高中数学人教B版必修一练习：2.4.1 函数的零点

2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
【选题明细表】
1.下列函数不存在零点的是( D )
(A)y=x-
(B)y=
(C)y=
(D)y=
解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1;
只有选项D中函数不存在零点.故选D.
2.函数f(x)=的零点个数是( C )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
解析:法一x<0时,令x+2=0,得x=-2;
x>0时,令x2-1=0,得x=1.
所以函数有两个零点,
故选C.
法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.
故选C.
3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )
(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2
(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1
解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,
所以g(x)的零点为1.
由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.
只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.
4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .
解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,
所以2×-a×+3=0,
所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,
所以f(1)=0.
答案:0
5.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .
解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,
则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,
故x1+x2+x3+x4+x5=0.
答案:0
6.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )
(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)
(C)(0,2) (D)(-∞,2]
解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.
7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )
(A)[-,-) (B)[-,)
(C)[-,) (D)[-,+∞)
解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,
即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.
设f(x)=x2-x.
因为f(x)=x2-x=(x-)2-,
所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.
所以k∈[-,), 故选C.
8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )
(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1
解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),
因为其图象经过(0,1)点,
所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.
法二设方程两根为x1,x2,由题意得
所以所以a<0.
故选A.
9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.
解析:当a=0时,函数为y=-x-1,
此时函数只有一个零点,
当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,
即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,
所以Δ=1+4a=0,解得a=-.
答案:0或-
10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).
(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;
(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,
所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.
Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.
当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;
当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.
(2)已知a≠0,
则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,
即m2-4am+4a>0恒成立,
所以Δ′=16a2-16a<0,
从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).
11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知,解得
故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.
(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)
=7x2-(13+m)x-(m+2),
由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,
在(1,2)内有一个零点,
所以即
解得解得-4<m<-2,
所以实数m的取值范围为(-4,-2).
12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围. 解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.
因为x0是f(x)的不动点,
所以-x0-3-x0=0,
即-2x0-3=0,
解得x0=-1或x0=3.
所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.
(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点, 所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解. 即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,
ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根, 所以b2-4a(b-1)>0恒成立,
即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.
所以0<a<1.。