2022学年数学高三上期中测试卷含答案解析版(全国卷新高考地区)

全国卷新高考地区2022学年高三上
期中测试数学卷
测试时间：120分钟满分：150分
一、单选题
1.已知集合A={x|x2−x−6>0}，集合B={x∈Z|x2≤4x}，则(∁R A)∩B=（）A．{x|0≤x≤3}B．{−1,0,1,2,3}C．{0,1,2,3}D．(3,4]【答案】C
【考点】交集及其运算，补集及其运算
【解析】∵A={x|(x−3)(x+2)>0}=(−∞,−2)∪(3,+∞)，B={x∈Z|0≤x≤4}={0,1,2,3,4}，
∴(∁R A)∩B={0,1,2,3}.
故答案为：C．
【分析】先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义进行计算，即可得出答案.
2.若复数z=1+i
a+i−i为纯虚数，则实数a的值为（）
A． -1B．−1
2C．0D．1
【答案】A
【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】化简原式可得：z=1+i
a+i−i=
(1+i)(a−i)
a2+1
−i=a+1+(a−a
2−2)i
a2+1
z为纯虚数时，a+1
a2+1
=0，a−a2−2≠0即a=−1，A符合题意，BCD不符合题意.
故答案为：A
【分析】利用复数的运算法则，纯虚数的定义，即可得出答案.
3.设随机变量X~N(0.2,δ2)，若P(X>2)=0.2，则P(X>−1.6)等于（）A．0.5B．0.9C．0.8D．0.7
【答案】C
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为随机变量X~N(0.2,δ2)，且P(X>2)=0.2，
所以P(X>−1.6)=1−P(X>2)=0.8，
故答案为：C
【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由正态分布曲线对称性求解.
4.现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）
A．420种B．780种C．540种D．480种【答案】B
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图.
①若用5种颜色完成涂色，则 A 55=120 种方法； ②若用4种颜色完成涂色，颜色有 C 54 种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，
3同色，或者1，4同色，故有 C 54×4×A 44
=480 种； ③若用3种颜色完成涂色，颜色有 C 53 种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同
色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有 C 53×3×A 33
=180 种. 所以不同的着色方法共有 120+480+180=780 种. 故答案为：B ．
【分析】依题意，依次分析五个区域的着色方法数目，由分步计数原理，计算可得答案.
5.在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， 2AB =AA 1 ，则 B 1C 与平面 AA 1B 1B 所成角的正切值为（ ）
A ． √104
B ． √5117
C ． √155
D ． √6
3
【答案】 B
【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】取 AB 中点 D ，连接 B 1D,CD ，
∵ 三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 为正三棱柱， ∴△ABC 为等边三角形， AA 1⊥ 平面 ABC ， ∵D 为 AB 中点， CD ⊂ 平面 ABC ， ∴CD ⊥AB ， CD ⊥AA 1 ，
又 AB,AA 1⊂ 平面 AA 1B 1B ， AB ∩AA 1=A ， ∴CD ⊥ 平面 AA 1B 1B ， ∴B 1C 与平面 AA 1B 1B 所成角为 ∠CB 1D ，
不妨设 AB =a ，则 AA 1=BB 1=2a ， ∴CD =√32
a ， B 1D =√17
2a ，
∴tan∠CB 1D =CD
B 1
D =√5117 ，即 B 1C 与平面 AA 1B 1B 所成角的正切值为 √5117 .
故答案为：B ．
【分析】取 AB 中点 D ，连接 B 1D,CD ， 证明CD ⊥ 平面 AA 1B 1B ， B 1C 与平面 AA 1B 1B 所成角为 ∠CB 1D ， 不妨设 AB =a ，则 AA 1=BB 1=2a ， 根据
tan∠CB 1D =CD
B 1
D 可得答案.
6.函数 f(x)=4cosx
e x +e
−x 在 [−π,π] 上的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 A
【考点】函数的图象
【解析】【解答】 ∵f(−x)=4cos(−x)e −x +e
−(−x)=4cosx
e −x +e x =f(x) ， ∴f(x) 为偶函数，图象
关于 y 轴对称，可排除BC ；
当 x →+∞ 时， f(x)→0 ，可排除D ，知A 符合题意. 故答案为：A ．
【分析】根据函数的奇偶性，可排除BC ； x →+∞ 时， f(x)→0可排除D ，可得答案.
7.已知 a ， b 为正实数，直线 y =x +a 与曲线 y =e x−b 相切，则 23a +1
4b
的最小值
是（ ）
A ． 2
B ． 4√2
C ． 1112+√6
3 D ． 2√2 【答案】 C
【考点】基本不等式
【解析】由 y =e x−b 得： y ′=e x−b ；当 y ′=1 时， x =b ，
∴ 直线 y =x +a 与曲线 y =e x−b 相切的切点坐标为 (b,1) ， ∴a +b =1 ，又 a,b 为正实数，
∴23a +14b =(23a +14b )(a +b)=1112+2b 3a +a 4b ≥1112+2√2b 3a ⋅a 4b =1112+√6
3 （当且仅当 2b 3a =a
4b ，即 a =8−2√65 ， b =4√6−610 时取等号）， ∴23a +14b 的最小值为 1112+√63 . 故答案为：C ．
【分析】 直线与曲线相切,则切点在直线与曲线上,且切点处的导数相等,求出a, b 的关系,再利用基本不等式求所求分式的最值.
8.已知 f(x) 是可导的函数，且 f ′(x)≤2f(x) ，对于 x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）
A ． e 2f(0)>f(1),e 4040f(1)>f(2021)
B ． e 2f(0)<f(1),e 4040f(1)>f(2021)
C ． e 2f(0)>f(1),e 4040f(1)<f(2021)
D ． e 2f(0)<f(1),e 4040f(1)<f(2021) 【答案】 A
【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 g(x)=f(x)e 2x ，则 g ′(x)=f ′
(x)⋅e 2x −2e 2x ⋅f(x)(e 2x )
2=f ′
(x)−2f(x)
e 2x ， ∵
f ′(x)≤2f(x) ， e 2x >0 ， ∴
g ′(x)≤0 ， ∴g(x) 在 R 上单调递减，
∴g(0)>g(1) ， g(1)>g(2021) ，即
f(0)e 0>f(1)e 2 ， f(1)e 2>f(2021)
e
4042 ， ∴e 2f(0)>f(1) ， e 4040f(1)>f(2021) . 故答案为：A ．
【分析】 构造新函数g(x)=f(x)
e
2x ， 求导后易证得g(x)在R 上单调递减，从而有g(0)>
g(1) ， g(1)>g(2021) ，即 f(0)e 0>f(1)e 2 ， f(1)e 2>f(2021)
e
4042 ， 故而得解.
二、多选题
9.下列四个函数中，最小值为2的是（ ）
A ． y =11+√1−sinx +cosx,x ∈[0,π2]
B ． y =lnx +1
lnx ，x>1
C ． y =x+6
√x 2+3
D ． y =21x +21−x
【答案】 B,D
【考点】基本不等式
【解析】【解答】对于A ： y =1+√1−sinx cosx =1+√1−sinx
+√1−sin 2x
≥1+√1−sinx
+1+√1−sinx −1≥2−1=1
当且仅当 {1+√1−sinx =1
sin 2x =sinx
，即 sinx =1 时，等号成立；
对于B ：因为 x >1 ，故 lnx >0 ，因此 y =lnx +1lnx ≥2√lnx ⋅1lnx
=2 ，当且仅当 lnx =1
lnx ，即 x =e 时，等号成立； 对于C ：若 x +6≤0 ，即 x ≤−6 ，则 y =x+6
√x +3
=−√1+
12x+33
x 2+3
， 令 t =12x +33≤−39 ，则 x =
t−3312 ，即 y =−√1+144t
t 2−66t+1521
=−√1+
144
t−66+1521t
，
由 t <0 ，则 t −66+
1521t ≤−2√1521−66=−144 ，故 144
t−66+
1521t
≥−1 ，即 y ≤0 ，
当且仅当 t =
1521
t
，即 t =−39 ，即 x =−6 时，等号成立； 若 x +6>0 ，即 x >−6 ，则 y =√x +3=√1+12x+33
x 2+3 ，
令 t =12x +33>−39 ，则 x =
t−3312 ，即 y =√1+144t
t 2−66t+1521
=√1+
144
t−66+1521t
， 若 t >0 ，则 t −66+1521t ≥2√1521−66=12 ，故 144
t−66+1521
t
≤12 ，即 y ≤√13 ， 当且仅当 t =
1521t ，即 t =39 ，即 x =1
2 时，等号成立； 对于D ：因为 21x >0 ，故 y =21x +21−x
≥2√21x ⋅21−x =2 ，当且仅当 21x =21−x ，即 x =0 时，等号成立；
综上所述，只有BD 两个选项可取得最小值2，故答案为：BD ． 【分析】逐项利用基本不等式判断即可，注意等号成立的条件. 10.下列说法正确的是（ ）
A ． 若 xy ≥0 ，则 |x +y|+|x|+|y|≥2|x −y|
B ． 若 a +bi =(1−i)(2+i) ，则 a +b =2
C ． “ x >a+b
2
是 x >√ab ”的充分必要条件
D ． “ ∀x >0 ， e x >x +1 ”的否定形式是“ ∃x ≤0 ， e x ≤x +1 ” 【答案】 A,B
【考点】命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，基本不等式 【解析】【解答】对于A ，若 xy ≥0 ，则 x ≥0 ， y ≥0 或 x ≤0 ， y ≤0 ；
当 x ≥0 ， y ≥0 时， |x +y|+|x|+|y|=2x +2y ， 2|x −y|=2x −2y 或 2y −2x ，
∵(2x +2y)−(2x −2y)=4y ≥0 ， (2x +2y)−(2y −2x)=4x ≥0 ， ∴|x +y|+|x|+|y|≥2|x −y| ； 当 x ≤0 ， y ≤0 时， |x +y|+|x|+|y|=−2x −2y ， 2|x −y|=2x −2y 或 2y −2x ，
∵(−2x −2y)−(2x −2y)=−4x ≥0 ， (−2x −2y)−(2y −2x)=−4y ≥0 ， ∴|x +y|+|x|+|y|≥2|x −y| ；
综上所述：若 xy ≥0 ，则 |x +y|+|x|+|y|≥2|x −y| ，A 符合题意；
对于B ，由 a +bi =(1−i)(2+i)=3−i 得： a =3 ， b =−1 ， ∴a +b =2 ，B 符合题意；
对于C ，当 x <0 ， a <0 ， b <0 时，若 x >a+b
2
，此时 x <√ab ，充分性不成
立，C 不符合题意；
对于D ，由全称命题的否定知原命题的否定为： ∃x >0 ， e x ≤x +1 ，D 不符合题意. 故答案为：AB ．
【分析】 直接利用三角不等式的应用即可判定A 的正误；由 a +bi =(1−i)(2+i)=3−i 得： a =3 ， b =−1判定B 的正误；利用基本不等式的应用和充分条件和必要条件的应用判定C 的正误；利用特称和全称命题的应用判定D 的正误.
11.已知函数 f(x)=sinx −cosx ， g(x) 是 f(x) 的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A ． 函数 f(x) 的值域与 g(x) 的值域不相同
B ． 把函数 f(x) 的图象向右平移 π
2 个单位长度，就可以得到函数 g(x) 的图象
C ． 函数 f(x) 和 g(x) 在区间 (−π4,π
4
) 上都是增函数
D ． 若 x 0 为是函数 f(x) 的极值点，则 x 0 是函数 g(x) 的零点 【答案】 C,D
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π
4
) ， g(x)=f ′(x)=cosx +sinx =
√2sin(x +π
4)
函数 f(x) 的值域与 g(x) 的值域均为 [−√2,√2] ，A 不符合题意；
函数 f(x) 的图象向右平移 π
2 个单位长度，得 y =√2sin(x −π2−π4)=√2sin(x −3π4
) ，
不是 g(x)=√2sin(x +π
4
) 的图像，B 不符合题意；
x ∈(−π4,π4) 时 x −π4∈(−π2,0) ， f(x) 是单调递增函数， x +π4∈(0,π
2
) ， g(x) 是
单调递增函数，C 符合题意；
x 0 为是函数 f(x) 的极值点，则 g(x 0)=f ′(x 0)=0 ，即 x 0 是函数 g(x) 的零点，D 符合题意.
故答案为：CD ．
【分析】 求出函数f (x)的导数g(x) ,再根据三角函数的图象与性质判断选项中的命题是否正确.
12.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， A =π
6
， a =2 ， ⊙O 为 △ABC
的外接圆， OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，给出下列四个结论正确的是（ ） A ． 若 m =n =1 ，则 |OP
⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3 ； B ． 若P 在 ⊙O 上，则 m +n 的最大值为2； C ． 若P 在 ⊙O 上，则 m 2+n 2+mn =1 ；
D ． 若 m,n ∈[0,1] ，则点P 的轨迹所对应图形的面积为 2√3 . 【答案】 A,C,D
【考点】基本不等式，轨迹方程，正弦定理
【解析】【解答】 ∵ A =π
6
， a =2 ， ⊙O 为 △ABC 的外接圆
∴ 2R =a sinA =2
12
=4⇒R =2
∠BOC =2∠A =60∘,OB =OC =2 对于A ：若 m =n =1 ，则 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗
OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12⇒|OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3 ,A 符合题意 对于BC ：由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=(mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2
=m 2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mnOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗
=4m 2+4n 2+4mn =4(m 2+n 2
+mn)
若P 在 ⊙O 上，则 OP =2
4(m 2+n 2+mn)=4⇒m 2+n 2+mn =1
∴(m +n)2=1+mn ≤1+(
m +n 2)2⇒3
4
(m +n)2≤1 ∴m +n ≤2√3
3 （当且仅当 m =n 时取等号） B 不符合题意，C 符合题意；
对于D ：若 m,n ∈[0,1] ，则点P 的轨迹：
当 m =0,n ∈[0,1] 时, OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时点 P 在线段 OC ; 当 n =0,m ∈[0,1] 时, OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时点 P 在线段 OB ; 当 m =1,n ∈[0,1] 时， OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造平行四边形 OBCD ,此时点 P 在线段 BD 上；
当 n =1,m ∈[0,1] 时， OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造平行四边形 OBCD ,此时点 P 在线段
CD 上；
当 m,n ∈(0,1) 时， OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点 P 在菱形 OBCD 内部，
综上 P 点的轨迹为菱形 OBCD 组成的图形区域，则 S 菱形OBCD =2S △OBC =2×1
2×2×
2×sin60∘=2√3 ， D 符合题意.
故答案为：ACD ．
【分析】 由正弦定理可得2R =
a sinA
=2
12
=4⇒R =2 ， 进而可得OB =OC =2 ， 对于A:若m=n=1时，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 两边平方,即可判断A 是否正确；
对于B:由B 知 m 2+n 2+mn =1 ， 结合基本不等式即可判断B 是否正确;
对于C:对 OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，可得OP →2
=(mOB →
+nOC →
)2
又|OP| = 2,即可判断C 是否正确;
对于D:分别分析，当 m =0,n ∈[0,1] 时, 当 n =0,m ∈[0,1] 时，当 m =1,n ∈[0,1] 时，当 n =1,m ∈[0,1] 时， 点P 的轨迹即可判断D 是否正确. 三、填空题
13.若关于 x 的不等式 ax −b <0 的解集是 (1,+∞) ，则关于 x 的不等式 ax+b
x+5
>0
的解集是 .
【答案】 （-5，-1）
【考点】其他不等式的解法 【解析】【解答】 ∵ax −b <0 的解集是 (1,+∞) ， ∴a =b 且 a <0 ， 由 ax+b x+5
>0 得： (ax +b)(x +5)=(ax +a)(x +5)=a(x +1)(x +5)>0 ，
∴(x +1)(x +5)<0 ，解得： −5<x <−1 ，
∴ 不等式 ax+b
x+5>0 的解集为（-5，-1）. 故答案为：（-5，-1）.
【分析】 关于 x 的不等式 ax −b <0 的解集是 (1,+∞) 得a =b 且 a <0 ， 由此对
于x 的不等式 ax+b
x+5
>0 进行求解即可.
14.已知 a
⃗ =(1,2,3) ， b ⃗ =(2,3,5) ，则以 a ⃗ ,b ⃗ 为邻边的平形四边形面积是 . 【答案】 √3
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ∵cos <a ,b ⃗ >=a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a ⃗⃗ |⋅|b ⃗⃗ |
=√14×√38=2√133 ， <a ,b ⃗ >∈[0,π] ， ∴sin <a ,b
⃗ >=√32√133
， ∴ 以 a ⃗ ,b ⃗ 为邻边的平形四边形面积 S =|a |⋅|b ⃗ |sin <a ,b
⃗ >=√3 . 故答案为： √3 .
【分析】根据向量坐标运算可求得cos <a →,b →
> ， 进而得到sin <a →,b →
> ，由S =|a →
|⋅
|b →
|sin <a →,b →
> 可求得结果.
15.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事
件A ．“两颗骰子的点数之和等于6”为事件 B ，则 P(B
̅|A)= . 【答案】 7
8
【考点】条件概率与独立事件 【解析】【解答】同时抛掷两颗骰子共有 6×6=36 种结果；
其中“红骰子向上的点数大于2”共有 4×6=24 种结果， ∴P(A)=
2436=2
3
； “红骰子向上的点数大于2”且“两颗骰子的点数之和等于6”有 (3,3) ， (4,2) ， (5,1) ，共
3种结果，则 P(AB ̅)=24−336=712
， ∴P(B ̅|A)=P(AB ̅
)P(A)=71223
=78 . 故答案为： 78 .
【分析】分别求出P(A) ， P(AB) 再由条件概率的公式求出结果.
16.定义方程 f(x)=f ′(x) 的实数根 x 0 叫做函数 f(x) 的“G 点”. （1）.设 f(x)=sinx ，则 f(x) 在 (0,π) 上的“G 点”为 ；
（2）.如果函数 g(x)=ln(4+x) 与 ℎ(x)=e x −3x −1 的“G 点”分别为 x 1,x 2 ，那么 x 1+x 2 与 0 的大小关系是 .
【答案】 （1）π
4
（2）x 1+x 2<0
【考点】函数零点的判定定理 【解析】【解答】（1） ∵f(x)=sinx ， ∴f ′(x)=cosx ，令 f(x)=f ′(x) ，即 sinx =
cosx ，得 tanx =1 ， ∵x ∈(0,π) ，解得 x =π
4 ，所以，函数 y =f(x) 在 (0,π) 上
的“ G 点”为 π
4
；
（2） ∵g(x)=ln(x +4) ， ℎ(x)=e x −3x −1 ，则 g ′(x)=1
x+4
， ℎ′(x)=e x −3 ，
令 φ(x)=ln(x +4)−1x+4 ，则 φ′(x)=1x+4+1
(x+4)
2>0 对任意的 x ∈(−4,+∞) 恒成立，所以，函数 φ(x)=ln(x +4)−1
x+4 在定义域 (−4,+∞) 上为增函数，
∵φ(−3)=−1<0 ， φ(−2)=ln2−1
2=ln2−ln √e >0 ，由零点存在性定理可得，唯一的 x 1∈(−3,−2) ，使得 g(x)=g ′(x) ，令 ℎ(x)=ℎ′(x) ，即 e x −3x −1=e x −3 ，
解得 x 2=2
3 ，所以， x 1+x 2<0 .
故答案为：（1） π
4 ；（2） x 1+x 2<0 .
【分析】 (1)根据题意,求出函数f(x)的导数,由“G 点”的定义可得sinx =cosx ,变形可得tanx =1 ， 结合x 的范围分析可x 的值，即得答案;
(2)根据题意,求出h(x)与g(x)的导数，令 φ(x)=ln(x +4)−1
x+4
,求导，由“G 点”的定义
可得x 2的值，利用函数图象的性质，即可得 x 1+x 2 与 0 的大小关系 . 四、解答题
17.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①第5项的系数与第3项的系数之比为5:2； ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；
③ C n+13−C n−15
=63 .
已知在 (√x −1√x
3)n
的展开式中， .
（1）.求展开式中二项式系数最大的项；
（2）.求展开式中含 1
x 的项.
【答案】 （1）解：若选①， (√x −1√x
3)n 展开式通项公式为 T r+1=(−1)r
C n
r x 3n−5r 6 ，
则第5项的系数为 C n 4 ，第3项的系数为 C n 2 ， ∴C n 4:C n 2
=5:2 ，解得： n =−3 （舍）或 n =8 ；
若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数分别为 C n 1 和 C n n−2
，
∴C n 1+C n n−2=C n 1+C n 2=36 ，解得： n =−9 （舍）或 n =8 ；
若选③，由 C n+13−C n−15
=63 得： n =8 ；
∴(√x −1√x
3)8 的展开式通项公式为 T r+1=(−1)r C n r
x 24−5r 6 ；
当 n =8 时，若 C 8r 取得最大值，则 r =4 ，即第5项的二项式系数最大，
∴ 展开式中二项式系数最大的项为 T 5=C 84x 2
3
=70x 2
3
（2）解：令 24−5r
6=−1 ，解得： r =6 ，
∴ 展开式中含 1x 的项为 T 7=C 86x −1=28x
【考点】二项式定理，二项式系数的性质 【解析】【分析】 (1 )由题意利用，二项式系数的性质，求得n 的值，再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项；
(2)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含 1
x
的项.
18.已知 △ABC 的面积为 b
2
12sinB ， cosAcosC =−13
.
（1）.求 B 的大小；
（2）.若 b =6 ，求三角形内切圆半径 r .
【答案】 （1）解： ∵S △ABC =12acsinB =b
2
12sinB
，
由正弦定理得： 12sinAsinCsinB =sin 2
B
12sinB ，又 sinB ≠0 ， ∴sinAsinC =16
，
∴cosB =−cos(A +C)=−cosAcosC +sinAsinC =13+16=1
2 ，
又 B ∈(0,π) ， ∴B =π
3
（2）解： ∵S △ABC =3612sin π
3=3√32
=2√3 ， ∴1
2acsinB =√34ac =2√3 ，解得： ac =8 ； 由余弦定理得： b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −2accos π3=(a +c)2−24=
36 ，
∴a +c =2√15 ， ∴a +b +c =6+2√15 ，
∵S △ABC =1
2
(a +b +c)⋅r =(3+√15)r =2√3 ， ∴r =√5−√3
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求 sinAsinC =1
6
,进而根
据两角和的正弦
公式可求cosB 的值，结合B 的范围可求B 的值；
(2)由三角形的面积公式可求 ac =8 ,进而根据余弦定理可求a+c 的值，设三角形内切圆半
径为r,则= S △ABC =1
2(a +b +c)⋅r =(3+√15)r =2√3 即可求解三角形内切圆半径r.
19.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局
甲队获胜的概率是 25
外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 2
3 .假设各局比赛结果互相独立.
（1）.分别求甲队以 3:0 ， 3:1 ， 3:2 胜利的概率；
（2）.若比赛结果为 3:0 或 3:1 ，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 3:2 ，
则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分 X 的分布列及数学期望.
【答案】 （1）解：甲队以 3:0 胜利的概率 p 1=(23)3=8
27
；
甲队以 3:1 胜利的概率 p 2=C 31×(23)2×(1−23)×23=8
27 ；
甲队以 3:2 胜利的概率 p 3=C 42
×(23)2×(1−23)2×25=16135
（2）解：由题意知： X 所有可能的取值为 0,1,2,3 ，
∴P(X =0)=p 1+p 2=1627 ， P(X =1)=p 3=16
135 ，
P(X =2)=C 42
×(23)2×(1−23)2×(1−25)=845 ，
P(X =3)=(1−23)3+C 31
×(1−23)2×23×(1−23)=19 ，
∴ 数学期望 E(X)=0×27+1×135+2×45+3×9=135
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】 (1)甲队获胜有三种情形，①3: 0,②3: 1,③3:2,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率,最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率;
(2) X 的取值可能为0, 1, 2, 3,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率列出分布列，最后根据数学期望公式求解即可.
20.如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且ÐAOB ＝45°，OE ＝1，EF ＝ √3 ，设∠AOE ＝ α .
（1）.写出△AOB 的面积关于 α 的函数关系式 f(α) ； （2）.求（1）中函数 f(α) 的值域.
【答案】 （1）解： ∵OE =1 ， EF =√3 ． ∴∠EOF =60° ．
当 α∈[0°,15°] 时， △AOB 的两顶点 A 、 B 在 EF 上，且 AE =tanα , BE =tan(45°+α) ．
∴f(α)=S △AOB =12[tan(45°+α)−tanα]=12[sin(45°+α)cos(45°+α)−sinαcosα] =12[sin45°cosα+sinαcos45°cos(45°+α)−sinαcosα]=sin45°2cosα⋅cos(45°+α)
=√22cos(2α+45°)+√2
当 a ∈(15°,45°] 时， A 点在 EF 上， B 点在 FG 上，且 OA =
1cosα
， OB =√3cos(45°−α) ． ∴f(α)=S ΔAOB =12OA ⋅OB ⋅sin45°=12cosα⋅√3cos(45°−α)⋅sin45°=√62cos(45°−2α)+√2
综上 f(α)={√22cos(2α+45°)+√2α∈[0°,15°]√62cos(2α−45°)+√2
α∈(15°,45°]
（2）解：由（1）得：
当 α∈[0°,15°] 时， 2α+45°∈[45°,75°] ，故 cos(2α+45°)∈[√22,√6−√24] ， 因此 f(α)=√22cos(2α+45°)+√2∈[12,√3−1] ， 且当 α=0° 时， f(α)min =12 ； α=15° 时， f(α)max =√3−1 ； 当 α∈(15°,45°] 时， −15°≤2α−45°≤45° ， f(α)=√62cos(2α−45°)+√2
∈[√6−√3,√32] ．
且当 α=22.5° 时， f(α)min =√6−√3 ；当 α=45° 时， f(α)max =√32 ． 综上所述， f(α)∈[12,√32] 【考点】函数的值域，函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】 (1)根据 OE =1 ， EF =√3 ,可得∠EOF=60°，由于A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB=45°， ∠AOE ＝ α ,故要进行分类讨论:当 α∈[0°,15°] 时，△AOB 的两顶点 A 、 B 在 EF 上； 当 a ∈(15°,45°] 时， A 点在 EF 上， B 点在 FG 上，从而可求相应的面积 f(α) ，进而得出结论；
(2)由(1)分类求函数的值域:当 α∈[0°,15°] 时 f(α)=√22cos(2α+45°)+√2
∈[12,√3−1] ， 当 α∈(15°,45°] 时，f(α)=√62cos(2α−45°)+√2
∈[√6−√3,√32] ， 故可得结论.
21.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围
附： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
， n =a +b +c +d . ，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下 2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别
10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？
K 2 的观测值 k =100×(37×24−16×23)53×47×60×40≈4.523>3.841 ， 所以有95%的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关.
（2）解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为 20100=15 ， 设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为 ξ ，则 ξ~B(20,15) ， 其中 P(ξ=k)=C 20k (15)k (45)20−k ， k =0,1,2,...,20 ； 由 {P(ξ=k)≥P(ξ=k +1)P(ξ=k)≥P(ξ=k −1) ，得 {C 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k+1(15)k+1(45)19−k C 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k−1(15)k−1(45)21−k 化简得 {4(k +1)≥20−k 21−k ≥4k ，解得 165≤k ≤215 ； 又 k ∈Z ，所以 k =4 ，
即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4人.
【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型
【解析】【分析】 （1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可，计算K 的观测值K 2 ， 对照题目中的表格，得出统计结论．
（2）设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，由题意可知变量ξ服从二
项分布ξ~B(20,15) ，由 {P(ξ=k)≥P(ξ=k +1)P(ξ=k)≥P(ξ=k −1)
， 求出k 的取值范围，再利用k ∈Z ，即可求出k 的值．
22.已知函数 f(x)=xe x +ax 2+2 .
（1）.当 a =1 时，讨论 f(x) 的单调性；
（2）.对 ∀x ∈[β,+∞) ， β≥0 ，有 f(x)≥x +2 ，求 a 的取值范围.
【答案】 （1）解：当 a =1 时， f(x)=xe x +x 2+2 ，则 f ′(x)=(x +1)e x +2x ，
f ″(x)=(x +2)e x +2 ， f ‴(x)=(x +3)e x ，
∴ 当 x ∈(−∞,−3) 时， f ‴(x)<0 ；当 x ∈(−3,+∞) 时， f ‴(x)>0 ； ∴f ″(x) 在 (−∞,−3) 上单调递减，在 (−3,+∞) 上单调递增，
∴f ″(x)min =f ″(−3)=2−e −3>0 ， ∴f ″(x)>0 在 R 上恒成立，
∴f ′(x) 在 R 上单调递增， 又 f ′(−12)=2√e −1<0 ， f ′(0)=1>0 ， ∴∃x 0∈(−12,0) ，使得 f ′(x 0)=0 ， 则当 x ∈(−∞,x 0) 时， f ′(x)<0 ；当 x ∈(x 0,+∞) 时， f ′(x)>0 ； ∴f(x) 在 (−∞,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增，其中 x 0∈(−12,0)
（2）解：由 f(x)≥x +2 得： xe x +ax 2−x ≥0 ，
则当 x ≥β≥0 时， xe x +ax 2−x ≥0 ；
①当 x =β=0 时， 0≥0 恒成立，则 a ∈R ；
②当 x ≥β>0 时， e x +ax −1≥0 ， ∴−a ≤e x −1x ， 令 g(x)=e x −1x ，则 g ′(x)=xe x −(e x −1)x 2=(x−1)e x +1x 2
， 令 ℎ(x)=(x −1)e x +1 ，则 ℎ′(x)=e x +(x −1)e x =xe x ，
当 x >0 时， ℎ′(x)>0 ， ∴ℎ(x) 在 (0,+∞) 上单调递增， ∴ℎ(x)>ℎ(0)=0 ，
∴g ′(x)>0 ，则 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递增， ∴g(x)≥g(β)=e β−1β ， ∴−a ≤
e β−1β ， ∵g(β) 在 (0,+∞) 上单调递增，
由洛必达法则可知： lim β→0g(β)=lim β→0
e β=1 ， ∴g(β)>1 ， ∴−a ≤1 ，即 a ≥−1 ；
③当 x >β≥0 时，由②可知： ∴g(x)>g(β)=e β−1β ， ∴−a ≤e β−1β ，同理可得： a ≥−1 ；
综上所述： a 的取值范围为 [−1,+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】 (1)求得a=1时，f(x)的解析式，两次对x 求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号,即可得到所求单调性；
(2)讨论 x =β=0 时， 0≥0 恒成立 ; x ≥β>0 时，运用参数分离和构造函数,求得导数,判断单调性和最值，进而得到 a 的取值范围 .。