“识别距离”的最小值及相应的C 点坐标．解：依题意，得|m －0|＝|34m ＋3－1|.解得m ＝8或－87.当m ＝8时，“识别距离”为8；当m ＝－87时，“识别距离”为87.所以当m ＝－87时，“识别距离”最小，为87，此时C(－87，157)．期末复习(二) 一次函数01 知识结构图02 重难点突破重难点1 自变量的取值范围【例1】已知函数y ＝2x ＋1x －2，则自变量x 的取值范围是(D ) A ．x ≠2 B ．x ＞2C ．x ≥－12D ．x ≥－12且x ≠2几种常见类型函数自变量的取值范围如下：1．(西昌中考)下列函数中自变量x 的取值范围是x ＞1的是(A )A ．y ＝1x －1 B ．y ＝x －1C ．y ＝1x －1D ．y ＝11－x2．(泰州中考)要使y＝3－xx－1有意义，则x应该满足(C)A．0≤x≤3 B．0＜x≤3且x≠1C．1＜x≤3 D．0≤x≤3且x≠1重难点2函数图象【例2】(合肥月考)合肥万达主题公园的“极速升降”项目惊险而刺激，乘坐着先匀速“极速上升”到达顶端，立即又以相同的速度下降到达地面．下列最能反映乘坐时距离地面的高度y(m)与运行时间x(s)之间函数关系的图象是(C)A B C D判断函数图象从以下几方面考虑：(1)看图象的升降趋势，当函数随着自变量的增加而增加时，图象呈上升趋势，反之，呈下降趋势；(2)看图象的曲直，函数随着自变量的变化而均匀变化的，图象是直线，函数随着自变量的变化不均匀变化的，图象是曲线；(3)表示函数不随自变量的变化而变化，即函数是一个定值时，图象与横轴平行．3．小兵从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小兵的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系．下列说法错误的是(D)A．他离家8 km共用了30 minB．他等公交车时间为6 minC．他步行的速度是100m/minD．公交车的速度是350 m/min4．(广元中考)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.60元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.8元/度计算(未超过部分仍按每度电0.60元/度计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是(C)A B C D重难点3 一次函数的图象和性质【例3】 (蚌埠期末)直线y ＝－kx ＋k －3与直线y ＝kx 在同一坐标系中的大致图象可能是图中的(B )A B C D一次函数的图象和性质，列表如下：k ＞0k ＜0一二三一三一三四一二四二四二三四5．(呼和浩特中考)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过(A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．(怀化中考)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B )A .12B .14C ．4D ．8 重难点4 一次函数与方程(组)、不等式的关系【例4】如图，若直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P(a ，2)，则关于x 的不等式x ＋1≥mx ＋n 的解集为x ≥1．一次函数与不等式关系密切，求解的关键是从“形”的角度观察对应的自变量的取值范围．7．(安徽模拟)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A(－2，－1)和B(－3，0)两点，则不等式组12x ＜kx ＋b ＜0的解集为－3＜x ＜－2.第7题图第8题图8．(北京中考)如图，直线y1＝kx＋b过点A(0，2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b ＞mx－2的解集是1＜x＜2.重难点5一次函数的应用【例5】(荆门中考)A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16 460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变，如何调运，使总费用最少？【思路点拨】(1)A城运往C乡的农机为x台，则可得A城运往D乡的农机为(30－x)台，B城运往C乡的农机为(34－x)台，B城运往D乡的农机为[40－(34－x)]台，从而可得出W与x的函数关系；(2)根据题意，可知w≥16 460，从而求得x的取值范围，且x为整数，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；(3)根据题意，得W ＝(140－a)x＋12 540，所以当a＝200时，可得w与x的函数关系式，然后由函数的增减性可算出w的最小值，从而得到结论．【解答】(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝140x＋12 540(0＜x≤30)．(2)根据题意，得140x＋12 540≥16 460，∴x≥28.∵x≤30，∴28≤x≤30.∴有3种不同的调运方案．第一种调运方案：从A城调往C乡28台，调往D乡2台，从B城调往C乡6台，调往D乡34台；第二种调运方案：从A城调往C乡29台，调往D乡1台，从B城调往C乡5台，调往D乡35台；第三种调运方案：从A城调往C乡30台，调往D乡0台，从B城调往C乡4台，调往D乡36台．(3)W＝(250－a)x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝(140－a)x＋12 540，∴当a＝200时，W最小＝－60x＋12 540，此时x＝30，W最小＝10 740.此时的方案：从A城调往C乡30台，调往D乡0台，从B城调往C乡4台，调往D乡36台．解最优方案问题的步骤：(1)设出实际问题中的变量；(2)建立一次函数模型；(3)利用待定系数法求得一次函数表达式；(4)确定自变量的取值范围；(5)根据一次函数增减性确定自变量取值；(6)作答．9．(淮北月考)移动公司推出两种话费套餐，套餐一：每月收取月租34元后，送50分钟的通话时间，超过部分每分钟收费0.20元，并约定每月最低消费40元，低于40元一律按40元收取；套餐二：每月没有最低消费，但每分钟均收取0.40元的通话费用．若分别用y1，y2(单位：元)表示套餐一、套餐二的通话费用，用x(单位：分钟)表示每个月的通话时间．(1)分别求y 1，y 2关于x 的函数表达式；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并直接写出两个函数图象的交点坐标； (3)①结合图象，如何选择话费套餐，才可使每月支付的通话费用较少？②若小亮的爸爸这个月的通话费用是64元，求这两种套餐的通话时间相差多少分钟？解：(1)y 1＝⎩⎨⎧40（0≤x ≤80），0.2x ＋24（x ＞80），y 2＝0.4x(x ≥0)．(2)过点A(0，40)和点(80，40)画线段AB ，且过点B(80，40)和点P(120，48)画射线BP ，得到折线ABP 就是函数y 1的图象；过点O(0，0)和点P(120，48)画线段OP 就得y 2的图象．这两个函数图象的交点坐标为(120，48)．(3)①由图象可知，当x ＜120时，y 2＜y 1，选择套餐二每月支付的通话费用较少；当x ＝120时，y 2＝y 1，选择两种套餐每月支付的通话费用一样多；当x ＞120时，y 2＞y 1，选择套餐一每月支付的通话费用较少；②由于64＞40，当y 1＝64时，0.2x ＋24＝64，解得x ＝200；当y 2＝64时，0.4x ＝64，解得x ＝160.两种套餐的通话时间相差200－160＝40(分钟)．(套餐一比套餐二通话时间多40分钟)03 复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．(淮北濉溪县期末)函数y ＝2x ＋1中自变量x 的取值范围是(A ) A ．x ≥－12B ．x ≥0C ．x ≥12D ．x ＞－122．若正比例函数的图象经过点(－1，2)，则这个图象必经过点(D ) A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2)3．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是(D ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．24．一次函数y ＝(k －2)x ＋3的图象如图所示，则k 的取值范围是(B )A ．k ＞2B ．k ＜2C ．k ＞3D ．k ＜35．(温州中考)已知点(－1，y 1)，(4，y 2)在一次函数y ＝3x －2的图象上，则y 1，y 2，0的大小关系是(B ) A ．0＜y 1＜y 2 B ．y 1＜0＜y 2 C ．y 1＜y 2＜0 D ．y 2＜0＜y 16．(淮北月考)按照下列运算程序，当输入x ＝－2时，输出的y 的值是(A )输入x ―→y ＝2x －3（x ≤－1）y ＝x 2＋x ＋1（x ＞－1）―→输出yA ．－7B ．－5C ．1D ．3 7．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1，l 2，如图所示，他解的这个方程组是(D )A .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝12x －1B .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝－x C .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －8y ＝12x －3D .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝－12x －1第7题图第8题图8．(宜宾中考)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是(C ) A ．乙前4秒行驶的路程为48米B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米C ．两车到第3秒时行驶的路程相等D ．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度9．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 从起点B 出发，沿BC ，CD 逆时针方向向终点D 匀速运动．设点P 所走过路程为x ，则线段AP ，AD 与长方形的边所围成的图形面积为y ，则下列图象中能大致反映y 与x 函数关系的是(A )10．(枣庄中考)如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 值最小时，点P 的坐标为(C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．(眉山中考)若函数y ＝(m －1)x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第二、四象限．12．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过点(2，1)；②当x>0时，y 随x 的增大而减小．这个函数表达式为y ＝－x ＋3(答案不唯一)(写出一个即可)．13. (淮北月考)某图书馆规定，图书借阅费用标准是：借阅图书3天内(含3天)2元，借阅图书超过3天，超过的部分每天收费1.1元．小红同学在该图书馆借阅一种图书阅读了x 天(x>3)，则她借阅图书的费用y(元)与借阅时间x(天)之间的函数表达式是y ＝1.1x －1.3(x>3)．14．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米； ②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒； ④隧道长度为750米．其中正确的结论是②③.(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共4小题，满分40分)15．(8分)已知y 与x ＋2成正比例，且当x ＝1时，y ＝－6.(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)若点M(m ，4)在这个函数的图象上，求m 的值．解：(1)根据题意，设y ＝k(x ＋2)．把x ＝1，y ＝－6代入，得－6＝k(1＋2)．解得k ＝－2.∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －4.(2)把点M(m ，4)代入y ＝－2x －4，得4＝－2m －4.解得m ＝－4.16．(10分)如图，直线AB 与x 轴交于点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，－2)． (1)求直线AB 的表达式；(2)若直线AB 上一点C 在第一象限且点C 的坐标为(2，2)，求△BOC 的面积．解：(1)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2. ∴直线AB 的表达式为y ＝2x －2. (2)S △BOC ＝12×2×2＝2.17．(10分)设关于x 的一次函数y ＝a 1x ＋b 1与y ＝a 2x ＋b 2，则称函数y ＝m(a 1x ＋b 1)＋n(a 2x ＋b 2)(其中m ＋n ＝1)为此两个函数的生成函数．(1)当x ＝1时，求函数y ＝x ＋1与y ＝2x 的生成函数的值；(2)若函数y ＝a 1x ＋b 1与y ＝a 2x ＋b 2的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．解：(1)当x ＝1时，y ＝m(x ＋1)＋n(2x)＝m(1＋1)＋n(2×1)＝2m ＋2n ＝2(m ＋n)． ∵m ＋n ＝1，∴y ＝2.(2)点P 在此两个函数的生成函数的图象上．理由：设点P 的坐标为(a ，b)， ∵a 1×a ＋b 1＝b ，a 2×a ＋b 2＝b ， ∴当x ＝a 时，y ＝m(a 1x ＋b 1)＋n(a 2x ＋b 2) ＝m(a 1×a ＋b 1)＋n(a 2×a ＋b 2) ＝mb ＋nb ＝b(m ＋n)＝b.∴点P 在此两个函数的生成函数的图象上．18．(12分)(绥化中考)周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y(km )与小芳离家时间x(h )的函数图象．(1)小芳骑车的速度为20km /h ，H 点坐标为(32，20)；(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？(3)相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计)，求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？解：(2)设直线AB 的表达式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(0，30)，B(0.5，20)代入y 1＝k 1x ＋b 1，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，0.5k 1＋b 1＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－20，b 1＝30.y 1＝－20x ＋30. ∵AB ∥CD ，∴设直线CD 的表达式为y 2＝－20x ＋b 2. 将点C(1，20)代入表达式，得b 2＝40. ∴y 2＝－20x ＋40.设直线EF 的表达式为y 3＝k 3x ＋b 3. 将点E(43，30)，H(32，20)代入表达式，得⎩⎨⎧43k 3＋b 3＝30，32k 3＋b 3＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝－60，k 3＝110.∴y 3＝－60x ＋110.联立⎩⎨⎧y ＝－60x ＋110，y ＝－20x ＋40，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.75，y ＝5.∴点D 坐标为(1.75，5)．30－5＝25(km )．∴小芳出发1.75 h 后被妈妈追上，此时距家25 km .(3)将y ＝0代入直线CD 的表达式，得－20x ＋40＝0.解得x ＝2.将y ＝0代入直线EF 的表达式，得－60x ＋110＝0.解得x ＝116.2－116＝16(h )＝10(分钟)．答：小芳比预计时间早10分钟到达乙地．期末复习(三)三角形中的边角关系、命题与证明01知识结构图02重难点突破重难点1三角形的三边关系【例1】(莆田中考)已知三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是(B) A．13 cm B．6 cmC．5 cm D．4 cm“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是判断三条线段能否构成三角形的重要依据．在实际判断时，不需要去将三角形的任意两边都相加，然后判断其和是否大于第三边．只需选取较小的两边相加，判断其和是否大于最大边即可．1．(湛江中考)在下列长度的四根木棒中，能与长度为3 cm，7 cm的两根木棒钉成一个三角形的是(C)A．3 cm B．4 cmC．9 cm D．10 cm2．(合肥瑶海区期中)如图，为估计荔香公园小池塘岸边A，B两点之间的距离，小明在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15 m，OB＝10 m，则A，B间的距离可能是(B)A．5 mB．15 mC．25 mD．30 m3．(濉溪期中)一等腰三角形，一边长为9 cm，另一边长为5 cm，则等腰三角形的周长是19_cm或23_cm．重难点2命题与逆命题【例2】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是有两个角互余的三角形是直角三角形．对于一些简单命题的逆命题可直接交换此命题的条件和结论，而遇到一些高度概括的命题时，则需改写后再交换．特别注意：在交换一个命题的条件和结论时，语言表达要准确，防止用词不当而造成错误．例如，本题的逆命题就不能写成“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．4．(泉州中考)下列四个命题中，是假命题的是(B)A．三角形三边垂直平分线的交点有可能在一边上B．过三点一定可以画三条直线C．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分D．三角形的内角和等于180°5．(南京中考)请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题：对顶角相等(答案不唯一)．6．(福建中考)请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例：α＝50°，β＝60°，α＋β>90°(答案不唯一)．重难点3三角形的内角和定理及推论【例3】如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE.【思路点拨】因为∠ADB和∠CDE并不在一个三角形上，所以没有办法直接证明，因此需要一个中间量来过渡一下，从图中不难发现，∠DCB正好是∠ADB和∠CDE联系的桥梁．【解答】∵∠DCB是△DCE的一个外角，(外角定义)∴∠DCB＞∠CDE.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠ADB是△BCD的一个外角，(外角定义)∴∠ADB＞∠DCB.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠ADB＞∠CDE.(不等式的性质)证明角的不等关系，往往不能直接证明，所以借助外角就成了解决问题的法宝．7．如图，已知AB∥CD，则(A)A．∠1＝∠2＋∠3B．∠1＝2∠2＋∠3C．∠1＝2∠2－∠3D．∠1＝180°－∠2－∠38．(安庆调研)如图甲，四边形纸片ABCD中，∠B＝120°，∠D＝50°.若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图乙所示，则∠C等于(C)A．80°B．85°C．95°D．110°重难点4推理与证明【例4】如图1，已知直线l1∥l2，直线l3分别和直线l1，l2交于点C，D，在C，D之间有一点P，如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？若点P在C，D两点的外侧运动时(P 点与点C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间又有怎样的关系？【思路点拨】若P点在C，D之间运动时，只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC＋∠PBD；若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，则可以分为图2和图3两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.【解答】若P点在C，D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD.理由：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE ＝∠PAC.又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∴∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD，即∠APB＝∠PAC＋∠PBD.若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，则有两种情形：①如图2，结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC.又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∴∠APB＝∠BPE－∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.②如图3，结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD.又∵l1∥l2，∴PE∥l1.∴∠APE＝∠PAC.∴∠APB＝∠APE－∠BPE，即∠APB＝∠PAC－∠PBD.解答动态问题时，要从动中求静，运用分类讨论的数学思想方法，在运动变化过程中探索问题的不变性，既要考虑问题的一般情形，也要考虑问题的特殊情形．9．如图，A，B，C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D.求证：BD∥CE.证明：∵∠1＝∠2，∴AD∥BE.∴∠D＝∠DBE.∵∠3＝∠D，∴∠3＝∠DBE.∴BD∥CE.03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列语句不是命题的是(C)A．三角形的两边之和大于第三边B．射线不是几何图形C．同位角相等吗D．两个锐角的和不可能大于90°2．(茂名中考)若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是(B)A．1 B．5 C．7 D．93．(十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝(B)A．40°B．50°C．60°D．70°第3题图第4题图4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是(B)A．0＜x＜3 B．x＞3C．3＜x＜6 D．x＞65．直角三角形两锐角平分线相交所夹的钝角为(B)A．125°B．135°C．145°D．150°6．已知在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(A)A．40°B．60°C ．80°D ．90°7．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，则这个三角形是(B ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形8．(合肥瑶海区期末)一副三角板有两个直角三角形如图叠放在一起，则∠α的度数是(A)A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°9．(呼伦贝尔中考)锐角三角形的三个内角是∠A ，∠B ，∠C ，如果α＝∠A ＋∠B ，β＝∠B ＋∠C ，γ＝∠C ＋∠A ，那么α，β，γ这三个角中(A )A ．没有锐角B ．有1个锐角C ．有2个锐角D ．有3个锐角10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EG ⊥AD ，且分别交AB ，AD ，AC 及BC 的延长线于点E ，H ，F ，G ，则下列四个式子中正确的是(C )A ．∠1＝12(∠2－∠3)B ．∠1＝2(∠2－∠3)C ．∠G ＝12(∠3－∠2)D ．∠G ＝12∠1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．将命题“两点确定一条直线”改写成“如果……那么……”的形式：如果过两个已知点作直线，那么能且只能作一条直线．12．如图，点B ，C ，E ，F 在一直线上，AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，则∠D ＝36°．第12题图第13题图13．(宿迁中考)如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为32.14．(合肥四十二中期中)如图，已知△ABC 的面积是60.若CD ，BE 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中线，则四边形ADOE 的面积为20．。

上海初中数学教材目录

上海初中数学教材目录预初六年级（一）第一章数的整除1、整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2,5整除的数2、分解素因数1.4 素数、合数与分解素因数1.5 公因数与最大公因数1.6 公倍数与最小公倍数第二章分数1、分数的意义和性质2.1 分数与除法2.2 分数的基本性质2.3 分数的大小比较2、分数的运算2.4 分数的加减法2.5 分数的乘法2.6 分数的除法2.7 分数与小数的互化2.8 分数、小数的四则混合运算2.9 分数运算的应用第三章比和比例1、比和比例3.1 比的意义3.2 比的基本性质3.3 比例2、百分比3.4 百分比的意义3.5 百分比的应用3.6 等可能事件第四章圆和扇形1、圆的周长和弧长4.1圆的周长4.2弧长2、圆和扇形的面积4.3圆的面积4.4扇形的面积六年级（二）第五章有理数1、有理数11.5 翻折与轴对称图形11.6 轴对称七年级（二）第十二章实数1、实数的概念12.1 实数的概念2、数的开方12.2 平方根和开方根12.3 立方根和开立方12.4 几次方根3、实数的运算12.5 用数轴上的点表示实数12.6 实数的运算4、分数指数幂12.7 分数指数幂第十三章相交线，平行线1、相交线13.1 邻补角、对顶角13.2 垂线13.3 同位角、内错角、同旁内角2、平行线13.4 平行线的判定13.5 平行线的性质第十四章三角形1、三角形的有关概念及性质14.1 三角形的有关概念14.2 三角形的内角和2、全等三角形14.3 全等三角形的概念与性质14.4 全等三角形的判定3、等腰三角形14.5 等腰三角形的性质14.6 等腰三角形的判定14.7 等边三角形第十五章平面直角坐标系1、平面直角坐标系15.1 平面直角坐标系2、直角坐标系平面内点的运动15.2 直角坐标系平面内点的运动八年级（一）第十六章二次根式1 二次根式的概念及性质16.1 二次根式16.2 最简二次根式和同类二次根式2 二次根式的运算16.3 二次根式的运算第十七章一元二次方程1 一元二次方程的概念17.1 一元二次方程的概念2 一元二次方程的解法17.2 一元二次方程的解法17.3 一元二次方程根的判别式3 一元二次方程的应用17.4 一元二次方程的应用第十八章正比例函数和反比例函数1 正比例函数18.1 函数的概念18.2 正比例函数2 反比例函数18.3 反比例函数3 函数的表示法18.4 函数的表示第十九章几何证明1 几何证明19.1 命题和证明19.2 证明举例2 线段的垂直与角的平分线19.3 逆命题和逆定理19.4 线段的垂直平分线19.5角的平分线19.6 轨迹3 直角三角形19.7 直角三角形全等的判定19.8 直角三角形的性质19.9 勾股定理19.10 两点的距离公式八年级（二）第二十章一次函数1 一次函数的概念20.1 一次函数的概念2 一次函数的图像与性质20.2 一次函数的图像20.3 一次函数的性质3 一次函数的应用20.4 一次函数的应用第二十一章代数方程1 整式方程21.1 一次整式方程21.2 特殊的高次方程的解法2 分式方程21.3 可化为一元二次方程的分式方程3 无理方程21.4 无理方程4 二元二次方程组21.5 二元二次方程和方程组21.6 二元二次方程组的解法5 列方程（组）解应用题21.7 列方程（组）解应用题第二十二章四边形1 多边形22.1 多边形2 平行四边形22.2 平行四边形22.3 特殊的平行四边形3 梯形22.4 梯形22.5 等腰梯形22.6 三角形、梯形的中位线4 平面向量及其加减运算22.7平面向量22.8 平面向量的加法22.9平面向量的减法第二十三章概率初步1 事件及其发生的可能性23.1 确定事件和随机事件23.2 事件发生的可能性2 事件的概率23.3 事件的概率23.4 概率计算举例九年级（一）第24章相似三角形1 相似形24.1 放缩与相似形2 比例线段24.2 比例线段24.3 三角形一边的平行线3 相似三角形24.4 相似三角形的判定24.5 相似三角形的性质4 平面向量的线性运算24.6 实数与向量相乘24.7 向量的线性运算第25章锐角三角形1 锐角的三角比25.1 锐角的三角比的意义25.2 求锐角的三角比的值2 解直角三角形25.3 解直角三角形25.4 解直角三角形的应用第26章二次函数1 二次函数的概念26.1 二次函数的概念2 二次函数的图像26.2 特别二次函数的图像26.3 二次函数y=ax^2+bx+c的图像九年级（二）第27章圆与正多边形1 圆的基本性质27.1 圆的确定27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系27.3 垂径定理2 直线与圆、圆与圆的位置关系27.4 直线与圆的位置关系27.5 圆与圆的位置关系3 正多边形与圆27.6 正多边形与圆第28章统计初步1 统计的意义28.1 数据整理与表示28.2 统计的意义2 基本的统计量28.3 表示一组数据平均水平的量28.4 表示一组数据波动程度的量28.5 表示一组数据发布的量28.6 统计实习。

上海初中基础数学知识点总结

上海初中基础数学知识点总结一、数与代数1. 整数和有理数- 整数的概念：正整数、零、负整数及其运算（加、减、乘、除）。

- 有理数的概念：整数和分数统称为有理数，包括正有理数、零、负有理数。

- 有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方。

2. 实数- 无理数的概念：无法表示为分数的实数，如圆周率π。

- 实数的概念：有理数和无理数的集合。

- 实数的运算：与有理数运算相同，但需要注意无理数的运算特性。

3. 代数表达式- 单项式：由数字和字母的乘积构成的代数式。

- 多项式：由单项式通过加减法构成的代数式。

- 代数式的加减运算：合并同类项。

- 代数式的乘法运算：分配律、结合律、交换律。

4. 一元一次方程与不等式- 一元一次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的方程。

- 解一元一次方程：移项、合并同类项、系数化为1等步骤。

- 一元一次不等式的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的不等式。

- 解一元一次不等式：移项、合并同类项、系数化为1等步骤，并注意不等号的方向变化。

5. 函数- 函数的概念：从一个数集到另一个数集的映射。

- 函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。

- 线性函数：形式为y=kx+b的函数，其中k为斜率，b为截距。

- 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性等。

二、几何1. 平面几何- 点、线、面的概念：点无大小，线由点组成，面由线组成。

- 角的概念：两条射线的夹角。

- 直线和射线的性质：直线无限延伸，射线有一端有起点。

- 线段的性质：两个端点，长度可测。

- 角的度量：使用度、分、秒表示角度大小。

2. 三角形- 三角形的基本性质：内角和为180度。

- 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和判定。

- 三角形的面积公式：海伦公式、底边高公式等。

3. 四边形- 四边形的基本性质：内角和为360度。

- 特殊四边形：正方形、长方形、菱形、平行四边形、梯形的性质和判定。

沪教版八年级数学暑假同步讲义第15讲反比例函数的图像及性质(解析版)

反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x =，其中k是不等于0的常数．2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 称也叫做比例系数． 3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数的图像及性质知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析班假暑级年八2/ 14【例1】下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？（1）被除数为100，变量分别是除数r 和商q ；（2）三角形面积S 一定时，三角形一边上的长a 和这条边上的高h ；（3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v （米/秒）和跑完全程所用时间t （秒）；（4）完成工作量Q 一定时，完成工作量所需的时间t 与工人人数n （假设每个工人的工作效率相同）.【答案】（1）是；（2）是；（3）是；（4）是．【解析】考查两个变量成反比例的定义：两个变量的乘积为为定值．【例2】一个长方体的体积是20cm 3，它的长是ycm ，宽是5cm ，高是xcm .写出长y 与高x 之间的函数关系式.【答案】xy 4=．【解析】长方体的体积=长×宽×高．【例3】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？（1）23y x =；（2）1y x -=；（3）3xy =；（4）3y x=；（5）27y x =+；（6）y =8x+7．【答案】（2）（4）是反比例函数，其余都不是．【解析】解析式形如()0≠=k x ky 的函数叫做反比例函数．【总结】本题主要考查反比例函数的定义．【例4】已知y 是x 的反比例函数，且3x =-时，2y =，那么y 关于x 的函数解析式是________．【答案】xy 6-=．例题解析【解析】设函数解析式为：()0≠=k xky ，将3x =-，2y =代入，得：6k =-．【总结】考查反比例函数解析式的求法．【例5】已知y 4x =时，2y =-，求y 与x 的函数解析式．【答案】xy 4-=．【解析】设函数解析式为：)0y k=≠，将4x =，2y =-代入，得：4k =-．【总结】考查反比例的定义：两个变量的乘积为定值．【例6】若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数，则m 的值为________．【答案】1．【解析】由题意，可得：1132-=+-m m ，则1=m 或2=m ，∵02≠-m ，∴1=m ．【总结】本题主要考查反比例函数的概念．【例7】如果2212nn n n y x +++=是反比例函数，那么n 的值是________．【答案】-1．【解析】112=++n n 且022≠+n n ，则1-=n ．【总结】本题主要考查反比例函数的概念．【例8】已知y 是x 的反比例函数，且当2x =时，2y =，那么当1y =时，x的值是________．【答案】21-．【解析】已知y 是x 的反比例函数，且当2x 时，2y =-，则反比例函数解析式为x y 1-=．当1y =时，21121-=+-=x ．【总结】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式以及由解析式求函数值．【例9】如果变量1x和变量y 成正比例，变量1y 和变量z 成反比例，那么变量x 和z 成________比例关系．【答案】反．【解析】如果变量1x 和变量y 成正比例，则可设ky x=1，变量1y 和变量z 成反比例，则可设z m y =1，∴m kz x =1，即kmxz =．∴变量x 和z 成反比例关系．【总结】本题主要考查两个变量成反比例的概念．【例10】已知反比例函数2k y k x=+k 的值，并求当x =2时的函数值【答案】2-=k ，2．【解析】因为是反比例函数，所以200k k ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩，所以2-=k ．则函数解析式为：2y x=，当x=时，y ．【总结】考查反比例函数的定义：形如()0≠=k xky 的函数．【例11】已知12y y y =+，若1y 与x 正比例，2y 与x 成反比例函数，且当2x =时，14y =，当3x =时，1293y =，求y 与x 间的函数关系式．【答案】xx y 2012-=．【解析】设kx y =1(0)k ≠，x m y =2(0)m ≠，则xm kx y y y +=+=21．当2x =时，14y =，当3x =时，1293y =；则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+3129331422m k m k ，解得：⎩⎨⎧-==2012m k 2∴xx y 2012-=．【总结】本题主要考查复合函数的求解．二、反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．三、反比例函数的性质 1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例12】已知反比例函数8y x =和8y x=- 列表：取自变量x 的一些值，根据反比例函数的解析式，填写下表例题解析知识精讲模块二：反比例函数的图像和性质师生总结1、反比例函数自变量的指数是多少？2、反比例函数自变量的定义域是多少？描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接【答案】【解析】考查反比例函数图像是双曲线．【例13】已知反比例函数3y x =-，那么当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________．【答案】增大．【解析】考查反比例函数()0<=k xky 在每个象限内y 随着x 的增大而增大．【例14】反比例函数25(2)my m x -=+在它的图像所在的每个象限内，y 随x 的增大而________．【答案】减小．【解析】由题意，可得2=m ，所以在每个象限内y 随着x 的增大而减小．【总结】本题主要考查反比例函数的定义和图像性质．【例15】若反比例函数的图像经过点(25)-，，那么函数图像在________象限．【答案】二、四象限．【解析】由题意可得，反比例函数的解析式为：10y x=-，所以图像在第二、四象限．【总结】考查反比例函数()0<=k xky 在二、四象限．【例16】已知反比例函数2k y x-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是________．【答案】2>k ．【解析】因为图象在第一、第三象限内，所以20k ->，即2>k ．【总结】考查反比例函数()0>=k x ky 在一、三象限．【例17】函数135k y x --=的图像在一、三象限，那么k 的取值范围是________．【答案】3<k ．【解析】因为图象在第一、第三象限内，所以30k ->，即3<k ．【总结】考查反比例函数()0>=k x ky 在一、三象限．【例18】已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限，则y kx =-的图象经过第________象限．【答案】一、三．【解析】因为ky x =的图象不经过第一、三象限，所以0k <，所以0k ->，所以y kx =-的图象经过第一、三象限．【总结】考查反比例函数图像的性质．【例19】如果反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，那么正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过哪几个象限？【答案】二、四．【解析】因为反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，所以0k <，所以正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过二、四象限．【总结】本题主要考查正、反比例函数图像的性质．【例20】若正比例函数(0)y kx k =≠，与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点，那么k 与m 满足关系式可以是________．【答案】0<km ．【解析】满足题意的图像有两种：正比例函数(0)y kx k =≠在第一、三象限，与反比例函数 (0)my m x=≠的图像在二、四象限，此时0,0<>m k ；若正比例函数(0)y kx k =≠在第二、四象限，与反比例函数(0)my m x =≠的图像在一、三象限，此时0,0><m k ；综上所述，0<km ．【总结】本题主要考查正、反比例函数图像的性质．【例21】已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，且12x x <，那么下列结论正确的是（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．1y 与2y 的大小关系无法确定【答案】D【解析】因为10k =-<，所以在每个象限内，y 随x 的增大而增大．由于本题不知道两个点是否在同一象限，因此函数值无法比较．故选D ．【总结】本题主要考查反比例图像的性质．【例22】反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x 轴的距离是________．【答案】34．【解析】由题意，可得该点的坐标为433⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以这点到x 轴的距离是34．【总结】本题主要考查反比例函数的图像与点的关系，注意坐标与距离的转化．【例23】已知反比例函数21k y x+=，（1）若该函数图像经过点(21)-，，求k 的值；（2）若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．【答案】（1）23-=k ；（2）21->k ．【解析】（1）将点(21)-，代入21k y x +=，得：23-=k ．（2）因为函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小，所以210k +>，则21->k ．【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【例24】直线y kx =(k ＞0)与双曲线4y x=交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，求122127x y x y -的值．【答案】20．【解析】由题意可知：21x x ，是方程x kx 4=的两个根，则kx x 421-=⋅．所以20572722112211221=-=-=-x kx kx x kx x y x y x ．【总结】主要考查点的坐标与函数图像的关系．【例25】反比例函数2y x=的图像上一点A ，过A 点分别作x 轴、y 轴垂线，垂足为B 、C ；（1）求矩形ABOC 的面积；（2）当点A 沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？【答案】（1）2；（2）不变化，矩形ABOC 的面积都为2．【解析】（1）设2A a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，则22=⋅=a a S ABOC 矩形；（2）不变化．由（1）中可得，A 无论怎么变化，矩形ABOC 的面积都为2．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性．【习题1】下列问题中的两个变量是否成反比例？如果是，可以用怎样的数学式来表示？（1）平行四边形的面积为20平方厘米，变量分别是平行四边形的一条边长a （厘米）随堂检测和这条边上的高h （厘米）；（2）一位男同学练习一千米长跑，变量分别是男生跑步的的平均速度v （米）和跑完全程所用时间t （秒）.【答案】（1）是，20=ah ；（2）是，1000=vt ．【解析】考查两个变量成反比例的定义：两个变量的乘积为定值．【习题2】下列函数是不是反比例函数？为什么？（1）13y x =-；（2）4xy =；（3）15y x =-；（4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y x π= ；（6）21y x= ．【答案】（3）（4）（5）是反比例函数，其余均不是．【解析】考查反比例函数的定义：形如()0≠=k x ky 的函数．【习题3】若函数223()k k y k k x --=+是反比例函数，则k 的值是________．【答案】2．【解析】∵132-=--k k ，∴2=k 或1-=k∵02≠+k k ，∴2=k ．【总结】本题主要考查反比例函数的概念．【习题4】在同一平面直角坐标系内，分别画出下列函数的图像．（1）4y x =；（2）4y x =-．求：（1）这两个函数的图像分别位于哪几个象限内？（2）在每一象限内，随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 是怎样变化的？（3）图像的每支都向两方无限延伸，它们可能与x 轴、y 轴相交吗？为什么？【解析】（1）x y 4=位于一、三象限，xy 4-=位于二、四象限．（2）在每一象限内，xy 4=随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 逐渐变小；xy 4-=随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 逐渐增大．（3）图像的每支都向两方无限延伸，不可能与x 轴、y 轴相交．反比例函数的定义域为0≠x ．【总结】考查反比例函数图像的性质．【习题5】已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析式是________．【答案】xy 3=．【解析】交点（1，3）在反比例函数图像上，则可求反比例函数解析式．【总结】本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式．【习题6】已知反比例函数xk y 1+=，11()x y ，、22()x y ，为其图像上的两点，若当120x x <<时，12y y >，则k 的取值范围是________．【答案】1-<k ．【解析】因为当120x x <<时，12y y >，则可知图像经过二、四象限，所以10k +<，即1-<k ．【总结】考查反比例函数的图像性质．【习题7】若点(34)，是反比例函数221m m y x++=图像上一点，则此函数图像必经过点（） A .(34)-， B .(26)-， C .(43)-， D . (26)，【答案】D【解析】考查反比例函数图像上点的横坐标与纵坐标乘积为定值．【习题8】已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点，MA x ⊥轴于点A ，若 4AOMS=，则这个反比例函数的解析式是（）A ．8y x =；B ．8y x =-；C ．8y x =或8y x =-；D ．4y x =或4y x=-. 【答案】C【解析】过反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点作x 轴的垂线（或y 轴的垂线)构成的三角形的面积为k 21．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性．x ky -=6班假暑级年八12/ 14【习题9】已知122y y y =+，若1y 与(1)x +正比例，2y 与x 成反比例函数，且当1x =时，1y =-；当3x =-时，3y =，求y 与x 间的函数关系式．【答案】xx y 322+--=．【解析】设()11+=x k y ，x m y =2，则()xm x k y y y ++=+=1221 当1x =时，1y =-；当3x =-时，3y =，则⎪⎩⎪⎨⎧=---=+33414mk m k ，解得：⎩⎨⎧=-=31m k ．∴xx y 322+--=．【总结】本题主要考查求复合函数解析式的方法．【作业1】反比例函数ay x=的图像在第二、四象限，则a ________．【答案】0<a ．【解析】考查反比例函数()0<=k xky 图像在二、四象限．【作业2】当n =________时，函数224(3)n n y n x --=-是反比例函数．【答案】-1．【解析】1422-=--n n ，解：3=n 或1-=n ．∵03≠-n ，∴1-=n ．【总结】本题主要考查反比例函数的概念．【作业3】函数21(1)m y m x -=-是反比例函数，且图像经过第二、四象限，则m =________．【答案】0．【解析】112-=-m ，解0=m ．【总结】本题主要考查反比例函数的概念．【作业4】已知反比例函数13ky x-=，当k ________时，它的图像在第二、四象限，此时，在每个象限内，y 随x 的增大而________．【答案】31>k ；增大课后作业【解析】考查反比例函数()0<=k xky 图像性质．【作业5】已知长方形的面积为20平方厘米，它的一边长为x 厘米，求这个边的邻边长y （厘米）关于x （厘米）的函数解析式，并写出这个函数的定义域．【答案】()020>=x x y ．【解析】长方形的面积=长×宽．【总结】本题主要考查反比例函数与实际问题的结合．【作业6】反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ，，222(,)p x y ，若120x x <<，12y y >，则k ________0，图像经过第________象限．【答案】0>k ，一、三【解析】考查反比例函数()0>=k xky 图像性质．【作业7】在平面直角坐标系内，从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形，求函数解析式．【答案】x y 3=或xy 3-= 【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性．【作业8】（1）已知y 与2x -成反比例，当4x =时，3y =，求5x =时，y 的值；（2）已知y 与2x 成反比例，并当3x =时，2y =，求 1.5x =时，y 的值．【答案】（1）2；（2）8．【解析】（1）设2-=x k y ，当4x =时，3y =，则32=k ，解得：6=k ，则26-=x y ．当5x =时，2256=-=y ．（2）设2x k y =，当3x =时，2y =，则29=k，解得：18=k ，则218x y =．当 1.5x =时，21881.5y ==．【总结】本题主要考查函数解析式的求法．。

【沪科版】八年级上册数学第15章小结与复习PPT课件

一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对
称. 这条直线叫做对称轴.
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2
3.轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形
A
轴对称
A'
图形
B
A
C
B
C
C'
B'
区别
(1)轴对称图形是指( 一个 ) 具有特殊形状的图形, 只对( 一个 ) 图形而言; (2)对称轴(不一定) 只有一条如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有 ①②③ （填序号）.
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考点三等腰（等边）三角形的性质与判定
例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：
11
针对训练
1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?
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2.如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形．
A B
C
y x=1
A′ B′
C′
O
x
解：△A ′ B ′ C ′ 就是所求作的图形.
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考点二线段的垂直平分线
例2 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.

八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形(等腰三角形性质)说课稿 (新版)沪科版-(新版)沪

《等腰三角形》一、说教材分析：1．教材内容:本课是等腰三角形,本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用。

通过等腰三角形的特征反映在一个三角形中等边对等角关系，并且对轴对称图形特征的直观反映（三线合一）,对以后直角三角形和相似三角形学习起到相当重要的作用。

2、教学目标：(1)认知目标：要求学生掌握等腰三角形的特征和三线合一的特征，使学生会用等腰三角形的特征进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法；(2)能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力；使学生初步学会分析几何证明题的思路，从而提高学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力；(3)情感目标：通过亲自动手，发现“等腰三角形两底角相等”和“三线合一”特征，对学生进行数学美育教育。

3、教学重难点:(1)教学重点：等腰三角形两底角相等的特征是本课的重点。

(2)教学难点:等腰三角形“三线合一”特征的运用是本课的难点。

4、教具准备:为了使学生了解这堂课，本节课要求学生自制若干个不同等腰三角形和一般性三角形纸片模型。

二、说教学方法：由于八年级学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，以及八年级学生刚刚学习轴对称图形，对轴对称图形的分析相对比较好，再加上八年级学生思维的感官性，所以本课由学生通过翻折等腰三角形纸片去发现等腰三角形的两个特征,也为使课堂生动、有趣、高效，特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中,我通过实验观察，采用教具直观教学法，启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学。

教学过程中注意师生之间的情感交流，培养学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式,培养学生的数形结合的思想。

对于等腰三角形的“两底角相等”和“三线合一”这两个特征，通过让学生动手操作，让学生翻折不同的等腰三角形，如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形，以及一般三角形的模版，从而让学生逐步通过等腰三角形的轴对称变换探索出相关的特征。

沪教版七年级数学知识点总结(最新最全)

第九章整式第一节整式的概念9.1.2.3、字母表示数代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。

单独的数或字母也是代数式。

代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。

2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。

3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。

4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。

5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。

代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。

注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。

2、若带入的值是负数时，应添上括号。

3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”.4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。

9.4整式1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数6、整式：单项式和多项式统称为整式。

9.5合并同类项1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

【上海初中数学讲义】预初(上)第10讲：期中复习教师版

第10讲期中复习【例题1】整数与整除的概念辨析（含自然数、正整数、负整数、奇数、偶数、除尽）1. 在这些数中，自然数有 .2. 在18，4，6这三个数中，下列说法正确的个数是（）（1）18能整除6,6能被18整除.（2）因为25.4418=÷，所以我们说4能除尽18 . （3）因为1836=⨯，所以18是倍数，6是因数. （4）因为5.146=÷，所以我们说6是4的1.5倍.A 、1B 、2C 、3D 、4 3. 如果7535=÷，那么能整除 . 4. 下列说法正确的是（）A 、奇数都是素数B 、偶数都是合数C 、合数不都是偶数D 、素数都是奇数【例题2】素数与合数、因数和倍数概念辨析1. 有一个三位数，百位上的数字是最小的合数，十位上数字是最小的自然数，个位上的数字是最小的素数，这个三位数是 .2. 整数51的因数有（）A 、1个B 、2个C 、4个D 、无数个 3. 下列说法正确的是（）A 、9能被0.3整除B 、所有的偶数都是合数C 、在正整数中，除了素数就是合数D 、任何合数都至少有三个因数【例题3】能被2、3、5整除的数1. 三位数__6__能同时被2、3和5整除，则这个三位数最大的是______________.【例题4】分解素因数的计算与应用 1. 把36分解素因数：______________. 2. 48和36共有的素因数是_____________.【例题5】最大公因数与最小公倍数的计算与应用 1. 9和36的最大公因数是________.2. 332⨯⨯=A ，52⨯=B ，A 、B 的最小公倍数是______________.3. 已知a 是b 的倍数，b 和c 是互素的，那么a 、b 、c 的最小公倍数是 .4. 一块正方形布料，它既可以正好裁剪成边长是8厘米的方巾，也可以正好裁剪成边长是10厘米的方巾，都没有剩余。

这块正方形布料的边长至少是……（）A 、2厘米B 、20厘米C 、40厘米D 、80厘米 5. 6年级1班大约50人左右，排座位时老师发现刚好可以排成6排或8排（每排人数相等），则6年级1班的学生人数为__________人.6. 有一筐橘子，个数超过30个，而不足40个，三三数剩2，五五数也剩2，问：这筐橘子到底一共有个.7. 用短除法求72和90的最大公因数和最小公倍数.8. 已知456A =⨯⨯，589B =⨯⨯，求,A B 的最小公倍数与最大公因数.9. 两个数互素，它们的最小公倍数是36，求这两个数.10. 有一个长方形的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。

沪教版(五四制)七年级第一学期10.2分式的综合运算讲义

分式的综合运算【知识要点】1．分式的运算法则同分母分式加减法：异分母分式加减法：2．分式的乘除法3．分式的乘方：4．常用的公式变形：注：分式的计算中，分数线具有括号的作用！【典型例题】例1 计算：（1）2222232234xy y x x y y x xy y x +--++；（2）n m m m n n m n n m ---+-+22 例2 计算：（1）11122-+--+a a a a a （2）111122----÷-a a a a a a （3）aa a a a 21)242(22+⋅--- （4）x x x x x x x 11121222--+-÷+- （5）)4(2)12(22-⋅-+-⋅x x x x x x （6）2211xy x y x y x y ⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭（7）111112-+-⋅-+a a a a （8）⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x 例3 化简：（1）)1()1111(2-⋅+--x x x （2）a a a a a a 4)22(2-⋅+-- （3）22a ab ac a ab +--·2222222a b c ab a ab b+--++÷222222a bc b c a b +---. 例4 已知：311=-b a ，求分式bab a b ab a ---+232的值：例5 已知：⎩⎨⎧==+5.15.3ab b a ，求2222434ab b a b ab a --+的值；例6 计算()()()()()()()20112010132121111+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++x x x x x x x x 【大展身手】一、填空题：1. 计算213122x x x---- 的结果是 . 2. 若222222M xy y x y x y x y x y--=+--+ ，则M= . 3. 化简：3321223a a b b b a-÷⋅＝ . 4. 各分式121,1,11222++---x x x x x x 的最简公分母是 .5. 6．已知13x x +=，则代数式221x x +的值为 7．已知2)1(,21x xx x +=-则的值为__________. 8．+-=+-+-1ba b ab a 9．化简：()444222+--⋅-a a a a ＝ 10．观察下列各式：212212+=⨯，323323+=⨯；434434+=⨯；545545+=⨯；…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律为 .二、选择题11．计算：111x x x+--，正确的结果是（） A ．1-B ．0C ．2D ．1 12．与c a b-+相等的式子是（） A.c a b + B.c b a -- C.c a b -- D.c a b--13．化简mm -+-21442的结果是（） A ．21+-m B ．21+m C ．462-+m m D ．21+-m 14．计算：329632-÷--+m m m m 的结果为( ) A ．1B ．3m 3m +-C ．3m 3m -+D ．3m m 3+ 15．已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ．215 D ．27- 16．已知分式xyy x -+1的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ，则a 、b 关系（）家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

沪教版初一上数学详细讲义

( x 3) 、 ( x 4)
4
由长方形对边长相等，可得 2( x 3) ( x 2) x ( x 1) 解得： x 7 所以，长方形的长为 7 (7 1) 13 ，宽为 7 (7 3) 11 答：所求长方形的长为 13，宽为 11。【例6】我国政府为解决人民群众看病难，决定下调药品价格。某种药品在 1999 年涨价 30% 后，2001 年降价 70%至 a 元，则这种药品在 1999 年涨价前的价格为元。【解答】因为该药品经过两次调价后的价格是 a 元，而所求的问题是第一次调价前的价格，可以用逆向思维的方法来解：因为 2001 年降价 70%至 a 元，所以降价前的价格应为
m 2n 和 n 面积为 nm 2n ，而底面积为 m 2n ，所以其表面积的公式为：
2
S m 2n 4nm 2n
2
解法二：同一解法得 V nm 2n ，
2
无盖长方体的表面的实质可看成一个大正方形剪去四个小正方形，所以表面积等于大正方形的面积与四个小正方形的面积之差，即 S m 4n 。
2
周长 2.5b 2 2 b 2.5 (米)
【点评】数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号前面。【例2】请用字母表示已学过的四则运算律，如加法结合律等。【解答】加法交换律： a b b a 加法结合律： ( a b) c a (b c) 乘法交换律： a b b a
2 2பைடு நூலகம்
③ 4x 1 7 ⑧2 6
3
④b
⑤0
2 x 3
⑦ 4a 3 0
⑨ 8m 2n 0

沪教版九年级数学上册同步精品讲义

相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．知识结构1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同．（选填“一定”或“不一定”或“一定不”）【难度】★【答案】一定，不一定．【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论．【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形．【例2】在下边的方格图中，分别画出和四边形的一个相似图形．【难度】★【答案】略．【解析】答案不唯一．如图是其中一种．【总结】考查对于相似图形定义的把握，可以采用全等是特殊的相似画图，若要画比例选段，将各边长分别在横向和纵向等比例分解即可．ABC ABCD 模块一：相似形的概念及性质知识精讲例题解析【例3】下列给出的图形中，不是相似形的是（）（A）由同一张底片印出来大小不同的照片（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像（D）五星红旗上的大五角星和小五角星【难度】★【答案】C【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形．【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同．【例4】下列说法不一定正确的是（）100（A）所有的等边三角形都相似（B）有一个角是的等腰三角形都相似（C）所有等腰直角三角形都相似（D）所有的直角三角形都相似【难度】★★【答案】D【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同．【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似．【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有（）（1）两个等腰三角形；（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形；（4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形；（7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆．（A）3组（B）4组（C）5组（D）6组【难度】★★【答案】B【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．【例6】已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数．【难度】★★【答案】．【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．有，将代入，求得：，根据四边形内角和，可求得：，相似图形对应角相等可知．【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．【例7】如图，和是相似形，顶点、、分别与点、、对应，已知，，，，，．求、的长和的度数．【难度】★★【答案】，．【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．有，将代入，可求得，根据三角形内角和为180°，可求得：，根据相似图形对应角相等可知．【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．ABCD ''''A B C D A 'A B 'B C 'C D 'D 4BC = 3.6CD ='' 3.3A B =''3B C =75B ∠=︒105C ∠=︒95D ∠=︒AB ''C D 'A ∠'''4.4 2.785ABCD A ==∠=︒，，''''''43AB CD BC A B C D B C ===''3.6 3.3CD A B ==，''4.4 2.7AB C D ==，360360751059585A B CD ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒'85A A ∠=∠=︒ABC ∆ADE ∆A B C A D E 35A ∠=︒65B ∠=︒ 1.2AE = 2.5AB =2AC =1ED =AD BC AED ∠51.53AD BC ==，80AED ∠=︒1.2325AD AE DE AB AC BC ==== 2.51AB ED ==，51.53AD BC ==，180180356580C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒80AED C ∠=∠=︒BC【例8】已知的三边长分别是、、，与其相似的的最大边长是，求的最小边长．【难度】★★【答案】最小边长为9．【解析】．【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边．【例9】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为、、，乙三角形其中一边的长为，求乙三角形的另外两边的长．【难度】★★★【答案】3，4或，或1，．【解析】分类讨论．（1）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为；（2）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为6的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为；（3）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为．【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代不明确的，需进行分类讨论．【例10】如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式．【难度】★★★【答案】．【解析】根据矩形与矩形相似，可对应得，因此，进而可求得：．ABC ∆345'''A B C ∆15'''A B C ∆15395⨯=46824383322142=11636422⨯=⨯=，2163=1418483333⨯=⨯=，2184=113416442⨯=⨯=，ABCD 2AB CD =10EF =EF M EM MF EMNH MFGN MFGN ABCD MA FB GC ND MN x =EMNH S x ()221005S x x x =-+<<MFGN ABCD 222MF GF MN x ===102EM x =-()2102210S MN EM x x x x =⋅=-=-+N C B A D EH GFM【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果．1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；如果（或），那么就说、、、成比例．2、比例的性质（1）基本性质：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性质：如果，那么；如果，那么．（3）等比性质：如果，那么．【例11】下列各组线段中，成比例的一组是（）（A ），，，（B ），，，（C ），，，（D ），，，【难度】★【答案】A【解析】只有A 选项满足可知其成比例．a b a b :a b a b::a b c d =a cb d=a b c d a cb d =ad bc =a c bd =b d a c =a b c d =c d a b=a c b d =a b c db d ++=a cb d =a bc db d--=a c kb d ==ac a ck b d b d+===+23a =5b =32c =15d =8a =0.05b =0.6c =10d =3a =4b =5c =6d =9a =6b =3c =4d =ac bd =模块二：比例的性质知识精讲例题解析【总结】考查成比例的定义，根据比例的基本性质即可确定．【例12】（1的第四比例项；（2）若，，的第四比例项是，求．【难度】★【答案】（1；（2）．【解析】（1）根据比例的基本性质可得第四比例项；（2）依题意有，根据比例的基本性质，整理得，解得．【总结】考查比例的基本性质和比例中相关定义．【例13】（1）是和；（2）是和的比例中项，则；（3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由题意可知；（2）由题意可知，可解得；（3）、【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．1x +x 4x +4x 2±=()()1:4:4x x x +=+()()441x x x +=+24x =2x =±6a b =b 94b =6a =16b =a b 3566±26ab =6=135666=-=29436b =⨯=6b =±a b =【例14】（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根据比例的合比性，；（2）由，可得，原式=；（3）由，可得，原式=．【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1”再准确计算．【例15】（1）已知：，求的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，求的值．【难度】★★【答案】（1）；（2）26；（3）11．【解析】（1）令，得，原式=；（2）令，得，原式=；（3）令，得，原式=．【总结】考查换元思想，也可采用【例14】确定单位“1”的思想．23x y =x yy -=45a b =2a b a b+=-250x y -=()()3:43x y x y +-=13-13-17:1423133x y y --==-45a b =45a b =4251345b bb b ⨯+=--250x y -=52x y =553:4317:1422y y y y ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23a b a -=243a ba b-+357x y z==332y z y z +-32x y z ==22x y zx y z-++-1523a b k a -==3a k b k ==，2341335k k k k ⨯-=⨯+357x y z k ===357x k y k z k ===，，537263527k kk k+⨯=⨯-⨯32x y z k ===32k k x y z k ===，，23211232k kkk k k-+=⨯+-【例16】设线段、、满足，求、、的值．【难度】★★【答案】．【解析】由（1）可得，再结合（2），可得：，由此可得到，结合（2）式可解得．【总结】考查比例的等比性质的应用．【例17】设，求的值．【难度】★★【答案】0．【解析】根据分式基本性质，得，令，则有，，，三式相加，即得．【总结】考查比例的性质的综合应用．【例18】若，求的值．【难度】★★★【答案】6或．【解析】（1）时，根据比例的等比性；x y z 23418x y z x y zx y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩x y z 2610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩()2234234x y z x y z x y z +++++===++18x y z ++=21842349x y z x y z +++⨯====81216x y z x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩2610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩()()23a b b c c aa b b c c a +++==---895a b c ++()()()()()()632666a b b c c a a b b c c a +++==---()()()()()()632666a b b c c a k a b b c c a +++===---()()66a b k a b +=-()()36b c k b c +=-()()26c a k c a +=-8950a b c ++=333333x y y z z xm z x y+++===m 3-0x y z ++≠3333336x y y z z xm z x y+++++==++（2）时，可得，则．【总结】考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．【例19】已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？【难度】★★★【答案】三、四．【解析】（1）时，根据比例的等比性，此时一次函数经过一、三、四象限；（2）时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限；综上所述，函数必经过三、四象限．【总结】考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．1、比例线段的概念对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．2、黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，0x y z ++=x y z +=-()333x y zm z z+-===-a b ck b c a c a b===+++3y kx =-0a b c ++≠()122a b c k a b c ++==++132y x =-0a b c ++=b c a +=-1ak a==--3y x =--a b c d ::a b c d =a cb d=a b c d P AB AP PB AP PB >AP AB PB P AB 模块三：比例线段知识精讲，称为黄金分割数，简称黄金数．【例20】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地的实际距离是．【难度】★【答案】．【解析】实际距离=图上距离÷比例尺，可知两地实际距离为，注意单位的转化．【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化．【例21】东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图的比例尺是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【难度】★【答案】B【解析】比例尺=图上距离÷实际距离，比例尺=．【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算．【例22】（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，，则．【难度】★【答案】（1）2:15；（2）4:1；（3）．0.618AP AB =≈1:40000A B 24A B 9.6km 24400009600009.6cm km ⨯==32.5 6.51:51:5000001:5000000500000:16.5132.5100000500000=⨯0.1AB =0.75CD =:AB CD =1AB m =25CD cm =:AB CD =AB m =CD n =():AB AB CD +=():m m n +例题解析ADE BFC【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】考查比例的化简计算，注意比例中的项带有单位时，注意单位的统一．【例23】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为厘米，则它的宽约为．（精确到百分位）【难度】★【答案】．【解析】这本书的宽约为．【总结】考查黄金比的定义及其相关比值．【例24】如图，已知在四边形中，点、分别在、上，．求证：（1）；（2）．【难度】★【答案】略．【解析】证明：（1），．根据比例的合比性质，，．根据比例的合比性质，，即．根据比例的合比性质，．【总结】考查比例的合比性质的应用．【例25】如果和面积相等，且，那么边与边上的高的比为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【难度】★【答案】B【解析】面积相等的条件下，高与底边成反比，可知高之比为．0.1:0.752:15=1:25100:254:1m cm cm cm ==():m m n +2012.36cm 2012.36cm ≈ABCD E F AB CD AB DCAE DF=AB DC EB FC =AB DC AB DCEB FC EB FC+-=+-AB DCAE DF= AE EB DF FCAE DF++∴=EB FC AE DF ∴=AE DFEB FC∴=AE EB DF FC EB FC ++∴=AB DCEB FC=AB DC AB DC AB DC EB FC EB FC EB FC+-===+-ABC ∆'''A B C ∆:''9:25AB A B =AB ''A B 9:2525:93:55:325:9【总结】考查成反比的相关计算．【例26】已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．【难度】★★【答案】或或．【解析】设添加的线段长度为，将当作一个比例外项，根据比例的基本性质有：（1）对应的外项是时，；（2）对应的外项是时，；（3）对应的外项是时，【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论．【例27】在中，点、分别在边、上，且，则，若的周长为厘米，则的周长为厘米．【难度】★★【答案】（1）3；（2）120．【解析】（1）由，可得，即，故，；（2）根据比例的等比性，，即，代入求得．【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用．3cm 6cm 9cm 18cm 4.5cm 2cm acm a 3cm 69318a cm =⨯÷=6cm 396 4.5a cm =⨯÷=9cm 6392a cm=⨯÷=ABC ∆D E AB AC 34AD AE DE AB AC BC ===AEEC=ADE ∆90ABC ∆34AE AC =43AC AE =43AE EC AE +=13EC AE =3AE EC=34AD AE DE AD AE DE AB AC BC AB AC BC ++====++34ADE ABC C C = 120ABC C cm =A BDO【例28】如图，在梯形中，//，对角线、相交于点．（1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？（2）求证：．【难度】★★【答案】（1），，，同底等高，减去公共部分面积相等；（2）略．【解析】（1），，同底等高，故，即；（2）证明：和同高，．同理，又，．【总结】考查梯形中的面积相等，基本图形面积的计算，等高条件下面积之比等于其高之比．【例29】如图，在中，，垂足为，是边上的一点，，垂足为，，求的值．【难度】★★【答案】．【解析】，．又，，//．，．即，ABCD AD BC AC BD O AO DOCO BO =ABD ACD S S = ABC BCD S S = ABO CDO S S = ABD ACD S S = ABC BCD S S = ABD AOD ACD AOD S S S S -=- ABO CDO S S = AOD AOB AOD AOB S DOS BO∴= AOD COD S AO S CO = ABO CDO S S = ∴AO DO CO BO=ABC ∆BD AC ⊥D E BC EF AC ⊥F :2:3ABD ABED S S ∆=四边形:AD AF :2:3AD AF = :2:3ABD ABED S S ∆=四边形:2:1ADB EDB S S ∴= BD AC ⊥EF AC ⊥BD ∴EF BDF EDB S S ∴= :1:2BDF ADB S S ∴= ()():1:2FD BD AD BD ⋅⋅=A BCDEF．，即．【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比．【例30】已知线段的长度为，点P 在线段上，，求线段的长．【难度】★★【答案】．【解析】根据题意，即有，解得，点是黄金分割点．【总结】考查黄金分割点的定义．【例31】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．【难度】★★【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据黄金分割点定义，且，可知，此时；（2），故或．【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．【例32】如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长．【难度】★★【答案】．:1:2FD AD ∴=()():2:21AD AD FD ∴+=+:2:3AD AF =ABl PB APAP AB=AP AP =l AP AP AP l -=AP =P AB P AB AP BP >6AB =BP P AB 1AB =AP (9BP cm =-2AP =1AP =-AP BP >AP AB =(69BP AB cm ===-2AP AB ==1AP AB =-80AB =A B C B D A CD ()160cm A DCBA A CDDF NP【解析】根据黄金分割点定义，知，故，，得．【总结】考查线段的黄金分割点有两个．【例33】如图，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中项，，求的长．【难度】★★【答案】2．【解析】由，即，可得，代入即得．【总结】考查黄金比的综合应用．【例34】如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上．（1）求线段、的长；（2）求证：；（3）请指出图中的黄金分割点．【难度】★★★【答案】（1），；（2）略；（3）是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点【解析】（1）是的中点，，可知，根据勾股定理得：则，（2）证明：，即证；（3）根据定义可知是线段的黄金分割点，类似的，我们可以得到，AC AB=1AD AB AB ⎛== ⎝)2CD AC AD AB AB =-==CD =()160cm ABCD ABMN MN BC CM 3CM =-AD 22MN BC CM BM =⋅=()2BC CM BC CM ⋅=-CM =2AD BC ==2AB ABCD AB P PD BA F PF PD =AF AMEF M AD AM DM 2AM AD DM =⋅1AM =-3DM =-M AD A BF P AB 2AB =1AP =PD =PF PD ==1AM AF PF AP ==-=-3DM AD AM =-=-)(221623AM AD DM =-=-=⨯=⋅M AD 24AB BF AF =⋅=A A CDNM可知是线段的黄金分割点．【总结】考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割．【习题1】对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）（A ）图形中线段的长度与角的大小都保持不变（B ）图形中线段的长度与角的大小都会改变（C ）图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变（D ）图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变【难度】★ 【答案】D【解析】根据相似形的定义，在缩放的过程中，图形始终保持与原图形相似，可知其线段长度可以改变，角度保持不变．【总结】考查相似的定义．【习题2】在下图中，画出四边形的相似四边形，使．【难度】★ 【答案】略【解析】如图即为所示．【总结】注意把握好相似图形的定义，形状完全相同，各对应边比例相等，在不能计算的情况下将图形分别在横向和纵向进行分解即可．A BF ABCD 1111ABCD 11:1:2A B AB 随堂检测【习题3】已知：、、、是四条线段，它们的长度分别是，，，，它们是不是成比例线段？【难度】★【答案】是【解析】将线段长度单位都转化为，，由，可知线段、、、是成比例线段．【总结】讨论成比例线段时要注意单位的统一性．【习题4】已知甲、乙两地之间的距离为千米，画在一张地图上的距离为厘米，那么在这张地图上量得的距离为厘米的、两地的实际距离为千米．【难度】★【答案】4．【解析】同一张地图上比例尺相等，则有，可得．【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化应用．【习题5】已知点是边上一点，且与是相似形，点、、分别与点、、对应，，求的值．【难度】★★【答案】．a b c d 1a mm =0.8b cm =0.02c cm =0.4d dm =mm 18a mm b mm ==，，0.240c mm d mm ==，::a c d b =a b c d 1052A B 5210cm cmkm AB=4AB km =D BC ABC ∆DAC ∆A B C D A C :3:2CB CA =:CD DB 4:5【解析】依题意可得，则，，，故．【总结】考查相似形的对应关系．【习题6】若，则．【难度】★★【答案】．【解析】根据比例的基本性质，，去括号得，移项，得，故．【总结】考查比例的基本性质．【习题7】直线上顺次有四点、、、，且，则；．【难度】★★【答案】，．【解析】，得，，得，即得，故，则，．【总结】学会根据比例关系进行线段比例的转化．【习题8】点是线段的黄金分割点，求的值．【难度】★★★．32CA CB CD CA ==23CD CA =32CB CA =56DB CB CD CA =-=25::4:536CD DB CA CA ==()()::a b x y x y =+-:x y =()():a b a b +-()()b x y a x y +=-bx by ax ay +=-()()a b x a b y -=+:x y =()():a b a b +-l A B C D 3AB AD BC DC ==BCAD=ABCD=16323AB BC =3AB BC =3ADDC=34AD DC DC AB BC DC BC ==++=+2DC BC =6AD BC =BC AD =16AB CD =32P AB APAB【解析】根据黄金分割点的定义，，即，两边同时除以，可解得，类似的可得．【总结】注意线段的黄金分割点有两个．【作业1】举出日常生活中相似的图形的实例．【难度】★【答案】答案不唯一．例：镜子中的虚像和人体的实像．【解析】考查相似图形的特征是形状完全相同的图形．【总结】考查相似图形的特征，注意多观察．【作业2】若，则．【难度】★【答案】2．【解析】根据，由比例的基本性质，则有，整理得：，故．【总结】考查比例的基本性质．【作业3】下列各组四边形中是相似多边形的是（）（A ）一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形（B ）有一个内角为的两个菱形（C ）边长分别为厘米和厘米的两个菱形（D ）两个高相等的等腰梯形2AP BP AB =⋅()2AP AB AP AB =-⋅2AB AP AB 2BP AP BC =⋅AP AB ()()2:321:2x y x y -+=:2x y =()()2:321:2x y x y -+=()3222x y x y +=-4x y =:24:22x y y y ==253630︒34课后作业【难度】★★【答案】B【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，可知B 选项正确；A 选项边不对应成比例，C 选项菱形有不稳定性，形状不固定，D 选项等腰梯形形状不固定．【总结】考查相似图形的特征．【作业4】已知的三边长分别是、、，与其相似的的最小边长是，求的周长．【难度】★★【答案】45．【解析】两三角形对应相似，则必有最短边对应最短边，最长边对应最长边，即中边长为4的边对应中边长为12的边，根据比例的等比性，可以得到，由，可得．【总结】实际上，根据比例的等比性可知相似三角形周长比等于对应边之比．【作业5】，，，求线段、、的第四比例项．【难度】★★【答案】．【解析】将单位都转化为，则，根据比例的基本性质，，可知线段、、的第四比例项．【总结】成比例线段问题中注意单位的统一．【作业6】舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走米．【难度】★★【答案】或．ABC ∆456'''A B C∆12'''A B C ∆ABC ∆'''A B C ∆'''41123ABC A B C C C ∆∆==45615ABC C ∆=++='''345A B C ABC C C ∆∆==7a cm =0.08b m = 1.5c dm =a b c 1207cm cm 815b cm c cm ==，ad bc =a b c 1207bc d cm a ==AB 12AB A AB (18m -()5m -；另一个比例则为，主持人需走的路程为．【总结】注意线段的黄金分割点有两个，与黄金比是不同的含义．【作业7】若，求直线经过的象限．【难度】★★★【答案】一、二、三或二、三、四．【解析】（1）时，根据比例的等比性，此时一次函数经过一、二、三象限；（2）时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限．【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．【作业8】已知、、是非零实数，且满足,求的值．【难度】★★★【答案】8或．【解析】设．（1）当时，根据比例的等比性，此时有，可得，代入所求代数式，可得：；（2）当时，可得，，，()126m =-1=(1218m =-222222b c a c a bk a b c+++===y kx k =+0a b c ++≠()44a b c k a b c++==++44y x =+0a b c ++=b c a +=-()222b c ak aa+-===-22y x =--a b c a b c a b c a b cc b a+--+-++==()()()a b b c c a abc+++1-a b c a b c a b ck c b a+--++-===0a b c ++≠1a b ck a b c++==++1a b c a b c a b cc b a+--++-===222a b c a c b b c a +=+=+=，，()()()2228a b b c c a c a b abc abc +++⋅⋅==0a b c ++=b c a +=-b c a +=-a c b +=-代入所求代数式，可得：．【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论．三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“”字型和“”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么()()()()()()1a b b c c a c a b abcabc+++-⋅-⋅-==-A X ABC ∆//l BC AB AC D E AD DB =三角形一边的平行线（一）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线性质定理知识精讲lDE【例1】如图，在中，，，，，求．【难度】★【答案】4．【解析】，代入可得：．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下米宽的亮区（如图）．已知亮区一边到窗下的墙角距离米，窗口米，求窗口底边离地面的高．【难度】★ 【答案】5.8m ．【解析】射入的光线平行，则有，代入可求得：，．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例3】在中，点、分别在、的反向延长线上，，若，厘米，则．【难度】★ABC ∆15AB =10AC =//DE BC 6BD =CE BD CEAB AC ==4CE 2.78.7CE = 1.8AB =BC AB DEAC CE=5.8AC m =4BC AC AB m =-=ABC ∆D E AB AC //DE BC :2:3AD AB =12EC =AC =例题解析ABCD EAB CD EF【答案】．【解析】由，可得，故，代入求得．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．【例4】如图在中，平分，，厘米，，求的长．【难度】★【答案】．【解析】，．由，代入可求得：．又，．又平分，．，．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．【例5】如图，已知在中，，，，，，求四边形的周长．【难度】★【答案】16．【解析】，．又，，，四边形为平行四边形．代入可求得：，．7.2cm //DE BC 23AE AD AC AB ==53EC AC =7.2AC cm =ABC ∆CD ACB ∠//DE BC 5AC =3:5ADAB=DE 2cm //DE BC 35AE AD AC AB ∴==5AC cm =32AE cm CE cm ==， //DE BC EDC DCB ∴∠=∠CD ACB ∠ECD DCB ∴∠=∠ECD EDC ∴∠=∠2DE CE cm ∴==ABC ∆//DE BC //EF AB 2AE CE =6AB =9BC =BDEF 2AE CE =2133AE CE AC AC ∴==，//DE BC //EF AB 2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，BDEF 62DE EF ==，()2=16BDEF C DE EF ∴=+四边形ABCD EA B CDEF 【例6】如图，在中，，，点在直线上，过点作交直线与点．如果，求的长．【难度】★★【答案】或．【解析】（1）在线段上时，，由，可得：，代入可得：；（2）在线段延长线上时，，由，可得：，代入可得：；（3）在线段反向延长线上的情况不存在．【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现．【例7】如图，在中，，于点，点是中点，过点作的垂线交于点，，则．【难度】★★【答案】．【解析】由，，即得：，可得：．又，，//，．ABC ∆10AB =8AC =D AB D //DE BC AC E 4BD =AE 245565D AB 6AD AB BD =-=//DE BC AD AEAB AC=245AE =D AB 14AD AB BD =+=//DE BC AD AE AB AC =565AE =D AB ABC ∆AB AC >AD BC ⊥D F BC F BCAB E :3:2BD DC =:BE EA =5:1:3:2BD DC =BF FC =32BF FD BF FD +=-51BF FD =AD BC ⊥EF BC ⊥EF ∴AD ::5:1BE EA BF FD ∴==ABC【例8】如图，已知，，，，，求、的长．【难度】★★【答案】，．【解析】由，．代入可得：．同时根据比例的合比性，可得：，即，又根据平行，可得：，．代入求得：．【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．【例9】如图，已知是边长为2的等边三角形，，，求的长．【难度】★★【答案】．【解析】∵和为等高三角形，故，由，，为等边三角形，可知也为等边三角形，////AB CD EF 14OA =16AC =8CE =12BD =OB DF 212OB =6DF =////AB CD EF OA OBAC BD∴=141221162OB ⨯==OA AC OB BD AC BD ++=OC ODAC BD=OC ODCE DF=AC BDCE DF∴=812616DF ⨯==ABC ∆//DE BC :3:4ECD BCD S S ∆∆=EC 12ECD BCD 34ECD BCD S DE BC S == //DE BC 2BC =ABC ∆ADE AB C D EFOED ABCABCD E FG∴，∴．【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．【例10】如图，为对角线上任意一点．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：四边形为平行四边形，，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有，．【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例11】如图，在平行四边形中，的延长线上有一点，交于点，交于点．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：四边形为平行四边形，，．32DE =31222EC AC AE =-=-=P ABCD BD PQ PI PR PS = ABCD ////AB CD AD BC ∴，////RB DI SD BQ ∴，PI PD PSPR PB PQ==PQ PI PR PS ∴⋅=⋅X ABCD CD E BE AC F AD G 2BF FG EF = ABCD ////AB CD AD BC ∴，////AB CE AG BC ∴，PQRS BCDI根据三角形一边平行线的性质定理，则有：，．【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例12】如图，点在线段上，和都是等边三角形．求证：（1）；（2）．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：（1）和是等边三角形，．∵点在线段上，．，．（2）同（1）易证得，则有．和是等边三角形，，，．【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例13】如图，的面积是，点、、（与、、是不同的点）分别位于、、各边上，而且，，如果的面积和四边形的面积相等，求的面积．【难度】★★★【答案】6．EF CF BFBF AF FG ==∴2BF FG EF = X C AB AMC ∆CBN ∆MD AMDC CN=MD EB ME DC = AMC ∆CBN ∆60ACM NCBAMC ∴∠=∠=∠=︒C AB 18060MCN ACM NCB AMC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠//AM CN ∴∴MD AMDC CN=//CM BN ME MCEB NB=AMC ∆CBN ∆MC AM NB CN ∴==，MD MEDC EB∴=∴MD EB ME DC = X ABC ∆10D E F A B C AB BC CA 2AD =3DB =ABE ∆DBEF ABE ∆ACBDENM【解析】连结，由，可得，两三角形同底，可得两三角形等高，故，根据平行于三角形一边的直线性质定理，可得：，故，求得．【总结】注意等高（同底）三角形面积比等于底边（高）之比．【例14】如图，在中，，，在边上有一动点，过作与相交于于点，联结，设，的面积为．（1）求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）点是否存在这样的位置，使的面积是的面积的？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）过点作于点．由，可得：，又，故．又，故，代入可得，故．（2）过点作于点．由，故，∵的面积是面积的，∴，解得：，即．DE ABE DBEF S S = 四边形ADF AEF S S = //DE AC 35BD BE AB BC ==35ABE ABC S BE S BC == 3=10=65ABE S ⨯ ABC ∆6BC =AC =45C ∠=︒BC P P //PD AB AC D AP BP x =APD ∆y y x x P APD ∆APB ∆23BP ()212063y x x x =-+<<2BP =P PE AC ⊥E BP x =6PC x =-45C ∠=︒)6PE CE x ===-//PD AB BP AD BC AC=AD x =)()21116206223y PE AD x x x x =⋅=-=-+<<A AF BC ⊥F 45C AC ∠=︒=，4AF CF ==122ABP S AF BP x =⋅= APD ∆APB ∆232122233y x x x =-+=⨯2x =2BP =。

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第15讲期末复习-运算类
一、分解素因数、最大公因数与最小公倍数
（1）当两个数成倍数关系时，较小的那个数就是他们的最大公因数.它们的最小公倍数就是其中较大的那个数.
（2）当几个数彼此互素时，他们的公因数只有1，所以最大公因数就是1.它们的最小公倍数就是它们的乘积.
最大公因数和最小公倍数的性质：
（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互素的.
（2）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.
二、三连比的性质：
1．如果::a b m n =，::b c n k =，那么::::a b c m n k =.
2．如果0k ≠，那么::::a b c a b c ak bk ck k k k
==
==. 三、比例的基本性质：如果::a b c d =或
a c
b d =，那么ad b
c =；反之，如果a ，b ，c ，
d 都不为零，ad bc =，那么a :b =c :d 或a c b d
=.
【例题1】填空
1. 一个数x 加上127，它们的和既是2的倍数，又有因数5，x 最小是 .
2. 已知：532⨯⨯=A ，那么A 所有的因数共有个
3. 甲数=322⨯⨯，乙数=332⨯⨯，甲数与乙数的最大公因数是____________.
4. 最小的合数和最小的素数的最小公倍数是______________.
5. 两个合数是互素数，它们的最小公倍数是36，这样的数有________________________.
【例题2】填空
1. 108千克花生可榨油96千克,平均一千克花生能榨油____千克.(结果用最简分数表示)
2. 一学校四月份用水150吨,比三月份节约了30吨,四月份用水是三月份的__________
5. 一块试验田的
的 .
6. 已知b a 5
432=，则a ：b =_____________ 7. 在比例式中，两个外项互为倒数，其中一个内项是321
，则另一个内项是______
【例题3】算一算.
（1）75.18741375.2-+-
（2）741391351⨯÷
（3）81367941216
+⨯÷ （4）%7572207152⨯+÷
【例题4】列式计算
1. 一个数减去611的差同722与313的和相等，这个数是多少？
2.
【例题5】求::a b c .
（1） 11:0.4:0.3::52a b b c ==
，（2）2:34:54:33:2a b b c ==，
4914171417与
的差的是多少？
（3）1:0.2::2:3%3a b b c ==，
（4）==345
a b c
【例题6】比例 1. 已知)12(:4)1(:5-=+x x ，求x
2. 已知：5323
x y x y +=-，求:x y 的值.
【练习1】填空：
1. 已知面积是224cm 长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，那么这个长方形的周长________.
2. 两个素因素的积是143，则他们的和是 .
3. 因为233m =⨯⨯，所以m 的素因素有个，m 的因数有个.
4. 如果A 和B 的最大公因数是15，且23A k =⨯⨯，37B k =⨯⨯，那么k = .
5. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公因数是，最小公倍数是 .
6. 已知某学校六年级学生超过100人，不足140人，将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人，那么六年级学生有人.
【练习2】填空
1. 己知3455
x <<,则x 可以是_______, x 的取值可以有_____个. 2. 一套西服240元，其中裤子的价钱是上衣的
53，上衣的价格是元 3. 10克盐溶入45克水中，则盐与盐水重量的比是________
4. 今年的房价比去年同期上涨了40%,今年的房价是去年房价的 %
5. 大小两个齿轮，大齿轮每分钟转50圈，小齿轮每分钟75圈，由大小齿轮各转一圈所需时间的比是_________
【练习3】计算:
（1）
（2）16365983⨯÷-
（3）3087175)1.216153
(÷+⨯- （4）6031415150⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-.
【练习4】19
5与7315的和，减去415所得的差比某数大215
，求该数.
【练习5】求::a b c .
（1）
11:1:2:2:323a b b c ==，（2）83:8.0:=b a , 3
11:2.1:=c b
【练习6】解比例方程：(2):(1)12:9x x ++=
1871-499⨯÷（）
【练习1】填空：
1. 用0、1、2三个数字组成一个三位数，在这些三位数中，所有同时能被2、5整除的三位数是．
2. 分解素因数：45＝．
3. 12与18的最小公倍数是 .
4. 0.6的倒数是．
5. 一包糖重7
5公斤，平均分给3个人，每人可以得到公斤． 6. 正整数a 取时，
7a 是假分数且9a 是真分数． 7. 比较大小：87________6
5.（填“＞”或“＜”） 8. 18分：1.2时=__________.
【练习2】计算
（1）30193)252532(÷÷-÷
（2）
（3）（4）5122.2755723512+⨯+⨯
【练习3】已知：11:0.2:0.3::43
x y y z ==
，，求::x y z .
【练习4】已知：x 5∶3＝4
11∶5，求x 的值．
【练习5】一个数减去52
6，再加上213，等于132.求这个数.
5112.5124662--+11121(3)
(2)12178÷⨯
【例题精讲】
【例题1】（1）3 （2）8 （3）6 （4）4 （5）49和
【例题2】（1）98 （2）56 （3）421 （4）6:5 （5）35
【例题3】（1）114 （2）117 （3）1 （4）2542
【例题4】（1）28542
（2）317 【例题5】（1）8:6:15 （2）54:45:40 （3）::120:200:3x y z = （4）3:4:5
【例题6】（1）1.5 （2）:13:12x y =
【学习巩固】
【练习1】（1）20 （2）24 （3）3、6 （4）5 （5）1、mn （6）123
【练习2】（1）710、无数（2）150 （3）211
（4）140 （5）3:2 【练习3】（1）1 （2）425 （3）118
（4）13 【练习4】111015
【练习5】（1）2:6:9 （2）192:90:100
【练习6】2x =
【家庭作业】
【练习1】（1）120、210 （2）45335=⨯⨯ （3）36 （4）53
（5）521 （6）7或8 （7） > （8）1:4
【练习2】（1）5123285 （2）3 （3）1118
（4）22 【练习3】6:4:3
【练习4】
320
【练习5】243。

【上海初中数学讲义】预初(上)第15讲：期末复习-运算类 教师版

向量的线性运算 讲义-2024-2025学年沪教版(上海)九年级数学第一学期