高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第六周)文(含解析)-人教版高三全册数学试题

每日一题 规X 练(第六周)
星期一 2020年4月27日
[题目1] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x －1(x ∈R)．
(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；
(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．
解：(1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2
x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
所以函数f (x )的最小正周期为π. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.
(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，
又x 0∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－
1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，
所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6
＝－45×32＋35×12＝3－43
10
.
星期二 2020年4月28日
[题目2] 已知数列{a n }的首项a 1＝3，a 3＝7，且对任意的n ∈N *
，都有a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝
0，数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，n ∈N *
.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)求使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2019成立的最小正整数n 的值． 解：(1)令n ＝1，则a 1－2a 2＋a 3＝0，得a 2＝5. 又由a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，得a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N *
)， 故数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝2的等差数列． 所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. 于是b n ＝a 2n －1＝2·2
n －1
＋1＝2n
＋1.
(2)由(1)可知，b n ＝2n
＋1.
于是b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋22
＋23
＋ (2)
)＋n ＝2（1－2n
）1－2
＋n ＝2n ＋1
＋n －2.
令f (n )＝2
n ＋1
＋n －2，易知f (n )是关于n 的递增函数．
又f (9)＝210
＋9－2＝1031，f (10)＝211
＋10－2＝2056. 故使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2019成立的最小正整数n 的值是10.
星期三 2020年4月29日
[题目3] 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．
(1)求四棱锥P-ABCD 的体积； (2)求证：AG ∥平面PEC ； (3)求证：平面PCD ⊥平面PEC .
(1)解：易知V 四棱锥P-ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×2×2×2＝8
3
.
(2)证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF 和FG ， 则易得AE ∥FG ，
且AE ＝1
2
CD ＝FG ，
所以四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 因为EF ⊂平面PEC ，AG ⊄平面PEC ， 所以AG ∥平面PEC .
(3)证明：易知CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，
因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .
又AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG .
易知PD ⊥AG ，因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，
CD ⊂平面PCD ，
所以AG ⊥平面PCD ，所以EF ⊥平面PCD . 又EF ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .
星期四 2020年4月30日
[题目4] 2019年国际篮联篮球世界杯，于2019年8月31日至9月15日在中国的、某某、某某、某某、某某、某某、某某、某某八座城市举办．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看篮球世界杯赛进行了问卷调查，统计数据如下：
(1)
(2)现从参与问卷调查且会收看篮球世界杯赛的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动．
(ⅰ)求男、女学生各选取多少人；
(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．
附：K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
解：(1)因为K 2
＝120×（60×20－20×20）
2
80×40×80×40
＝7.5＞6.635，
所以有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关． (2)(ⅰ)根据分层抽样的知识得，选取的男生有
6060＋20×4＝3(人)，女生有20
60＋20
×4＝1(人)，所以选取的4人中，男生有3人，女生有1人．
(ⅱ)设选取的3名男生分别为A ，B ，C ，1名女生为甲．
从4人中随机选取2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，甲)，(B ，C )，(B ，甲)，(C ，甲)，共6种情形，其中恰好选到2名男生，有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种情形．
所以所求概率P ＝36＝1
2
.
星期五 2020年5月1日
[题目5] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2
2
，
且|F 1F 2|＝2.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设椭圆的下顶点为B ，过右焦点F 2作与直线BF 2关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求△OMN 的面积．
解：(1)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，e ＝c a ＝2
2，解之得⎩⎨⎧a ＝2，
c ＝1. 所以b 2
＝a 2
－c 2
＝1.
所以椭圆E 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)依题意，直线l 与直线BF 2关于x 轴对称， 所以k l ＋k BF 2＝0.
由(1)问的椭圆方程x 2
2＋y 2
＝1，知F 2(1，0)，B (0，－1)．
所以k BF 2＝－1－0
0－1＝1，从而k l ＝－1，
所以直线l 的方程为y －0＝－1×(x －1)， 即x ＋y －1＝0.
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2
2
＋y 2
＝1⇒3x 2
－4x ＝0. 解得x ＝0或x ＝4
3.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 不妨设x 1＝0，x 2＝4
3
.
所以当x 1＝0时，y 1＝1；当x 2＝43时，y 2＝－1
3.
所以M (0，1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
3，－13.
因此|MN |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋132
＝423.
设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝
12 .
故S △OMN ＝12·|MN |·d ＝12×423×12＝2
3
.
星期六 2020年5月2日
[题目6] 已知函数f (x )＝x 2
－a 2ln x 的图象在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线斜率为0.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若g (x )＝f (x )＋1
2mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，某某数m 的取值X 围．
解：(1)f (x )的定义域(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －a
2x
.
因为f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1－a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 2
－12
ln x ，
f ′(x )＝2x －1
2x
＝
（2x －1）（2x ＋1）
2x
.
令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1
2
.
故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
(2)g (x )＝x 2
－12ln x ＋12
mx ，
由g ′(x )＝2x －12x ＋m 2＝4x 2
＋mx －1
2x ＝0，
得x ＝－m ±m 2
＋168，设x 0＝－m ＋m 2
＋16
8
，
所以g (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上为增函数． 因为g (x )在区间(1，＋∞)上没有零点， 所以g (x )＞0在(1，＋∞)上恒成立， 由g (x )＞0，得12m ＞ln x
2x
－x .
令h (x )＝ln x 2x －x ，则h ′(x )＝2－2ln x －4x
2
4x 2
. 当x ＞1时，h ′(x )＜0，
所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减； 所以当x ＝1时，h (x )的最大值为－1， 所以m
2
≥－1，即m ≥－2. 所以实数m 的取值X 围是[－2，＋∞)．
星期日 2020年5月3日
[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3
2
t ，y ＝12
t
(t 为参数)．以质点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为
ρ2＝
3
1＋2sin 2
θ
. (1)求曲线E 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解：(1)E 的方程可化为ρ2
＋2ρ2
sin 2
θ＝3， 将ρ2
＝x 2
＋y 2
，y ＝ρsin θ代入得x 2
＋3y 2
＝3. 所以曲线E 的直角坐标方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)直线l 过定点P (1，0)，将直线l 的参数方程代入曲线E 的方程得3t 2
＋23t －4＝0.
t 1＋t 2＝－
233，t 1t 2＝－4
3
. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝215
3
. 2．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x |，g (x )＝m |x －3|.
(1)若m ＝2，且f (x )－g (x )≥0在[a ，a ＋1]上恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)若当x ＞5时，函数g (x )的图象恒在函数f (x )图象的上方，某某数m 的取值X 围． 解：(1)当m ＝2时，f (x )－g (x )＝|x |－2|x －3|＝
⎩⎪⎨⎪
⎧x －6，x ＜0，3x －6，0≤x ＜3，6－x ，x ≥3.
若f (x )－g (x )≥0，解得2≤x ≤6，
要使得函数f (x )－g (x )≥0在[a ，a ＋1]上恒成立，
必须满足[a ，a ＋1]⊆[2，6]，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤6，
解得2≤a ≤5.所以实数a 的取值X 围是[2，5]．
(2)当x ＞5时，若函数g (x )的图象恒在函数f (x )图象的上方， 即g (x )－f (x )＞0在(5，＋∞)上恒成立， 所以m |x －3|－|x |＞0，即m ＞|x |
|x －3|
恒成立．
当x ＞5时，因为|x ||x －3|＝x x －3＝x －3＋3x －3＝1＋3x －3＜1＋35－3＝5
2
，
所以m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫52，＋∞.。