《高等数学》训练题：导数的应用及答案

1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）．
]1,1[,)()](2
,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-=
x x f D x x f C x x f B x x f A π
π 2、函数f(x)=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理结论的ξ=（ ）．
（A ） 0（B ）
2
π（C ）π （D ）23π
3、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（ ）．
（A ）)ln(ln x （B ） x ln （C ）)2ln(x - （D ）
x
ln 1
4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（ ）．
(A) 4
3-
(B)0 (C) 43
(D) 1
5、函数x
x y 4
+
=的单调减区间为（ ）． (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（ ）．
(A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在（a ，b ）内，0)(,0)(<''<'x f x f ，则f(x)在（a ，b ）内为（ ）．
(A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是（ ）．
（A ）（1，6）（B ） （2，3）（C ） （2，4）（D ） （3，2）
9、()y f x =在(a,b)内可导，且12a x x b <<<，则下列式子正确的是（ ）．
（A ）在12(,)x x 内只有一点ξ，使
2121
()()
()f x f x f x x ξ-'=-成立；
（B ）在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立；（C ）在1(,)a x 内至少有一点ξ，使 11()()
()f x f a f x a
ξ-'=-成立；
（D ）在12(,)x x 内至少有一点ξ，使
2121
()()
()f x f x f x x ξ-'=-成立．
10、求下列极限时，（ ）可用罗必达法则得出结果．
（A ）sin lim sin x x x x x →∞-
+；（B ）22sin lim x x x →∞； （C ）lim
x →+∞； （D ）lim (arctan )2x x x π→+∞-． 11、下列命题中正确的是（ ）．
（A ）若0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=；（B ）若0()0f x '=，则0x 必为()f x 的极值点； （C ）若()f x 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值；
（D ）若0为函数的极值点，则0或0不存在． 12、设0x x =为()y f x =的驻点，则()y f x =在0x 处必定（ ）．
（A ）不可导 （B ）不连续 （C ）有极值 （D ）曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行x 轴． 13、曲线ln 1x
y x
=
+，则（ ）． （A ）有一条水平渐近线（B ）有一条铅直渐近线（C ）有一条水平渐近线，又有一条铅直渐近线（D ）没有水平与铅直渐近线
14、432y x x =-在其定义域内（ ）．
（A ）有两个极值点（B ）有一个极值点（C ）有三个极值点（D ）无极值点 15、曲线1
11
y x =
++的渐近线是（ ）． （A ）只有一条水平渐近线（B ）只有一条铅直渐近线（C ）有一条水平渐近线和一条铅直渐近线（D ）无渐近线
16、设函数()f x 在[0,1]上可导, ()0f x '>,并且(0)0,(1)0f f <>,则()f x 在(0,1)内( ). （A ）至少有两个零点（B ）有且仅有一个零点（C ）没有零点（D ）零点个数不能确定 17、曲线24624y x x x =-+的凸区间是（ ）。

（A ）(2,2)-（B ）(,0)-∞（C ）(0,)+∞（D ）(,)-∞+∞ 18、函数x y e -=在定义域内是严格单调（ ）。

（A ）递增且是凹的（B ）递增且是凸的（C ）递减且是凹的（D ）递减且是凸的 19、设3
1()3
f x x x =
-，则1x =为()f x 在[-2,2]上的（ ）。

（A ）极小值点，但不是最小值点（B ）极小值点，也是最小值点（C ）极大值点，但不是最大值点（D ）极大值点，也是最大值点
20、函数arctan y x x =-在(,)-∞+∞内是（ ）。

（A ）单调递增（B ）单调递减（C ）不单调（D ）不连续 二、填空题
21、02lim
_________sin x x x e e x x x
-→--=-． 22、0lim _______sin x x
x e e x -→-=． 23、201
sin
lim _______sin x x
x x →=． 24
、lim
_______x x =． 25、0
lim _______x x +
→=． 26、曲线)1ln(2x y +=的拐点是_______________．
27、若1
()sin sin 33
f x a x x =+在3
x π
=
处有极值，则a=_____________．
28、曲线y xe =的凹区间是_____________．
29、设函数()f x 在0x 处可导，则0x 为()f x 的极值点是0x 为()f x 的驻点的_____________条件． 30、设函数()f x 二阶可导，则()f x 的二阶导数为0的点是曲线()y f x =的拐点的_______条件． 三、计算题
31、0cos lim sin x x e x
x
→-． 32、30sin lim x x x x →-． 33、1ln(1)lim
tan
2x x x x
π
→+
--． 34、()1
lim sin 2cos x
x x x →+．
35、40[sin sin(sin )]sin lim
x x x x x →-。

36、30arctan lim ln(12)
x x x
x →-+。

37、201
1lim tan x x x x →⎛⎫-
⎪⎝
⎭。

38、0
x → 39、2
sin 0
lim(13)
x
x x →+。

40、0
1
1limcot sin x x x x →⎛⎫-
⎪⎝⎭。

41、20ln(1sin 2)
lim arcsin()
x x x x →++。

42、1
lim(1)x x x →∞+。

四、综合题 43、讨论函数2
1)(x
x
x f +=的单调区间和极值． 44、求函数ln x
y x
=
的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点。

45、设曲线cx bx ax y ++=2
3
在点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求此曲线方程． 五、证明题
46、用拉格朗日中值定理证明：0,
ln a b a a b
a b a b b
-->><<． 47、利用函数的单调性证明：0ln(1)1x
x x x
∀><++，有不等式
． 48、设2
e a b e <<<，证明2
2
24
ln ln ()b a b a e
->
-。

六、应用题
49、设有一长8cm 、宽5cm 的矩形铁片，在每个角上剪去同样大小的正方形．问剪去正方形的边长多大，才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积为最大．
50、一房地产公司有50套公寓要出租．当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费．试问房租定为多少时可获得最大收入？最大收入是多少？
21、2． 22、2． 23、0． 24、1． 25、0． 26、(1,ln 2),(1,ln 2)-． 27、2． 28、(2,)+∞． 29、充分非必要条件．
30、必要非充分条件． 三、计算题
31、1． 32、16． 33、0． 34、2
e ． 36、16-． 35、原式=3220000sin sin(sin )cos cos cos(sin )1cos(sin )cos sin(sin )1
lim
lim lim lim 3366
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---⋅====． 37、原式=2223320000tan tan sec 12sec tan 1
lim lim lim lim tan tan 363
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---=⋅===． 38、原式=22000112lim 24
x x x x x →→→-===-． 39、原式=60
023213limexp ln(13)limexp sin cos x x x x e x x →→⋅⎧⎫⎪⎪⎧⎫
++==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪
⎩⎭
．
40、原式=30001
1sin sin 1limcot lim lim sin sin tan 6x x x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭
. 41、2． 42、1． 四、综合题
43、f(x)在(,1),(1,)-∞-+∞上单调减少，在（-1，1）上单调增加；极大值为1
(1)2
f =
，极小值为
1
(1)2
f -=-．32(0,)e
45、3
3y x x =-+. 五、证明题
46、提示：对函数()ln f x x =在[a,b]上用拉格朗日中值定理． 47、证明：设函数()ln(1)1x
f x x x
=+-+，则f(x)在区间[0,)+∞上连续． 又22
11()111x f x x x x '=
-=+++（）（）
．当x>0时，有()0f x '>，所以f(x)在区间[0,)+∞上单调增加． 因此当x>0时，有f(x)>f(0)=0，即ln(1)01x
x x
+->+．
故当x>0时，有 ln(1)1x x
<++．
48、提示：由题设所给待证不等式的结构形式，可引入辅助函数2
2
4
()ln f x x x e =-． 则22ln 41ln ()2
,()2x x
f x f x x e x
-'''=-=．显然当x e >时，()0f x ''<， 即()f x '严格单调递减，(,)x e ∈+∞．所以当2
e x e <<时2()()0
f x f e ''>=．
因此当2
e x e <<时，()
f x 严格单调递增，即()()f a f b <，从而222244ln ln b b a a e e
->-，
所以22
24ln ln ()b a b a e
->-．证毕．
六、应用题
49、当剪去小正方形的边长为1cm 时，做成的开口盒子的容积最大． 50、当每套月租金为1800元时，收入最大；最大收入为57800元．。