广东省深圳市高级中学2020学年高二数学下学期期中试题 文

深圳市高级中学2020－2020学年第二学期期中测试
高二文科数学
本试卷由两部分组成，第一部分为本学期前所学知识与能力部分，包含的题目有：1-8,13，14，18,20,21共86分。

第二部分为本学期所学知识与能力部分，包含的题目有：9-12,15,16,17,19,22共64分.全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．若全集U=R ，集合{}02A x x =<<，{}
10B x x =->，则U A C B I ＝( )
A.{}01x x <≤
B.{}12x x <<
C.{}01x x <<
D.{}12x x ≤<
2．已知向量()2,1a =r ，(),2b x =-r
若//a b r r ，则a b +r r 等于 ( )
A ．
()3,1- B ．()2,1
C ．()3,1-
D ． ()2,1--
3．“微信抢红包”自2020年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每 人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）
A.12
B. 52
C. 43
D. 6
5
4．已知3sin ,45
x π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭则sin 2x 的值为 （ ） A ．1625-
B ．1625
C ．825
D ． 725
5．执行如右图2所示的程序框图, 则输出的结果为( ) A.7 B.9 C.10 D.11
6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
7.已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则
()7f =（ ）
A.2
B.2-
C.98-
D.98
8．已知双曲线)0, 0( 122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的
2倍，则其渐近线方程为（ ）
A.02=±y x
B.02=±y x
C.034=±y x
D.043=±y x 9．设i 是虚数单位，复数21i
z i
=
+ ,则｜z ｜＝（ ） A.1
D. 2
10.直线1ax by +=与圆2
2
1x y +=相交，则点P （a ，b ）与圆的位置关系为（ ）
A ．在圆上
B ．在圆外
C ．在圆内
D ．不确定
11．已知函数()()()()515,log log 21x
x f x e e x f x f x f -⎛⎫
=-+≤ ⎪⎝⎭
，则x 的取值范围是
A. 1,15
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B. []1,5 C. 1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.[)1,5,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U
12． 如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点。

一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点。

若它停在 奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳 两个点。

该蛙从5这点跳起，经2020次跳后它将停在的点是 ( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.满足不等式组()()130,
0x y x y x a
⎧-++-≥⎨
≤≤⎩的点(),x y 组成的图形的面积是5,则实数a
的值为 .
14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，
已知3,30,a b c =
==︒则A ＝ .
15.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2
i =a b + 16. 直线1
3
y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ．
三、解答题
17.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t
y t x 33
，（t 为
参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.
18. （本小题满分12分）数列{}n a 中，12a =，
1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，）
，且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式．
19. （本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖．
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
4
15
． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由； （Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽
到一男一女的概率是多少？ 参考数据：
（参考公式：22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
20. （本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（I ）证明：;1AB C B ⊥
（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο
求三棱柱111C B A ABC -的高.
21. （本小题满分12分）如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：22
221x y a b
+= (a >b >0)的左、右焦点，
A 是椭圆C 的顶点，
B 是直线AF 2与椭圆
C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．
22.（本小题满分12分）已知a 是实数，函数()()f x x x a =
-。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值，写出)(a g 的表达式；
深圳市高级中学2020－2020学年第二学期期中测试答案
高二文科数学
命题人：郑方兴 审题人：邹平伟
本试卷由两部分组成，第一部分为本学期前所学知识与能力部分，包含的题目有：1-8,13，14，18,20,21共86分。

第二部分为本学期所学知识与能力部分，包含的题目有：9-12,15,16,17,19,22共64分.全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．若全集U=R ，集合{}
02A x x =<<，{}
10B x x =->，则U A B I ð＝( )
{}12x x << C.{}01x x << D.{}
12x x ≤< 2．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a+b 等于 ( )
A ． ()3,1-
B ．()2,1
C ．()3,1-
D ． ()2,1--
3．“微信抢红包”自2020年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每 人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）
A.12
43 D. 6
5
4．已知3sin ,45
x π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭则sin 2x 的值为 （ ） A ．1625-
B ．1625
C ．825
5．执行如右图2所示的程序框图, 则输出的结果为( ) A.7 B.9 C.10 D.11
6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
7.已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则
()7f =
A.2
B.2-
C.98-
D.98
8．已知双曲线)0, 0( 122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的
2倍，则其渐近线方程为
A.02=±y x
B.02=±y x
C.034=±y x
D.043=±y x 9．设i 是虚数单位，复数21i
z i
=
+ ,则｜z ｜＝（ ） A.1
D. 2
10.直线1ax by +=与圆2
2
1x y +=相交，则点P （a ，b ）与圆的位置关系为（ ）
A ．在圆上
B ．在圆外
C ．在圆内
D ．不确定
11．已知函数()(
)()()51
5
,log log 21x
x
f x e e
x f x f x f -⎛
⎫
=-+≤ ⎪⎝⎭
，则x 的取值范围是 A. 1,15⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
B. []1,5[)1,5,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U
12． 如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点。

一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点。

若它停在 奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳 两个点。

该蛙从5这点跳起，经2020次跳后它将停在的点是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.满足不等式组()()130,
0x y x y x a
⎧-++-≥⎨
≤≤⎩的点(),x y 组成的图形的面积是5,则实数
a 的值为 . 3
14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C
所对的边，已知3,30,a b c =
==︒则A ＝ .
6
π
15.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2
i
a b +16. 直线1
3
y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ． ln3
－1
17.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t
y t x 33
，（t 为
参数），以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42
=+-θρρ （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围. 23.解：（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；
曲线的直角坐标方程为1)2(2
2
=+-y x ---------------------------4分 （II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则
2|
35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++
=
+-+=π
θθθd 所以d 的取值范围是]2
2
35,2235[+-.--------------------------10分 或其他直接运算的方法。

18. （本小题满分12分）数列{}n a 中，12a =，
1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，）
，且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式．
解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2
(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．
（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，L L 1(1)n n a a n c --=-， 所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=+++-=
L ． 又12a =，2c =，故2
2(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=L ，
，． 当1n =时，上式也成立，所以2
2(12)n a n n n =-+=L ，
，
19. （本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由； （Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽
到一男一女的概率是多少？ 参考数据：
（参考公式：22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
（19）【解】（Ⅰ）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，x ＝6
常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22 合计
10
20
30
（Ⅱ）由已知数据可求得：K 2
≈8.522＞7.879
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．
（Ⅲ）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中一男一女有
AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ．抽出一男一女的概率是8
15．
20. （本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（I ）证明：;1AB C B ⊥
（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο
求三棱柱111C B A ABC -的高. 【参考答案】：（I ）连结1BC ，则O 为1BC 与1B C 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，又AO ⊥平
面11BB C C ，故1B C AO
⊥1B C ⊥平面ABO ，由于
AB ⊂平面ABO ，
故1B C ⊥AB （II ）作OD ⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH ⊥AD,垂足为H, 由于BC ⊥AO,BC ⊥OD,故BC ⊥平面AOD,所以OH ⊥BC. 又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面ABC.
因为1,601==∠BC CBB ο
,所以△
1CBB 为等边三角形,又BC=1,可得OD=
3
，由于1AB AC ⊥，所以P (K 2≥k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
111
22
OA B C =
=，由 OH ·AD=OD ·OA,且227AD OD OA =+=OH=2114 又O 为B1C 的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为217,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为21
7
21. （本小题满分12分）如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A
是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，则a ＝2c ， 所以e ＝1
2
.
(2)法一 a 2
＝4c 2
，b 2
＝3c 2
，直线AB 的方程为y ＝－3(x －
c )，
将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2
，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85
c ，－335c ，
所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝16
5
c .
由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2
＝403，解得a ＝10，b
＝5 3.
法二 设|AB |＝t (t >0)． 因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .
由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2
－2at cos 60°可得，t ＝85a .
由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235
a 2
＝403知，
a ＝10，
b ＝5 3.
（22）（本小题满分12分）已知a 是实数，函数()()f x x x a =
-。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值，写出)(a g 的表达式； （Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，，
()
f x
'==（0
x>）．若0
a≤，则()0
f x
'>，()
f x有单调递增区间[0)
+∞
，．
若0
a>，令()0
f x
'=，得
3
a
x=，
当0
3
a
x
<<时，()0
f x
'<，当
3
a
x>时，()0
f x
'>．
()
f x有单调递减区间0
3
a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，，单调递增区间
3
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
，．
（Ⅱ）解：（i）若0
a≤，()
f x在[02]
，上单调递增，
所以()(0)0
g a f
==．
若06
a
<<，()
f x在0
3
a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，上单调递减，在2
3
a
⎛⎤
⎥
⎝⎦
，上单调递增，
所以()
3
a
g a f
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
若6
a≥，()
f x在[02]
，
上单调递减，所以()(2))
g a f a
==-．
综上所述，
00
()06
)6
a
g a a
a a
⎧
⎪
⎪
=<<
⎨
-
，≤，
，
，≥．
5．设,,a b c 大于0，则3个数：1a b +，1b c +，1c a +的值 （ ）
A ．都大于2
B ．至少有一个不大于2
C ．都小于2
D ．至少有一个不小于2
8．定义在R 上的函数()(2)()1,[0,1],()4x f x f x f x x f x +=+∈=满足且时，(1,2)x ∈时，(1)()f f x x
=，令4)(2)(--=x x f x g ]2,6[-∈x ,则 函 数)(x g 的零点个数为（ ） .A 6 .B 7 .C 8
.D 9 8．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当(0,1)x ∈时,()1f x x =-，则函数
4()log y f x x =-的零点个数是
A ． 2
B ．3
C ．4
D ．5
11．函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数（ ）
A ．)23,2(
ππ B ．)2,(ππ C ．)2
5,23(ππ D ．)3,2(ππ
14. 如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为______．
（22）（本小题满分12分）已知函数()2mx f x x n
=+ (),m n ∈R 在1x =处取到极值2. （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）设函数()ln a g x x x
=+，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,e x ∈（e 为自然对数的底数），使得()()2172
g x f x ≤+，求实数a 的取值范围.
（22）解:（Ⅰ）因为()2mx f x x n
=+， 所以2222222
()2()()()m x n mx mx mn f x x n x n +--+'==++．
由()f x 在1x =处取到极值2，
所以()10f '=，()12f =，即20(1) 2.1mn m n m n
-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，
解得4m =，1n =．
经检验，此时()f x 在1=x 处取得极值. 所以24()1
x f x x =+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知224(1)(1)()(1)x x f x x --+'=
+，故()f x 在(1,1)-上单调递增， 由(1)2,(1)2f f =-=- 故()f x 的值域为[]2,2-. 从而173()22
f x +≥． 所以总存在[]21,e x ∈，使得()()2172
g x f x ≤+成立，只须3()2g x ≤最小值． 函数()ln a g x x x
=+的定义域为()0,+∞，且221()a x a g x x x x -'=-=． ①当1a ≤时，()g x '＞0，函数()g x 在[]1,e 上单调递增， 其最小值为3(1)12
g a =≤<，符合题意． ②当1e a <<时，在[)1,a 上有()0g x '<，函数()g x 单调递减，在(],e a 上有()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()ln 1g a a =+． 由3ln 12
a +≤
，得0a <≤
1a <≤. ③当e a ≥时，显然函数)(x g 在[]1,e 上单调递减， 其最小值为3(e)12e 2
a g =+≥>，不合题意． 综上所述，a
的取值范围为(
-∞．
20．设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.
（1）讨论函数()f x 的单调区间和极值;
（2）已知1 2.71828)x e ==L 和2x 是函数()f x 的两个不同的零点,求a 的值并证明:322x e >.
20．（本题满分14分）
解：在区间()0,+∞上,11()ax f x a x x
-'=-=. ………1分 ①若0a ≤,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,无极值； ………4分 ②若0a >,令()0f x '=得: 1
x a =. 在区间1
(0,)a 上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1
(,)a +∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数;
在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11
()ln 1ln 1f a a a =-=--.
综上所述，①当0a ≤时,()f x 的递增区间()0,+∞,无极值；
③当0a >时，()f x 的是递增区间1(0,)a ，递减区间是1
(,)a +∞，
函数()f x 的极大值为1
()ln 1f a a =--.
(2) 0,f =∴1
2-=，解得:a =∴()ln
f x x x =. 又3
23()022e f e =->Q ,5325()022e f e =-<,35
22()()0f e f e ∴⋅<
由(1)函数()f x 在)+∞递减,故函数()f x 在区间35
22(,)e e 有唯一零点, 因此3
22x e >. …12分。