苏教版新教材高中数学必修第一册课时练习-指数函数的图象与性质的应用

课时练习(二十六) 指数函数的图象与性质的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题 1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫
12x 2－1的值域是( )
A ．(0,2)
B ．(0,2]
C ．[0,2)
D ．[0,2]
B [∵x 2
－1≥－1，∴y ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝2，又y >0，
∴y ∈(0,2]．] 2．若函数f (x )＝的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,0)
B ．(－1,0]
C ．[－1,0)
D ．[－1,0]
D [依题意，2
x 2＋2ax －a
－1≥0对任意x ∈R 恒成立，即x 2
＋2ax －a ≥0恒成立，
∴Δ＝4a 2
＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0．]
3．已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝2x
，则f (x )的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1]
D ．(－∞，1]
C [因为当x ≤0时，f (x )＝2x
∈(0,1]，且f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x )的值域为(0,1]，故选C ．]
4．若函数f (x )＝a |2x －4|
(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝1
9
，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．(－∞，＋∞)
C ．[2，＋∞)
D ．∅
C [由f (1)＝19，得a 2
＝19，
所以a ＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＝－13舍去， 即f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13|
2x －4|
．
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．]
5．函数f (x )＝12
[(1＋2x )－|1－2x
|]的图象大致为( )
A B C D
A [根据题意，由于函数f (x )＝12[(1＋2x )－|1－2x
|]＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，1－2x
≥01，1－2x
<0＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
，x ≤0，
1，x >0，根据解析式，结合分段函数的图象可知， 在y 轴右侧是常函数， 所以排除B ，
D ，而在y 轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C ，因此选A ．]
二、填空题
6．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值为n ，则m ＋n 的值为 ．
12 [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
在R 上为减函数， ∴m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－1
＝3， n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13
－2
＝9，
∴m ＋n ＝12．]
7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要
漂洗 次．
4 [设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的1
4；经过第二次漂洗，
存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142
；经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭
⎪⎫143
；经过第四次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫144，……，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x
．由题意得，⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
≤1100，4x ≥100,2x ≥10，
∴x ≥4，即至少漂洗4次．]
8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x
，则不等式f (x )<－
1
2
的解集是 ． (－∞，－1) [当x <0时，－x >0，
f (－x )＝1－2x ＝－f (x )，
则f (x )＝2x
－1．当x ＝0时，f (0)＝0， 由f (x )<－1
2，解得x <－1．]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
13ax 2－4x ＋3．
(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2
－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2
－4x ＋3＝－(x ＋2)2
＋7， 由于g (x )在[－2，＋∞)上递减，
y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
x
在R 上是减函数，
∴f (x )在[－2，＋∞)上是增函数， 即f (x )的单调增区间是[－2，＋∞)．
(2)令h (x )＝ax 2
－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13h (x )
，
由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1．
因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，12a －16
4a
＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1．
10．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0．3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0．08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
[解] 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0．3(1－50%)mg/mL ，…，x 小时后其酒精含
量为0．3(1－50%)x mg/mL ，由题意知0．3(1－50%)x
≤0．08，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
≤415．采用估算法，x ＝1
时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121
＝12>415，x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝14＝416<415．由于⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
是减函数，所以满足要求的x 的最小整
数为2．故至少要过2小时驾驶员才能驾驶．
1．定义运算a ⊗b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
b
a ≥
b ，a a ＜b ，
则函数f (x )＝3－x ⊗3x
的值域为( )
A ．(1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(0,1]
D [由题设可得f (x )＝＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3
－x
x ≥0，
3x x ＜0，
其图象如图实线所示，由图知函
数f (x )的值域为(0,1]．]
2．已知f (x )＝|2x
－1|，当a <b <c 时，有f (a )>f (c )>f (b )，则必有( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b >0，c >0 C ．2－a
<2c
D ．1<2a
＋2c
<2
D [作出函数f (x )＝|2x
－1|的图象，如图所示，
因为a <b <c ，且有f (a )>f (c )>f (b )， 所以必有a <0,0<c <1，且|2a －1|>|2c
－1|，
所以1－2a >2c －1，则2a ＋2c <2，且2a ＋2c
>1，故选D ．]
3．如果函数y ＝a 2x
＋2a x
－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值． [解] 设t ＝a x
，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2
－2， (1)若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴－1<1
a
≤t ≤a ．
∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，y ＝(t ＋1)2
－2在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a
，a 上也递增，
∴原函数在[－1,1]上递增． 故当x ＝1时，y max ＝a 2
＋2a －1．
由a 2
＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． (2)若0<a <1，可得当x ＝－1时，
y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，
解得a ＝13或a ＝－1
5(舍去)．
综上，a ＝1
3
或3．
4．设函数f (x )＝1－a
x
1＋a x (a >0且a ≠1)．
(1)判断f (x )的奇偶性；
(2)若f (x )≥1
2
，求x 的取值范围．
[解] (1)函数f (x )＝1－a
x
1＋a x (a >0且a ≠1)，定义域为R ，
所以f (－x )＝1－a －x
1＋a －x ＝a x
－1
a x
＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)f (x )≥12，即1－a x 1＋a x ≥12，a x >0,2－2a x ≥1＋a x ，解得a x
≤13，
当a >1时，x ＝log a a x
≤log a 13＝－log a 3，
当0<a <1时，x ＝log a a x
≥log a 13
＝－log a 3，
综上所述：当a >1时，x ≤－log a 3，当0<a <1时，x ≥－log a 3．。