河北省滦南县第一中学2015-2016学年高三上学期期初考

滦南一中2015～2016学年度第一学期期初考试
高三年级数学试卷(理科)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{}{}
212,log 2A x x B x x =-≤=<，则=
A. B. C. D.
2. 已知复数（其中，是虚数单位），则的值为
A. B. C. 0 D. 2
3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是
A ．
B ．
C ．
D ． 4．已知角的终边经过点，且，则
A. B. C. D. 5. 已知实数、满足02010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩
，则的最大值为
A. B. C. D.
6．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为
A .
B .
C .
D .
7．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，
平均数也相同，则图中的
A. B. C. D.
8．设函数()2sin()(0,)22f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<的图象关于直
线对称，它的周期为，则
A ．的图象过点
B ．在上是减函数
C ．的一个对称中心是
D ．将的图象向右平移个单位得到的图象
9. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的为
A ． B. C. D.
10．已知函数(
))
()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则若f (a )= 1 3，则的值为
正视图
侧视图俯视图
A ．－ 1 3
B ．2
C ． 1 3
D ． 5
3 11. 已知数列的前n 项和为，令，记数列的前n 项为 ，则 ）
A.
B. C. D.
12．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出样本容
量为的样本，样本中型产品有16件，那么样本容量为
14、抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为
15. 设函数y =f （x ）的图像与函数y =2x +2的图像关于直线y =－x 对称，则f （-2）=
16.数列满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则的前20项和为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知cos A=，sinB=
（Ⅰ）求tan C 的值
（Ⅱ）若ABC 的面积．
18. （本小题满分12分）
某工厂生产、两种元件，某质量按测试指标划分，指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（Ⅰ）试依据以频率估计概率的统计思想，分别估计元件，元件为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（Ⅰ）的前提下：
记为生产一件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，底面为直角三角形，
且，底面，且，点是的中点，且交于点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知点，椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
21. （本小题满分12分）
设函数().2
1ln 2bx ax x x f --= (Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数()|1|||,f x x x a a R =-+-∈．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围。

高三年级期初考试数学参考答案及评分标准
一、选择题 1-5 BCDAC 6-10 ABCAD 11-12 DA
二、填空题 13．80 14． 15．1 16．210
17.
18.解：（1）原件为正品的概率约为 …………2分
原件为正品的概率约为 …………4分
（2）（i ）随机变量的所有取值为. …………5分
111(15)5420p X =-=⨯=；411(30)545
p X ==⨯=； 133(45)5420p X ==⨯=；433(90)545
p X ==⨯=. ……………9分 所以，随机变量的分布列为：
…………10分
1133(15)30459066205205
EX ∴=-⨯+⨯+⨯+⨯=. …………12分 19. ．解：（1）证明底面，，又
,SA AB A BC =∴⊥平面，平面，，…………2分
又是的中点，，
平面，，…………2分
又已知，
平面.……………6分
（2）如图，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C S ， ，
11(,0,),(1,1,0)22
AM AC ∴==，…………8分 设平面的一个法向量为
则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即011022
x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令，可得，…………10分
由（1）可知是平面的法向量，且 1cos ,3
||||CS n CS n CS n ⋅∴== 二面角的余弦值为
.
…………12分
20. 解：（1）设，由题意，∴，又∵离心率，∴，∴，过椭圆的方程为； . ………3分
（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程为，
联立直线与椭圆方程：2
2142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，化简得：22(14k )16120x kx +-+=，
∵，∴，
设，则 1212221612,1414k x x x x k k +=
⋅=++，
∴12PQ x -
∴坐标原点到直线的距离为，OPQ
S ∆== 令，则 24444OPQ t S t t t
∆==++， ∵，当且仅当，时，等号成立，∴，
故当， 即，时的面积最大，
从而直线的方程为.. …………12分
21
…………5分 （Ⅱ）
…………12分 22解：（Ⅰ）由，得
所以曲线C 的直角坐标方程为.……………………5分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得04cos 4sin 22=--ααt t . 设、两点对应的参数分别为、，则，， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4
sin 16sin cos 16=+， 当时，的最小值为4. ……………………10分
23.。