2019-2020学年北师大版选修1-2 4.2.2复数的乘法与除法 作业

1．(2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )
A ．i ∈S
B ．i 2∈S
C ．i 3∈S D.2i
∈S 解析：选B.因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∈/S ，2i
＝－2i ∈/S ，故选B. 2．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( )
A ．3－i
B ．3＋i
C ．1＋3i
D ．3
解析：选A.(1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.
3．化简2＋4i (1＋i )2
的结果是( ) A ．2＋i B ．－2＋i
C ．2－i
D ．－2－i
解析：选C.2＋4i
(1＋i )2
＝2＋4i 2i ＝1＋2i i ＝2－i.故选C. 4．(2010年高考重庆卷)已知复数z ＝1＋i ，则2z
－z ＝________. 解析：2z －z ＝21＋i －1－i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )
－1－i ＝－2i. 答案：－2i
一、选择题
1．(2011年高考重庆卷)复数i 2＋i 3＋i 4
1－i
＝( ) A ．－12－12i B ．－12＋12
i C.12－12i D.12＋12
i 解析：选C.i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1－i ＋11－i ＝－i 1－i ＝(－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝1－i 2＝12－12i. 2．(2011年高考课标全国卷)复数2＋i 1－2i
的共轭复数是( ) A ．－35i B.35
i C ．－i D ．i
解析：选C.法一：∵2＋i 1－2i ＝()2＋i ()1＋2i ()1－2i ()1＋2i ＝2＋i ＋4i －25＝i ，∴2＋i 1－2i 的共轭复数为－i.
法二：∵2＋i
1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i ()
1－2i 1－2i ＝i ， ∴2＋i 1－2i
的共轭复数为－i. 3．i 是虚数单位，(1＋i 1－i
)4等于( ) A ．i B ．－i
C ．1
D ．－1
解析：选C.(1＋i 1－i )4＝[(1＋i 1－i )2]2＝(2i －2i
)2＝1.故选C. 4．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( )
A ．4＋2i
B ．2＋i
C ．2＋2i
D ．3＋i
解析：选A.∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，
∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2＝3＋2i ＋1＝4＋2i.故选A.
5．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( ) A ．i
B ．－i
C ．±1
D ．±i 解析：选D.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4，(x ＋y i )(x －y i )＝8.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 2＋y 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ＝±
2. ∴z z ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i. 法二：∵z ＋z ＝4，
设z ＝2＋b i(b ∈R )，
又z ·z ＝|z |2＝8，∴4＋b 2＝8，
∴b 2＝4，∴b ＝±2，
∴z ＝2±2i ，z ＝2∓2i ，∴z z
＝±i. 6．(2010年高考浙江卷)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是
( )
A ．|z －z |＝2y
B ．z 2＝x 2＋y 2
C ．|z －z |≥2x
D ．|z |≤|x |＋|y | 解析：选D.∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确；对于D ，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故D 正确．
二、填空题
7．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________.
解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·z ＝|z |2＝5.∴z ·z ＋z ＝6－2i.
答案：6－2i
8．(2011年高考江苏卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.
答案：1
9．已知复数z 满足|z |＝5，且(3－4i)z 是纯虚数，则z ＝________.
解析：∵(3－4i)z 是纯虚数，可设(3－4i)z ＝t i(t ∈R 且t ≠0)，∴z ＝t i 3－4i
，∴|z |＝|t |5＝5，∴|t |＝25，∴t ＝±25，
∴z ＝±25i 3－4i
＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，z ＝±(－4－3i)＝±(4＋3i)． 答案：±(4＋3i)
三、解答题
10．已知a 2＋2ab ＋b 2＋a 2b 2a ＋b ＋ab i ＝27－8i 3＋2i
，求实数a ，b . 解：已知左边＝(a ＋b )2－(ab i )2
(a ＋b )＋ab i
＝[(a ＋b )＋ab i][(a ＋b )－ab i](a ＋b )＋ab i
＝(a ＋b )－ab i. 右边＝(27－8i )(3－2i )(3＋2i )(3－2i )
＝65－78i 13＝5－6i ， 所以(a ＋b )－ab i ＝5－6i.
由两个复数相等的条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5，
ab ＝6.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，
b ＝3.
11．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，
由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2－3b ＝1－3a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝3
.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.
12．设i 为虚数单位，复数z 和ω满足zω＋2i z －2i ω＋1＝0.
(1)若z 和ω满足ω－z ＝2i ，求z 和ω的值；
(2)求证：如果|z |＝3，那么|ω－4i|的值是一个常数．并求这个常数．
解：(1)∵ω－z ＝2i ，∴z ＝ω－2i.
代入zω＋2i z －2i ω＋1＝0，
得(ω－2i)(ω＋2i)－2i ω＋1＝0，
∴ωω－4i ω＋2i ω＋5＝0.
设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则上式可变为
(x ＋y i)(x －y i)－4i(x ＋y i)＋2i(x －y i)＋5＝0. ∴x 2＋y 2＋6y ＋5－2x i ＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋6y ＋5＝0，2x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－5. ∴ω＝－i ，z ＝－i 或ω＝－5i ，z ＝3i.
(2)证明：由zω＋2i z －2i ω＋1＝0，得
z (ω＋2i)＝2i ω－1，∴|z ||ω＋2i|＝|2iω－1|.①
设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|ω＋2i|＝|x ＋(y ＋2)i|＝ x 2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2＋4y ＋4.
|2i ω－1|＝|－(2y ＋1)＋2x i| ＝(2y ＋1)2＋4x 2＝
4x 2＋4y 2＋4y ＋1.
又|z |＝3，
∴①可化为3(x 2＋y 2＋4y ＋4)＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1. ∴x 2＋y 2－8y ＝11. ∴|ω－4i|＝|x ＋(y －4)i|＝
x 2＋(y －4)2 ＝x 2＋y 2－8y ＋16＝3 3.
∴|ω－4i|的值是常数，且等于3 3.。