┃精选3套试卷┃2019届上海市嘉定区九年级上学期数学期末调研试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
【答案】C
【分析】连接CE，先由三角形内角和定理求出∠B的度数，再由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质求出∠CEA的度数，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半即可解答．
【详解】解：连接CE，
∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，
∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠BCE+∠B＝30°，
∵Rt△AEC中，AC＝8cm，
∴CE＝2AC＝16cm，
∵BE＝CE，
∴BE＝16cm．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．2．正六边形的周长为12，则它的面积为（）
A3B．33C．43D．63
【答案】D
【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为12，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=1
6
×360°=60°，
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∵正六边形ABCDEF的周长为12，∴BC=12÷6=2，
∴OB=BC=2，∴BM=1
2
BC=1，
∴OM=22
OB BM
=3，
∴S△OBC=1
2
×BC×OM=
1
2
×2×3=3，
∴该六边形的面积为：3×6=63．
故选：D．
【点睛】
此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）
A．0.55米B．11
30
米C．
13
30
米D．0.4米
【答案】B
【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝5
4
，A（0，0.8），C
（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为x＝1.25＝5
4
，A（0，0.8），C
（3，0），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
∴
930
5
24
0.8
a b c
b
a
c
++=
⎧
⎪⎪
-=
⎨
⎪
=
⎪⎩
，
解得：
8
15
4
3
4
5
a
b
c
⎧
=-
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
，
所以解析式为：y＝
8
15
-x2+
4
3
x+
4
5
，
当x＝2.75时，y＝
13
30
，
∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣
13
30
＝
11
30
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键
4．如果2
a b
=（a，b均为非零向量），那么下列结论错误的是（）
A．a//b B．a-2b=0 C．b=
1
2
a D．2
a b
=
【答案】B
【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.
a b
-=故错误.
故选B.
5．已知二次函数233
y x mx n
=-+-的图像与x轴没有交点，则( )
A ．423m n +＞
B ．423m n +＜
C ．423m n -＜
D ．423
m n -＞ 【答案】C 【分析】若二次函数233y x mx n =-+-的图像与x 轴没有交点，则0∆＜，解出关于m 、n 的不等式，再分别判断即可；
【详解】解：233y x m n =-+-与x 轴无交点，2239120,4m n n m ∴∆=-<∴>
， 22334442244333
m n m m m ⎛⎫∴++=+-≥- ⎪⎝⎭＞，故A 、B 错误； 同理：2
2334442244333m n m m m ⎛⎫-<-=--+≤ ⎪⎝⎭； 故选C .
【点睛】
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键.
6．如图，在正三角形ABC 中，D,E,F 分别是BC,AC,AB 上的点，DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ）
A ．1∶3
B ．2∶3
C 3 2
D 3 3
【答案】A 【解析】∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，
∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠C=∠FDE ，
同理可得：∠B=∠DFE ，∠A=DEF ，
∴△DEF ∽△CAB ，
∴△DEF 与△ABC 的面积之比=2
DE AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 又∵△ABC 为正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°
∴△EFD 是等边三角形，
∴EF=DE=DF ，
又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴△AEF≌△CDE≌△BFD，
∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，
在Rt△DEC中，
DE=DC×sin∠C=3
DC，EC=cos∠C×DC=
1
2
DC
，
又∵DC+BD=BC=AC=
3
2
DC，
∴
3
3
2
33
2
DC
DE
AC DC
==，
∴△DEF与△ABC的面积之比等于：
2
23
1:3
DE
AC
⎛⎫
⎛⎫
==
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故选A．
点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边
DE
AC
之比，进而得到面积比．
7．如图为二次函数()
20
y ax bx c a
=++≠的图象，则下列说法：①0
a>；②20
a b
+=；③0
a b c
++>；④0
>；⑤420
a b c
-+<，其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线的开口向下可知a<0，由此可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；根据x=1时y 的值可判断③；根据抛物线与x轴交点的个数可判断④；根据x=-2时，y的值可判断⑤.
【详解】抛物线开口向下，∴a<0，故①错误；
∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=
2
b
a
-=1，∴2a+b=0，故②正确；
观察可知当x=1时，函数有最大值，a+b+c>0，故③正确；
∵抛物线与x轴有两交点坐标，
∴△>0，故④正确；
观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即4a-2b+c<0，故⑤正确，
故选D.
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-2b a ；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．
8．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ） A ．35 B ．38 C ．58 D ．34
【答案】B
【解析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
【详解】因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是38． 故选B ．
【点睛】
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．抛物线223y x x =--的对称轴是（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ．2x =
D ．2x =- 【答案】A
【分析】直接利用对称轴为2b x a =-
计算即可． 【详解】∵21221b x a -=-
=-=⨯， ∴抛物线223y x x =--的对称轴是1x =，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数对称轴的求法是解题的关键．
10．如图，一次函数1
y ax b 和反比例函数2k y x
=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )
A ．20x -<<或04x <<
B ．2x <-或04x <<
C ．2x <-或4x >
D ．20x -<<或4x >
【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.
【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，
故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.
11．已知关于x 的方程x 2﹣3x+2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞98
B ．k ＜98
C ．k ＜﹣98
D ．k ＜89
【答案】B
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，
解得k ＜98
． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．
12．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，
下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.1．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A ．4cm
B ．6cm
C ．8cm
D ．10cm 【答案】C
【分析】根据比例关系即可求解.
【详解】∵模特身高165cm ，下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.1， ∴165
x ＝0.1， 解得：x ＝99，
设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得：99165y y
++＝0.612， 解得：y ≈2．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例关系的定义.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
【解析】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7. 14．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．
【答案】2π
【解析】试题分析：如图，
∠BAO=30°，3，
在Rt △ABO 中，∵tan ∠BAO=BO AO ， ∴3tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴22(3)12-=，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=121222
ππ⨯⨯⨯=． 考点：圆锥的计算．
15．若二次函数y ＝mx 2+2x+1的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 _____．
【答案】m≤1且m≠1．
【分析】由抛物线与x 轴有公共点可知△≥1，再由二次项系数不等于1，建立不等式即可求出m 的取值范围.
【详解】解：y ＝mx 2+2x+1是二次函数，
∴m≠1，
由题意可知：△≥1，
∴4﹣4m≥1，
∴m≤1
∴m≤1且m≠1
故答案为m≤1且m≠1．
【点睛】
本题考查二次函数图像与x 轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键.
16．如图，若点P 在反比例函数y ＝﹣3x （x ＜0）的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积为_____．
【答案】1
【分析】设PN ＝a ，PM ＝b ，根据P 点在第二象限得P （﹣a ，b ），根据矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设PN ＝a ，PM ＝b ，
∵P 点在第二象限，
∴P （﹣a ，b ），代入y ＝
3x
中，得 k ＝﹣ab ＝﹣1，
∴矩形PMON 的面积＝PN•PM ＝ab ＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何意义，即S 矩形PMON =K
17．如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转55︒得到ADE ∆，点B 的对应点是点D ，直线BC 与直线DE 所夹的锐角是_______.
【答案】55︒
【分析】延长DE 交AC 于点O ，延长BC 交DE 的延长线于点F ，然后根据旋转的性质分别求出∠EAC=55°，∠AED=∠ACB ，再根据对顶角相等，可得出∠DFB=∠EAC=55°.
【详解】解：延长DE 交AC 于点O ，延长BC 交DE 的延长线于点F
由题意可得：∠EAC=55°，∠AED=∠ACB
∴∠AEF=∠ACF
又∵∠AOE=∠FOC
∴∠DFB=∠EAC=55°
故答案为：55°
【点睛】
本题考查旋转的性质，掌握旋转图形对应角相等是本题的解题关键.
18．已知一元二次方程230x x a ++=的一个根为1，则a =__________．
【答案】-4
【分析】将x=1代入方程求解即可.
【详解】将x=1代入方程得4+a=0，
解得a=-4，
故答案为：-4.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解时将解代入方程求参数即可.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线
与BC 边相交于点D ．
（1）求点D 的坐标；
（2）若抛物线经过A 、D 两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、A 、M 为顶点的三角形与△ABD 相似，求符合条件的所有点P 的坐标.
【答案】（3）点D 的坐标为（3，3）；（3） 抛物线的解析式为23984y x x =-
+；（3） 符合条件的点P 有两个，P 3（3，0）、P 3（3，-4）.
【分析】（3）有题目所给信息可以知道，BC 线上所有的点的纵坐标都是3，又有D 在直线3942=-+y x 上，
代入后求解可以得出答案．
（3）A 、D ，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．
（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P 、A 、M 为顶点的三角形与△ABD 相似，所以应有∠APM 、∠AMP 或者∠MAP 等于90°，很明显∠AMP 不可能等于90°，所以有两种情况． 【详解】（3） ∵四边形OABC 为矩形，C （0，3） ∴BC ∥OA ，点D 的纵坐标为3． ∵直线39
42
=-+y x 与
BC 边相交于点D ， ∴39
3,242
x x -
+==． ∴点D 的坐标为（3，3）． （3） ∵若抛物线2y ax bx =+经过A （6，0）、D （3，3）两点，
∴3660423a b a b +=⎧⎨+=⎩
解得：38
9
4a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴抛物线的解析式为23984y x x =-+
（3） ∵抛物线239
84
y x x =-
+的对称轴为x=3， 设对称轴x=3与x 轴交于点P 3，∴BA ∥MP 3， ∴∠BAD=∠AMP 3．
①∵∠AP 3M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP 3． ∴P 3（3，0）．
②当∠MAP 3=∠ABD=90°时，△ABD ∽△MAP 3． ∴∠AP 3M=∠ADB
∵AP 3=AB ，∠AP 3P 3=∠ABD=90° ∴△AP 3P 3≌△ABD ∴P 3P 3=BD=4
∵点P 3在第四象限，∴P 3（3，-4）．
∴符合条件的点P 有两个，P 3（3，0）、P 3（3，-4）．
20．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于A 、B 两点．
（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． （提示：若平面直角坐标系内有两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则线段PQ 的长度221212()()x x y y -+-）． 【答案】（1）y=x+3；y=﹣x 2﹣2x+3；（2）M 的坐标是（﹣1，2）；（3）P 的坐标是（﹣1317
+1，
317
2
）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）． 【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC 和抛物线的解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x ＝−1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝−1代入直线y ＝x ＋3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （−1，t ），又因为B （−3，0），C （0，3），所以可得BC 2＝18，PB 2＝（−1＋3）2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝（−1）2＋（t−3）2＝t 2−6t ＋10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标． 【详解】（1）A （1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0）， 则B 的坐标是（﹣3，0）
根据题意得：30
3m n n -+=⎧⎨
=⎩
解得13
m n =⎧⎨
=⎩
则直线的解析式是y=x+3； 根据题意得：
解得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩
则抛物线的解析式是y=﹣x 2﹣2x+3
（2）设直线BC 与对称轴x ＝−1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小． 把x ＝−1代入直线y ＝x ＋3得，y ＝−1＋3＝2， ∴M （−1，2），
即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（−1，2）； （3）如图，设P （−1，t ）， 又∵B （−3，0），C （0，3），
∴BC 2＝18，PB 2＝（−1＋3）2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝（−1）2＋（t −3）2＝t 2−6t ＋10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2即：18＋4＋t 2＝t 2−6t ＋10解之得：t ＝−2； ②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2即：18＋t 2−6t ＋10＝4＋t 2解之得：t ＝4， ③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2即：4＋t 2＋t 2−6t ＋10＝18解之得：t 1＝
3172+，t 2＝317
2
-； ∴P 的坐标是（﹣1，
317+）或（﹣1，317
-）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．如图，已知抛物线2
14
y x bx c =
++经过ABC 的三个顶点，其中点(0,3)A ，点(12,15)-B ，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交与点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、
Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）21234y x x =
++；（2）(6,0)P -；（3）存在，116
(,3)3
Q - ，2(4,3)Q 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点P （m ，2
1234
m m ++），表示出PE ＝2134
m m --，再用S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝1
2AC ×PE ，
建立函数关系式，求出最值即可；
（3）先判断出PF ＝CF ，再得到∠PCA ＝∠EAC ，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况计算即可．
【详解】（1）∵点(0,3)A ，(12,15)-B 在抛物线上，
∴3
115144124c b c =⎧⎪⎨=⨯-+⎪⎩
， ∴2
3
b c =⎧⎨
=⎩，
∴抛物线的解析式为2
1234
y x x =
++， （2）∵AC ∥x 轴，A （0，3） ∴
2
1234
x x ++＝3， ∴x 1＝−6，x 2＝0， ∴点C 的坐标（−8，3）， ∵点(0,3)A ，(12,15)-B ， 求得直线AB 的解析式为y ＝−x ＋3，
设点P （m ，2
1234
m m ++）∴E （m ，−m ＋3） ∴PE ＝−m ＋3−（21234m m ++）＝2
134
m m --，
∵AC ⊥EP ，AC ＝8， ∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC
＝
12AC ×EF ＋
1
2
AC ×PF ＝12AC ×（EF ＋PF ） ＝12AC ×PE ＝12
×8×（2
134
m m -
-） ＝−m 2−12m
＝−（m ＋6）2＋36， ∵−8＜m ＜0
∴当m ＝−6时，四边形AECP 的面积的最大，此时点P （−6，0）； （3）∵2
1234y x x =
++＝21(4)14
x +-， ∴P （−4，−1），
∴PF ＝y F −y P ＝4，CF ＝x F −x C ＝4， ∴PF ＝CF ， ∴∠PCF ＝45°
同理可得：∠EAF ＝45°， ∴∠PCF ＝∠EAF ，
∴在直线AC 上存在满足条件的Q ，
设Q （t ，3）且AB ，AC ＝8，CP =，
∵以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时， ∴
CQ CP AC AB
=，
∴
8
8t +=
∴t ＝−
16
3或t ＝−323（不符合题意，舍） ∴Q （−16
3
，3）
②当△CQP ∽△ABC 时， ∴
CQ CP
AB AC
=，
=
， ∴t ＝4或t ＝−20（不符合题意，舍） ∴Q （4，3）
综上，存在点
1
16 (,3)
3
Q-
2(4,3)
Q.
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
22．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01（sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158）
【答案】32.05米
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，
∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝AD AC
，
∴AC＝
5
sin9︒
＝
5
0.156
≈32.05（m），
答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
23．垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按:A可回收物，:B有害垃圾，:C餐厨垃圾，:
D其它垃圾四类分别装袋，投放.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）. （1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率；
（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【答案】(1) 1
4
； (2)乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是
1
3
.
【分析】（1）甲投放的垃圾可能出现的情况为4种，以此得出甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率；（2）根据题意作出树状图，依据树状图找出所有符合的情况，求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【详解】(1) 甲投放的垃圾共有A、B、C、D四种可能，所以甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率为1
4
；
(2)
161
P 483
=
= ∴ 乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是13
. 【点睛】
本题考查了概率事件以及树状图，掌握概率的公式以及树状图的作法是解题的关键.
24．一个二次函数的图象经过(3，1)，(0，-2)，(-2，6)三点．求这个二次函数的解析式并写出图象的顶点． 【答案】二次函数为2
22y x x -=-，顶点(1,-3)．
【分析】先设该二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），利用待定系数法求a ，b ，c 的值，得到二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数的图象经过(0,-2)，可设所求二次函数为2
2y ax bx =+-， 由已知，函数的图象不经过(3,1)，(-2,6)两点，可得关于a 、b 的二元一次方程组9321,
422 6.a b a b +-=⎧⎨
--=⎩
解这个方程，得1,
2.a b =⎧⎨=-⎩
∴二次函数为：2
22y x x -=-； 化为顶点式得：2
(1)3y x =-- ∴顶点为：(1,3)-． 【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法以及顶点公式求法等知识，难度不大．
25．已知反比例函数y=
k
x
的图象与一次函数y=kx+m 的图象相交于点A （2，1）． （1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）当x 取什么范围时，反比例函数值大于0；
（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B ，且纵坐标为﹣4，当x 取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；
（4）试判断点P （﹣1，5）关于x 轴的对称点P′是否在一次函数y=kx+m 的图象上．
【答案】（1）y=2
x
，y=2x﹣3；（2）x＞1；（3）x＜﹣1.5或1＜x＜2；（4）点P′在直线上．
【详解】试题分析：（1）根据题意，反比例函数y=k
x
的图象过点A（2，1），可求得k的值，进而可得解
析式；一次函数y=kx+m的图象过点A（2，1），代入求得m的值，从而得出一次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的解析式，当y＞1时，解得对应x的取值即可；
（3）由题意可知，反比例函数值大于一次函数的值，即可得2
x
＞2x﹣3，解得x的取值范围即可；
（4）先根据题意求出P′的坐标，再代入一次函数的解析式即可判断P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．．
试题解析：解：（1）根据题意，反比例函数y=k
x
的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点A（2，1），
则反比例函数y=k
x
中有k=2×1=2，
y=kx+m中，k=2，
又∵过（2，1），解可得m=﹣3；
故其解析式为y=2
x
，y=2x﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的解析式为y=2
x
，
令y＞1，即2
x
＞1，解可得x＞1．
（3）根据题意，要反比例函数值大于一次函数的值，
即2
x
＞2x﹣3，解可得x＜﹣1.5或1＜x＜2．
（4）根据题意，易得点P（﹣1，5）关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣5）
在y=2x﹣3中，x=﹣1时，y=﹣5；
故点P′在直线上．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
26．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，分别连接AC、BC，过点B作直线BD，使CBD A
∠=∠.求证：直线BD与圆O相切.
【答案】见解析
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得90C =∠，然后根据直角三角形的性质和已知条件即可证出AB BD ⊥，最后根据切线的判定定理即可证出直线BD 与圆O 相切． 【详解】证明：∵AB 是圆O 的直径 ∴90C =∠ ∴90A ABC ∠+∠= ∵CBD A ∠=∠
∴90ABD CBD ABC ∠=∠+∠=， 即AB BD ⊥ ∵点B 在圆O 上 ∴直线BD 与圆O 相切． 【点睛】
此题考查的是圆周角定理的推论和切线的判定，掌握直径所对的圆周角是直角和切线的判定定理是解决此题的关键．
27．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下： 甲 10 6 10 6 8 乙
7
9
7
8
9
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2. （1）求乙进球的平均数和方差；
（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
【答案】（1）乙平均数为8，方差为0.8；（2）乙． 【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
【详解】（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，乙进球的方差为：1
5
[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7
﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8；
（2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，∴S甲2＞S乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．
【点睛】
本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2
1
n
=[（x1x
-）2+（x2x
-）
2+…+（x n x
-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
【答案】B
【分析】用小于3的卡片数除以卡片的总数量可得答案．
【详解】由题意可知一共有5种结果，其中数字小于3的结果有抽到1和2两种，所以25P =． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
2．方程()210x -=的根是( )
A ．121x x ==
B ．121,0x x ==
C ．121,0x x =-=
D ．121,1x x ==-
【答案】A
【分析】利用直接开平方法进行求解即可得答案.
【详解】()210x -=，
x-1=0，
∴x 1=x 2=1，
故选A.
【点睛】
本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法是解题的关键．
3．已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=（ ）
A ．38°
B ．62°
C ．52°
D ．72° 【答案】C
【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值求解即可．
【详解】∵sinα=cos38°，
∴α=90°-38°=52°．
故选C.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的性质，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 4．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．0.25×10﹣5
B ．0.25×10﹣6
C ．2.5×10﹣5
D ．2.5×10﹣6
【答案】D
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】解： 0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而60.0000025 2.510-=⨯．
故选D ．
5．如图,点A 是以BC 为直径的半圆的中点，连接AB ，点D 是直径BC 上一点，连接AD ，分别过点B 、点C 向AD 作垂线，垂足为E 和F ，其中，EF=2，CF=6，BE=8，则AB 的长是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 【答案】D
【分析】延长BE 交O 于点M ，连接CM ，AC ，依据直径所对的圆周角是90度，及等弧对等弦，得到直角三角形BMC 和等腰直角三角形BAC ，依据等腰直角三角形三边关系，知道要求AB 只要求直径BC ，直径BC 可以在直角三角形BMC 中运用勾股定理求，只需要求出BM 和CM ，依据三个内角是直角的四边形是矩形，可以得到四边形EFCM 是矩形，从而得到CM 和EM 的长度，再用BE+EM 即得BM ，此题得解.
【详解】解：延长BE 交O 于点M ，连接CM ，AC ，
∵BC 为直径，
∴90M ∠=︒，90BAC ∠=︒
又∵由,BE AF CF AF ⊥⊥得：90MEF F ∠=∠=︒,
∴四边形EFCM 是矩形，
∴MC=EF =2，EM=CF=6
又∵BE=8，
∴BM=BE+EM=8+6=14, ∴2222142102BC BM MC =+=+=,
∵点A 是以BC 为直径的半圆的中点, ∴AB=AC,
又∵90BAC ∠=︒，
∴2222=2BC AB AC AB =+，
∴AB=10.
故选：D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推理——直径所对的圆周角是90度， 矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造两个直角三角形，将已知和待求用勾股定理建立等式.
6．如图图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】试题解析：A 、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；
B 、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；
C 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故此选项不合题意；
D 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D ．
7．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，CE ，若∠CBD=32°，则∠BEC 的大小为（ ）
A．64°B．120°C．122°D．128°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∴∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
8．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．
【详解】∵圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr=216
360
×2π×5，解得r=1．
故选A．【点睛】
本题考查的是圆锥的相关计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．
9．如图，ABC ∆中，ABD C ∠=∠，若4AB =，2AD =，则CD 边的长是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【分析】由ABD C ∠=∠，∠A=∠A ，得∆ABD~∆ACB ，进而得AB AD AC AB =，求出AC 的值，即可求解. 【详解】∵ABD C ∠=∠，∠A=∠A ，
∴∆ABD~∆ACB ，
∴AB AD
AC AB =，即：4
2
4AC =，
∴AC=8，
∴CD=AC-AD=8-2=6，
故选C.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的判定定理，是解题的关键.
10．如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CD
AB 等于（ ）
A ．tanα
B ．sina
C ．cosα
D ．1
tan α
【答案】C
【分析】连接BD 得到∠ADB 是直角，再利用两三角形相似对应边成比例即可求解．
【详解】
连接BD,由AB 是直径得,∠ADB=90︒.
∵∠C=∠A ，∠CPD=∠APB ，
∴△CPD ∽△APB ，
∴CD:AB=PD:PB=cosα.
故选C.
11．⊙O 的半径为6cm ，点A 到圆心O 的距离为5cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是（
）
A ．点A 在圆内
B ．点A 在圆上
C ．点A 在圆外
D ．不能确定
【答案】A
【解析】∵⊙O 的半径为6cm ，点A 到圆心O 的距离为5cm ，∴d ＜r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在圆内，故答案为：A ．
12．下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）
A ．2y x
B ．24y x =+
C ．2325y x x =-+
D ．2351y x x =+-
【答案】D
【解析】试题分析：分别对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一验证，令y=1，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根．
A 、令y=1，得x 2=1，△=1-4×1×1=1，则函数图形与x 轴没有两个交点，故A 错误；
B 、令y=1，得x 2+4=1，△=1-4×1×1=-4＜1，则函数图形与x 轴没有两个交点，故B 错误；
C 、令y=1，得3x 2-2x+5=1，△=4-4×3×5=-56＜1，则函数图形与x 轴没有两个交点，故C 错误；
D 、令y=1，得3x 2+5x-1=1，△=25-4×3×（-1）=37＞1，则函数图形与x 轴有两个交点，故D 正确； 故选D ．
考点：本题考查的是抛物线与x 轴的交点
点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与x 轴有两个交点时，b 2-4ac ＞1，与x 轴有一个交点时，b 2-4ac=1，与x 轴没有交点时，b 2-4ac ＜1．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，把Rt OAB △置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(3,0)，点P 是Rt OAB △内切圆的圆心．将Rt OAB △沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P ，…，依此规律，第2019次滚动后，Rt OAB △内切圆的圆心2019P 的坐标是________．
【答案】(8077,1)
【分析】由勾股定理得出AB 225+=OA OB ，求出Rt △OAB 内切圆的半径＝1，因此P 的坐标为（1，1），由题意得出P 3的坐标（3＋5＋4＋1，1），得出规律：每滚动3次为一个循环，由2019÷3＝673，即可得出结果．
【详解】解：∵点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（3，0），
∴OA ＝4，OB ＝3，。