上海普陀区兰田中学2014-2015学年九年级第一学期10月月考试卷

上海普陀区兰田中学2014-2015学年九年级第一学期
10月月考试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1.下列各组图形中，一定相似的是（）
（A）两个矩形；（B）两个菱形；（C）两个正方形；（D）两个等腰梯形；解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．
两个腰长相等的等腰梯形、两个矩形、两个菱形都属于形状不唯一确定的图形．故
A、B、D错误；选C
2. 已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米那，么这个建筑物的高为（）
（A）30米（B）40米（C）50米（D）60米
3. 已知线段a,b,c,作线段x.使a：b=c：x，则正确的做法是（）（A）（B）
（C）（D）
答案：B
根据平行线的性质一一分析．
解：A 、根据平行线的性质得a ：b=x ：c ，故此选项错误； B 、根据平行线的性质得a ：b=c ：x ，故此选项正确； C 、根据平行线的性质得x ：b=a ：c ，故此选项错误； D 、根据平行线的性质得a ：b=x ：c ，故此选项错误． 故选B ．
（C ）21//l l 直线 DG AG =∴
（D ）EF
BC = 321////l l l 直线∴
第4题
解析：根据平行线分线段成比例定理，DF
DE
BC AB =
321////l l l 直线∴ 故D 错误.
5.如图，在三角形ABC 中，DE//BC,DF//AC.那么下列比例式正确的是（ ）
（A ）BC DE EC AE = （B ）FB CF EC AE = （C ）BC BF AC DF = （D ）BC
FC
AC EC =
解析：根据三角形一边的平行线的性质定理及推论：DE//BC,DF//AC （A ）应为
BC DE AC AE =.（B ）应为
FC BF EC AE =.（D ）应为BC BF
AC EC =
故选C
6.已知非零向量，
和单位向量e ，则下列等式中正确的是（ ） （A
=
（B e
= （C = （D =
B 、
C 、
故选C.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7.如果,5
32c
b a ==3a+b-c=4,那么a=___________
解析：设a=2k ，b=3k ，c=5k 则6k+3k-5k=4，k=1.a=2k=2.
钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的，在一幅比例尺是1:100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向实际长大约为________ 米. 考点：比例线段．
分析：根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 解答：解：根据题意，3.5÷（1：100000）=350000厘米=3500米． 即它的东西走向实际长大约为3500米． 故答案为：3500．
点评：考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用． 9.线段c 是线段a 和线段b 比例中项，如果a=4cm,b=3cm,那么c=_____cm. 解析：由比例中项的定义知1234ab c 2=⨯==，c=±26，因为c 是线段，所以c=26cm
10.已知AB=2cm,点M 在线段AB 上，且AB BM AM ∙=2,则BM:AM 的比值是_____.
解析：由黄金分割定义及点M 在线段AB 上，且AB BM AM ∙=2知，AM ＞BM,
2
1
5-=
=AB AM AM BM 所以BM:AM 的比值是
2
1
-5 11.如果两个相似三角形的周长是4:9，那么它们的相似比是_______. 解析：两个三家形相似，周长比等于相似比，故相似比为4:9. 12.在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，且ACB ADC ∠=∠,AD=4，BD=5，则AC=_____. 解析：角A 相等，角ADC=∠ACB
所以三角形ADC 相似于三角形ACB 所以AD ：AC=AC ：AB AC 的平方=AD*AB=36 所以AC=6
13.如图，AB//CD,AD,BC 相交于点E ，如果AE=3，AD=8，CD=15，那么AB=_____.
第13题图 解析：因为AB//CD
所以CD AB ED AE =,故15
53AB
=，AB=9 14.已知直角三角形ABC 中，角ACB=090,AB CD ⊥,CD=6，AD=3，则BD=_____. 考点：相似三角形的应用 因为角ACB=090,AB CD ⊥
所以根据互余的角可知角A 等于角BCD
所以三角形ACD 与三角形CBD 相似
所以BD AD CD ⋅=2
所以BD=12
如图在三角形ABC 中，AD 是中线，G 是重心，==,，那么=______. (用表示)
第15题图
16.如图，矩形DEFG 内接于三角形ABC,BC=6cm ，DE=3cm ，EF=2cm ，则BC 边上的高的长是________cm.
第16题图
过A 作AH 垂直于BC ，垂足为H,交GF 边为M
因为矩形DEFG 内接于三角形ABC ，GF=DE=3cm,MH=2cm 所以GF//BC
所以三角形AGF 相似于三角形ABC
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高线的比等于相似比
得：AH AM
BC GF = AH
AH 263-= AH=4cm
17.如图，梯形ABCD 中，AD//BC,对角线AC 、DB 交于点O,如果41:：=∆∆BO C AO D S S ,那么ABD AOD S S ∆∆:的值是________.
第17题图
因为梯形ABCD 中，AD//BC,对角线AC 、DB 交于点O 所以AD//BC
AOD ∆∽BOC ∆
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方 得
21
=OB OD 而AOD ∆与ABD ∆等高 所以ABD AOD S S ∆∆:=OD:DB=1：3
18.在ABC ∆中，040=∠ABC ,AD 是ABC ∆的高，如果ACD ABD ∆∆和相似，那么
ACB ∠的度数为_________.
解：当AD 在三角形内部时 ∵AD 是△ABC 的高 ∴AD ⊥BC
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°
∴∠ABC+∠BAD ＝90°, ∠ACB+∠CAD ＝90° ∵△ABD 相似于△ACD
∴∠ABC ＝∠ACB 或∠ABC ＝∠CAD ∵∠ABC ＝40°
∴∠ACB ＝40°或∠CAD ＝40° ∴当∠CAD ＝40°时
∠ACD ＝90°-∠CAD ＝90°-40°＝50° ∴∠ACB ＝40°或∠∠ACB ＝50°
当AD 在三角形外部时，有∠CAD=∠ABC ＝40°，此时∠ACB=130° 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）
如图，已知两个不平行的向量,.先化简，再求作：)42(2
1
)21(2b a b a --+.
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
20.（本题满分10分）
如图，在直角三角形ABC 中，O D BC AD BAC 点于点，,900⊥=∠是AC 边上
一点，连接BO 交AD 于点F ，OB OE ⊥交BC 边于点E ，求证：
COE ABF ∆∆相似于.
21. （本题满分10分）
如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结CP 并延长，交AD 于点E,交BA 的延长线于点F. (1)求证：;2PF PE PC ∙=
(2)若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB 的长.
22. （本题满分10分）
如图，已知：在直角三角形ABC 中，090=∠ACB ,AC=BC=4，M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，045=∠EMG ，AC 与MG 的延长线相交于点F. (1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
(2)联结EG ，当AE=3时，求EG 的长.
23.（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图，在三角形ABC 中，AC BD ⊥于点D,AB CE ⊥于点E,EC 和BD 相交于点O,联接DE.
解析：
（1）首先证明△BOE∽△COD，由相似三角形的性质可得，又因为∠EOD=∠BOC，所以：△EOD∽△BOC；
（2）由面积之比可得到对应边之比即，在△ODC与△EAC中，因为∠AEC=∠ODC，∠OCD=∠ACE，所以△ODC∽△AEC，利用相似的性质即可求
出的值
24. （本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第(3)小题满分6分）
在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，E 是AB 边上一点，CE EF ⊥交AD 于点F,过点E 作BEC AEH ∠=∠,交射线FD 于点H,交射线CD 于点N.
（1）如图a ，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；
（2）如图b ，当点H 在线段FD 上时，设BE=x ，DN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）连接AC ，当△FHE 与△AEC 相似时，求线段DN 的长．
前两问已做，求第三问的解题思路和做法
解（1）∵EF ⊥EC ∴∠AEF+∠BEC=90°
∵∠AEF=∠BEC ∴∠BEC=45°
∵∠B=90° ∴BE=BC ∵BC=3 ∴BE=3
(2)过点E 作EG ⊥CN,垂足为点G
∴BE=CG ∵AB ∥CN ∴∠AEH=∠N,∠BEC=∠ECN
∵∠AEH=∠BEC ∴∠N=∠ECN ∴EN=EC
∴CN=2CG =2BE
∵BW=X,DN=Y,CD=AB=4 ∴Y=2X-4(2≤X≤3)
（3）∵∠BAD=90° ∴∠AEF+∠AFE=90°
∵EF ⊥EC ∴∠AEF+∠CEB=90°
∴∠AFE=∠CEB ∴∠HFE=∠AEC
当△FHE与△AEC相似
❶∠FHE=∠EAC
∵∠BAD=∠B,∠AEH＝∠BEC ∴∠FHE＝∠ECB ∴∠EAC＝∠ECB ∴tan∠EAC＝tan∠ECB ∴BC:AB=BE:BC ∴BE=9／4 ∴DN＝½
❷若∠FHE＝∠ECA,作EG⊥DC于G，交AC于O
∵EN=EC EG⊥CN ∴∠NEG=∠GEC
∵AH∥EG ∴∠FHE=∠NEG ∴∠FHE=∠GEC
∴∠GEC=∠ECA ∴EO=OC
设EO=C0=3K 则AE=4K AO=5K
AO+CO=8K=5 ∴K＝⅝
∴AE＝5／2,BE=3／2
∴DN=1。