《剩余类及其运算》课件-优质公开课-人教A版选修4-6精品

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例4 设miN（1 i n），则当xi通过模mi（1 i n） 的完全剩余系时， x = x1 m1x2 m1m2x3 L m1m2 L mn 1xn 通过模m1m2 L mn的完全剩余系。
L
证明 对n施行归纳法。 当n = 2时，结论成立。 假设定理结论当n = k时成立，
其中Kr (m) n n r(modm) ， 0 r m 1,
并且
(1) 任一整数n必包含且仅包含在某个K r (m )里；
(2)设 a, b Z，则a, b K r (m ) a b(mod m ).
二、完全剩余系 1.定义2 设m Z ，从模m的每一个剩余类里各取一个
即当xi（2 i k 1）分别通过模mi的完全剩余系时，
y = x2 m2x3 m2m3x4 L m2
L
mkxk 1
通过模m2m3mk 1的完全剩余系。
y = x2 m2x3 m2m3x4 L m2 L mkxk 1 通过模m2m3 L mk 1的完全剩余系。 由定理3，当x1通过模m1的完全剩余系， xi（2 i k 1）通过模mi的完全剩余系时， x1 m1y = x1 m1(x2 m2x3 L m2L mkxk 1) = x1 m1x2 m1m2x3 L m1m2 L mkxk 1 通过模m1m2 L mk 1的完全剩余系。 即结论对于n = k 1也成立。
{ax1 b, ax2 b, L , axm b}也是模m的完全剩余系。
xi x j .
注意：
(1)任意m个连续整数都能构成模m的一个完全剩余系； (2)在定理2中，条件(a, m) = 1不可缺少，否则不能 成立； (3) 定理2也可以叙述为：设m 1，a，b是整数， (a, m) = 1，若x通过模m的一个完全剩余系， 则ax+b也通过模m的一个完全剩余系； （4）特别地，若x通过模m的一个完全剩余系， (a, m) = 1,则ax和x+b也分别通过模m的一 个完全剩余系。
所以｛a，2a，3a，L ，(p 1)a，pa｝构成模p的 一个完全剩余系。
因此必有唯一的数b满足式b 1 (mod p)。
例2 设A = {x1, x2, L , xm}是模m的一个完全剩余系， 以{x}表示x的小数部分，证明：若(a, m) = 1，则 m axi b 1 { } (m 1) m 2 i 1
K1(5) = { n︱n 1 (mod 5)，nZ }
K2(5) = { n︱n 2(mod 5)，nZ }
K3(5) = { n︱n 3 (mod 5)，nZ }
K4(5) = { n︱n 4(mod 5)，nZ }
2.定理1
设m Z ，则全部整数分别在模m的m个剩余类K r (m )里.
证： 当x通过模m的完全剩余系时，ax b也通过 模m的完全剩余系， 因此对于任意的i（1 i m），axi b一定与且只与 某个整数j（1 j m）同余， 即存在整数k，使得 axi b = km j，（1 j m）
m m m 1 axi b j j j 从而 { } {k } { } { } m m i 1 j 1 j 1 m j 1 m m 1 1 m ( m 1) m 1 j . m 2 2 j 1 m m
定义1 给定m Z , 对每个r Z ,0 r m 1, 称集合

Kr (m) n n r(modm) 是模m的一个剩余类，
即 余数相同的整数构成m的一个剩余类。
注：一个剩余类中任意一个数称为它同类的数的剩余。
模5的五个剩余类是
K0(5) = { n︱n 0 (mod 5)，nZ }
m m ( m 1) m m 所以， ai i (mod m ) 同理， bi (mod m ) 2 2 2 i 1 i 1 i 1 m m
如果{a1 b1, a2 b2, L , am bm}是模m的完全剩余系， m m 则 (ai bi ) (mod m ) 不可能！ 2 i 1 m m m m m m m 从而0 = ai bi (ai bi ) (mod m ) 2 2 2 2 i 1 i 1 i 1
如，集合{0, 1, 2, 3, 4}是模5的最小非负完全剩余系。
集合{0, 6, 7, 13, 24}是模5的一个完全剩余系，
例1 写出模7（或8）的最小非负完全剩余系和绝对 最小完全剩余系 解：模7的最小非负完全剩余系为0,1,2,3,4,5,6
模7的绝对最小完全剩余系为-3,-2,-1,0,1,2,3
那么，{b+x1, b+x2,
L , b+ xm}和 {ax1, ax2, L ,axm}
是模m的一个完全剩余系吗？
m 6, b 2 m 5, b 2 m 5, a 2 m 6, a 2
定理2设m 1，a，b是整数，(a, m) = 1，{x1, x2,
L
, xm}
4、剩余系间的联系 定理3 若m1, m2N，(m1, m2) = 1，当x1与x2分别通过 模m1与模m2的完全剩余系时， 则 m2x1 m1x2通过模m1m2的完全剩余系。
例3 设m > 0是偶数，{a1, a2,L , am}与{b1, b2,
L
, bm}

都是模m的完全剩余系， 则{a1 b1, a2 b2, L , am bm}不是模m的完全剩余系。 证 由{1, 2, L , m}与{a1, a2, L , am}都是模m的完全 剩余系，
例1 设p 5是素数，a{ 2, 3, L , p 1}，则 在数列a，2a，3a，L ，(p 1)a，pa中有且仅有 一个数b，满足 b 1 (mod p). 证 ： 因为｛1，2，3， L ，(p 1)，p｝是模p的 一个完全剩余系，
p是素数，a p (a , p) 1
1
剩余类与完全剩余系 引言 一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0， 1，2，3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表
明，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。
这样一来，按模n是否同余对整数集进行分类，可 以将整数集分成n个两两不相交的子集。
一、剩余类 1.剩余类 ——按余数的不同对整数分类
数xi ,0 i m 1, 称集合 x0 , x1 ,L , xm 1 是模m的一个
完全剩余系，简称完全系.
注：① 模m的一个完全剩余系有且仅有m个整数； ②完全剩余系不唯一；
③若把剩余系作为一个集合，则同一剩余类里 的整数，看作同一元素。
2.定义3： ①0,1, 2, L , m 1这m个整数叫做模m的最小非负 完全剩余系； m m ② 当 2 | m时， { 1, L , 1, 0, 1, L , } 2 2 m m 和{ , L , 1, 0, 1, L , 1 } 2 2 叫做模m的绝对最小完全剩余系。 m 1 m-1 ③当2不整除m时， ,L , 1, 0,1,L 2 2 叫做模m的绝对最小完全剩余系。
3、完全剩余系的构造
推论 m个整数作成模m的完全剩余系的充要条件是
两两对模m不同余。 注：由定理1及定义2易得证。 思考：1、既然完全剩余系是不唯一的，不同的剩余系 之间存在什么关系呢？ 2、一个完全剩余系的所有元素通过线性变换 后，还是完全剩余系吗？
检验：设{x1, x2,
L
, xm}是模m的一个完全剩余系，
是模m的一个完全剩余系，则 证明 由定理1，只需证明：若xi xj，1 i , j m 则 axi b axj b (mod m)。
假设 axi b axj b (mod m)， 则 axi axj (mod m)， 且(a, m) = 1， 由§3.1中的结论,P50第三行知：xi xj (mod m)