等差数列的性质讲课文档

a＋b 2
.我们把A＝a＋2 b
叫
做 a 和 b 的等差中项．
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3．等差数列的性质 (1)项的运算性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则 am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项 的和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
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课时分层作业（八）
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[跟踪训练]
1．在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成等差数列，求
此数列.
[解] (1)∵－1，a，b，c,7 成等差数列，
【导学号：57452038】
∴b 是－1 与 7 的等差中项，
∴b＝－12＋7＝3.
又 a 是－1 与 3 的等差中项，
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等差数列的性质
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学习目标：1.理解等差中项的概念，并能利用等差中项判断一个数列是否 为等差数列．(重点、难点)2.掌握等差数列的有关性质，能运用等差数列的性 质解题．(重点)3.了解一次函数同等差数列通项公式间的关系．(重点)
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[自 主 预 习·探 新 知]
1．等差数列与一次函数 (1)等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，当 d＝0 时，an 是关于 n 的常函 数；当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；点(n，an)分布在以 d 为斜率的直 线上，是这条直线上的一列孤立的点． (2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知 a1，d，am，an(m≠n)， 则 d＝ann－－1a1＝ann－－mam，从而有 an＝am＋(n－m)d .
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[思路探究] (1)利用等差中项求解； (2)利用 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq 求解； (3)利用 d＝amm－－ann求解．
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[解] (1)由等差数列的性质，得 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， ∴a8＝24，又 2a9＝a8＋a10， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
(4){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d
＝0⇔{an}为常数列．
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思考 2：等差数列{an}中，若 a5＝7，a9＝19，则 a2＋a12＝________，a7 ＝________.
[提示] ∵a2＋a12＝2a7＝a5＋a9＝26， ∴a2＋a12＝26，a7＝13. 思考 3：还记得高斯怎么计算 1＋2＋3＋…＋100 的吗？ [提示] 利用 1＋100＝2＋99＝….
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[基础自测] 1．若{an}是等差数列，若 a2＝3，a8＝5，则公差 d＝________，an＝________.
[解析] ∵d＝a88－－2a2＝5－6 3＝31，∴an＝a2＋(n－2)×13＝3＋n－3 2＝n＋3 7.
[答案]
1 3
n＋7 3
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2．若点(1，an)，(2，an＋1)在直线 y＝x＋3 上，则 an＋1 与 an 的关系为________． [解析] 由题意可知aann＝ ＋1＝1＋2＋3，3， ∴an＋1－an＝1, 即 an＋1＝an＋1. [答案] an＋1＝an＋1
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3．若{an}是等差数列，且 a2＋a6＋a10＝1，则 a4＋a8＝________. [解析] ∵a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
∴a6＝13，
∴a4＋a8＝23.
[答案]
2 3
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4．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. [解析] 由 a7＋a9＝a4＋a12，得 a12＝a7＋a9－a4＝16－1＝15. [答案] 15
∴a＝－12＋3＝1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项，∴c＝3＋2 7＝5， ∴该数列为－1,1,3,5,7.
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等差数列的性质及应用
(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求 2a9－a10 的值； (2)数列{an}为等差数列，已知 a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an} 的通项公式； (3)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求 a75 的值．
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[跟踪训练] 2．已知等差数列{an}，满足 a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66， 求 a2，a3，a4.
[解] ∵{an}为等差数列，∴2a3＝a2＋a4，∴3a3＝18，∴a3＝6，设公差 为 d，则(6－d)×6×(6＋d)＝66，
∴d2＝25，∴d＝±5， ∴aa24＝ ＝111， 或aa24＝ ＝111. ，
[解] 设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得 a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40， ∴4aa2－＝d226＝，40.
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解得ad＝＝13223，
或 ad＝＝1－23， 32，
所以这四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
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等差数列的设法与求解
[探究问题] 1．若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？ [提示] 设等差中项为 a，公差为 d，则这三个数分别为 a－d，a，a＋d， 这样计算较为方便． 2．若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？ [提示] 设这四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，计算较为方便．
[解析] 设数列首项为 a1，则 2 018＋a1＝1 010×2，解得 a1＝2. [答案] 2
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3．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则 a2＋a4＋a6＋a8＝________. 【导学号：57452039】
[解析] 根据等差中项的性质，得 a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝2a5＝37，∴a2 ＋a4＋a6＋a8＝4a5＝74.
[答案] 74
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4．在－1 和 8 之间插入两个数 a，b(a<b)，使这四个数成等差数列，则 a ＝________，b＝________.
[解析] 由题意，a2＋b＝b＝a＋7，8， 解得ab＝ ＝25，. [答案] 2 5
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5．成等差数列的四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求 这四个数．
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已知三个数组成等差数列，首末两项之积为中项的 5 倍，后两 项的和为第一项的 8 倍，求此三个数．
[思路探究] 根据这三个数成等差数列，可设这三个数为 x－d，x，x＋d.
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[解] 设此三个数分别为 x－d，x，x＋d， 由题意得xx＋－xd＋dx＋ ＝d8＝x－5dx，， 解得xd＝＝00， 或xd＝＝96，， 故此三数分别为 0,0,0 或 3,9,15.
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(2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9， ∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6， 又 a3a5a7＝－21， ∴a3a7＝－7. 由①②解得 a3＝－1，a7＝7 或 a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2，或 a3＝7，d＝－2. 由通项公式的变形公式 an＝a3＋(n－3)d， 得 an＝2n－7 或 an＝－2n＋13.
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[当 堂 达 标·固 双 基]
1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________． [解析] 由等差中项的性质知 a3＝a1＋2 a5＝5，又 a4＝7，∴公差 d＝a4－ a3＝7－5＝2. [答案] 2
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2．中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 018，则该数列的 首项为________．
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思考 1：已知等差数列中任意两项是否可以直接求公差？ [提示] 等差数列{an}的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选 其中两点(n，an)(m，am)(m≠n)，类比直线的斜率公式可知公差 d＝ann－－mam.
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2．等差中项 如果 a，A，b 这三个数成等差数列，那么 A＝
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[解] 由 x1＝3，得 2p＋q＝3，
①
又 x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且 x1＋x5＝2x4 得，
3＋25p＋5q＝25p＋8q，
②
由①②得，q＝1，p＝1.
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[规律方法] 在等差数列{an}中，由定义有 an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即 an＝ an＋1＋2 an－1，从而由等差中项的定义知，等差数列从第 2 项起的每一项都是它 前一项与后一项的等差中项.
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[规律方法] 设等差数列的三个技巧 (1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时 公差为 d. (2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d， a＋3d，…，此时公差为 2d. (3)等差数列的通项可设为 an＝pn＋q.
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[合 作 探 究·攻 重 难]
等差中项及其应用
已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q 为常 数)，且 x1，x4，x5 成等差数列．求 p，q 的值．
[思路探究] 由 x1，x4，x5 成等差数列得出一个关于 p，q 的等式，结合 x1＝3 推出 2p＋q＝3，从而得 p，q.
①∵a60＝a15＋(60－15)d， ∴d＝6200－－185＝145， ∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×145＝24.
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[规律方法] 解决本类问题一般有两种方法 一是运用等差数列{an}的性质：若 m＋n＝p＋q＝2w，则 am＋an＝ap＋aq ＝2awm，n，p，q，w 都是正整数； 二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性 通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想. 提醒：递增等差数列 d>0，递减等差数列 d<0，解题时要注意数列的单调 性对 d 的取值的限制.
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(3)若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为 d 的等差数列(c 为任一常数)
{c·an}
公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为 2d 的等差数列(k 为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q 为常数)
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母题探究：(变条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数列，它们的 和等于 18，它们的平方和等于 116，求此数列．
[解] 设所求数列为 a－d，a，a＋d(d>0)， 根据题意得到方程组 a－d＋a＋a＋d＝18，① a－d2＋a2＋a＋d2＝116，② 由①得 a＝6.将 a＝6 代入②， 得 d＝2，d＝－2(舍)． 所以所求数列为 4,6,8.