关于M-矩阵最小特征值的几个不等式
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１ ≤ｉ ≤， ｚ ｝
证 明 因为
伉一ｍ ｌ ｎ｛
ｉ ≤ｎ Ｉ ≤０ ｃ — ｍ ｉ ｎ
，
ｔ Ｉ■
，
ｆ ． ＝ — ｍ ｉ ｎ ｛
＝ａ— ｍｉ ｎ
．
、 ｊ
●，‘
≤
．
、
【
ｒ● ●Ｊ
ｏ
（
、
ｍ ｉ ｎ １ ￣
≤
、ｌ●●●●●●●
，Ｊ ●●●●』
） ，称 若 ，ｃ是非奇异
的 逆矩阵 Ｃ ＝ （ ｛ ｊ ） ∈ 露 ≥０ ， 分裂为 Ｃ 一＝ ｃ ． 一 ＿ １ ， Ｅ ｃ ． １ ＝ ｄ ｉ ａ ｇ （
矩阵 ，Ｆ ｉ ｅ ｄ ｌ ｅ ｒ Ｍ证明了Ａｏ Ｃ 也是非奇异 的
， 、 １ ／ 、 １
， …，
ｌ ｌ ／ ｉ ｌ ／
引理 ２ 【 ２ Ｊ设 Ａ 是不 可约
６ ｃ — ｍａ ｘ｛
矩 阵 。则
， ・≤ ≤ ， ｚ
｝ ≤ ｇ ≤ 一 ｍ ｉ ｎ ｛
，
１ ≤ｆ ≤， ２ ｝ ，
其 中 ａ ＝ ｍ ｉ ｎ ｉ ￣ Ｎ ａ ｉ ， ＝ （ ６
２ 主 要 结 果
１ 预 备 知 识
记Ｃ 一 ｎ Ｘ ｎ ） 表示 ｎ × ｎ阶复 （ 实） 矩阵集 ，Ｎ －｛ １ ， ２ ， …， ） 表示 自然数集。
设 Ａ＝ （ 口 ， ） Ｅ Ｒ ， １ ） 若 ≥０ ， 则称 Ａ为非负 矩阵 （ ≥０ ） ；２ ） 若ａ ≤０ ， ｉ ≠Ｊ ， 则称 为ｚ矩阵；
令ｑ （ Ａ ） ＝ ｍ ｉ ｎ ｛ Ｒ ｅ （ ２ ） ， ： ∈ ） ）， 盯 ） 是 ｚ矩阵 Ａ的特征值的集合。
矩阵 ＝（ ｆ 『 ） 分裂为Ａ＝ 一ｃ Ａ ＝ｄ ｉ ａ ｇ （ ａ ａ ２ ， …， ａ ｎ ） ，称 ＝
为Ａ的迭代矩阵。
矩阵 Ｃ＝（ ｃ ｉ ｆ ） ∈
— Ｅ ｔ 一 为Ｃ 的迭代矩阵。 矩阵。
引理 １ Ⅲ 设口 ＝ 。 ， ａ ２ ， …， 口 ） ≥ ０，６ ＝ （ ６ １ ， ｂ ， …， ｂ ｎ ） ≥ ０，则有
ｉ 兰 １ ｂ ≤ ｛ ＼ 、 兰 口 兰 ６ 其 中 ｋ ＝ ｌ ， ２ 。
Байду номын сангаас
同理 一 …
ｆ （ ］ ｛ ， ≤ ） ≤ 一 ｍ ａ ｘ ｛ ｍ ａ Ⅳ ｘ
≤
，
１≤ ｉ ≤ ｎ｝
≤。 ［ 一 ｍａ ｘ ｛
ｆ ≤ ｌ ≤ — ｍ ａ ｘ
１
～
｝ 。
将 以 上两方 面应 用到 引理 ２得
… ａｘ
｛ （ ㈣ ≤ ≤ ） ≤ ≤ ａ － ａ ｒ ｉ ｎ （ 、 ｍ ｉ ｎ Ｍ ｊ （ Ｂ ） ） － ￣ ≤ ｝ 。
“ 数学 ”建设项 目。
作者简介 ：李艳艳 ，文 山学院数学学院讲师 ，硕士 。
５ ９
第２ ８ 卷
文 山学 院学报
２ ０ １ ５ 年
第 ６期
一
ｍ ａｘ
Ｉ （ ｍ ａ ｘ
，
，
１ ≤ ≤ ） ≤ ） ≤ ａ － ｍ ｉ ｎ
１ ｌ
１ ， １ ≤ ≤ ｝ 。
摘要 ：首先给 出了不可 约 西一 施瓦兹不等式，得 到 了
矩阵最小特征值 ｑ ） 界 的较 易计 算的新不等 式，其 次利用该不等式与柯
矩阵Ａｏ Ｃ － 的最小特征值 ｇ ｏ Ｃ － ） 的新的不等式。这 些结果是对 矩阵最
小特 征值 界 的估计 的有 益 补充 。
关键词 ： 矩阵；Ｈａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ积；最小特征值；不等式 中 图分 类 号 ：Ｏ１ ５ １ ． ２ １ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ：１ ６ ７ ４—９ ２ ０ ０（ ２ ０ １ ５） ０ ６—０ ０ ５ ９—０ ４
第２ ８ 卷 第６ 期
２ ０ １ ５年 １ ２月
文 山学 院学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｏ Ｆ Ｗ ＥＮＳ ＨＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ｒ ｒ Ｙ
Ｖｏ １ ． ２ ８ Ｎｏ ． ６
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ５
关 于 矩阵最小特征值 的几个不等式
李艳艳
（ 文 山 学院 数 学学 院 ，云 南 文 山 ６ ６ ３ ０ ９ ９）
３ ） 若 为 ｚ矩阵， 且 ≥ ０（ 为 的逆矩阵 ） ，就称 为非奇异
为 正整 数 ） 。
矩阵。
矩阵 ＝ ｆ 『 ） ， ＝ （ ６ ∈ Ｒ ” 的Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ 积为 。 ＝ （ ６ ∈ Ｒ ， 矩阵Ａ的， ． 次Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ 幂为 ∞ ＝ （ 口 ； ） （ ，
Ⅳ
≤ ＿ｍ ｉ ｎ ｌ ｍ ｆ ∈ ａ
证 明
（ １ ） 若Ａ ｏ Ｃ 一 不可约， 则Ａ ， Ｃ 也不可约， ， ＿ ｌ ， ： ， － 都不可约， 那么对于非负不可约矩阵． － ， ∞ Ａ ，
１
分 别 存 在 正 向 量 “ ∞ ＝ （ “ ， “ ’ ， “ ） ， ｖ ∞ ＝ ｖ ， 呓 ， … ， ） ， 使 得 磊 Ｊ ： ） ， 磊 去 ｐ － ） 。
定 理 １ 设 是不 可 约
收 稿 日期 ：２ ０ １ ５—０ ３ —１ ９
， ） 磊６ ， ） 磊６ ） 。
矩 阵 ，则
基金项 目：云 南省教 育厅科 研基金 项 目 “ 几类 对角 占优矩 阵的逆 矩范数 界的估计 ” （ ２ ０ １ ３ Ｙ ５ ８ ５ ）；文 山学院重 点学科
ｅ Ｒ ｎ Ｘ ｎ ｃ＝（ ｅ Ｒ 是
定理 ２ 设 ：
矩阵， 则 Ｃ一＝（ ｅ Ｒ ≥０ ，且
一
ｍ ａｘ
｛ Ｒ ㈣ （ 一 ＋ （ 户 ‘ ， ： ） ： ） ｛ （ ｐ ） ） １ ｇ ｏ Ｃ 一 ）
， ｘ ） （ — ａ ｕ ｌ ｆ ｕ ＋ （ ｐ ） ｉ １ （ ｐ ： ） ： ） ｉ １ ｊ 、 ｝ 。 ｌ 。
证 明 因为
伉一ｍ ｌ ｎ｛
ｉ ≤ｎ Ｉ ≤０ ｃ — ｍ ｉ ｎ
，
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，
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、
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） ，称 若 ，ｃ是非奇异
的 逆矩阵 Ｃ ＝ （ ｛ ｊ ） ∈ 露 ≥０ ， 分裂为 Ｃ 一＝ ｃ ． 一 ＿ １ ， Ｅ ｃ ． １ ＝ ｄ ｉ ａ ｇ （
矩阵 ，Ｆ ｉ ｅ ｄ ｌ ｅ ｒ Ｍ证明了Ａｏ Ｃ 也是非奇异 的
， 、 １ ／ 、 １
， …，
ｌ ｌ ／ ｉ ｌ ／
引理 ２ 【 ２ Ｊ设 Ａ 是不 可约
６ ｃ — ｍａ ｘ｛
矩 阵 。则
， ・≤ ≤ ， ｚ
｝ ≤ ｇ ≤ 一 ｍ ｉ ｎ ｛
，
１ ≤ｆ ≤， ２ ｝ ，
其 中 ａ ＝ ｍ ｉ ｎ ｉ ￣ Ｎ ａ ｉ ， ＝ （ ６
２ 主 要 结 果
１ 预 备 知 识
记Ｃ 一 ｎ Ｘ ｎ ） 表示 ｎ × ｎ阶复 （ 实） 矩阵集 ，Ｎ －｛ １ ， ２ ， …， ） 表示 自然数集。
设 Ａ＝ （ 口 ， ） Ｅ Ｒ ， １ ） 若 ≥０ ， 则称 Ａ为非负 矩阵 （ ≥０ ） ；２ ） 若ａ ≤０ ， ｉ ≠Ｊ ， 则称 为ｚ矩阵；
令ｑ （ Ａ ） ＝ ｍ ｉ ｎ ｛ Ｒ ｅ （ ２ ） ， ： ∈ ） ）， 盯 ） 是 ｚ矩阵 Ａ的特征值的集合。
矩阵 ＝（ ｆ 『 ） 分裂为Ａ＝ 一ｃ Ａ ＝ｄ ｉ ａ ｇ （ ａ ａ ２ ， …， ａ ｎ ） ，称 ＝
为Ａ的迭代矩阵。
矩阵 Ｃ＝（ ｃ ｉ ｆ ） ∈
— Ｅ ｔ 一 为Ｃ 的迭代矩阵。 矩阵。
引理 １ Ⅲ 设口 ＝ 。 ， ａ ２ ， …， 口 ） ≥ ０，６ ＝ （ ６ １ ， ｂ ， …， ｂ ｎ ） ≥ ０，则有
ｉ 兰 １ ｂ ≤ ｛ ＼ 、 兰 口 兰 ６ 其 中 ｋ ＝ ｌ ， ２ 。
Байду номын сангаас
同理 一 …
ｆ （ ］ ｛ ， ≤ ） ≤ 一 ｍ ａ ｘ ｛ ｍ ａ Ⅳ ｘ
≤
，
１≤ ｉ ≤ ｎ｝
≤。 ［ 一 ｍａ ｘ ｛
ｆ ≤ ｌ ≤ — ｍ ａ ｘ
１
～
｝ 。
将 以 上两方 面应 用到 引理 ２得
… ａｘ
｛ （ ㈣ ≤ ≤ ） ≤ ≤ ａ － ａ ｒ ｉ ｎ （ 、 ｍ ｉ ｎ Ｍ ｊ （ Ｂ ） ） － ￣ ≤ ｝ 。
“ 数学 ”建设项 目。
作者简介 ：李艳艳 ，文 山学院数学学院讲师 ，硕士 。
５ ９
第２ ８ 卷
文 山学 院学报
２ ０ １ ５ 年
第 ６期
一
ｍ ａｘ
Ｉ （ ｍ ａ ｘ
，
，
１ ≤ ≤ ） ≤ ） ≤ ａ － ｍ ｉ ｎ
１ ｌ
１ ， １ ≤ ≤ ｝ 。
摘要 ：首先给 出了不可 约 西一 施瓦兹不等式，得 到 了
矩阵最小特征值 ｑ ） 界 的较 易计 算的新不等 式，其 次利用该不等式与柯
矩阵Ａｏ Ｃ － 的最小特征值 ｇ ｏ Ｃ － ） 的新的不等式。这 些结果是对 矩阵最
小特 征值 界 的估计 的有 益 补充 。
关键词 ： 矩阵；Ｈａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ积；最小特征值；不等式 中 图分 类 号 ：Ｏ１ ５ １ ． ２ １ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ：１ ６ ７ ４—９ ２ ０ ０（ ２ ０ １ ５） ０ ６—０ ０ ５ ９—０ ４
第２ ８ 卷 第６ 期
２ ０ １ ５年 １ ２月
文 山学 院学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｏ Ｆ Ｗ ＥＮＳ ＨＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ｒ ｒ Ｙ
Ｖｏ １ ． ２ ８ Ｎｏ ． ６
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ５
关 于 矩阵最小特征值 的几个不等式
李艳艳
（ 文 山 学院 数 学学 院 ，云 南 文 山 ６ ６ ３ ０ ９ ９）
３ ） 若 为 ｚ矩阵， 且 ≥ ０（ 为 的逆矩阵 ） ，就称 为非奇异
为 正整 数 ） 。
矩阵。
矩阵 ＝ ｆ 『 ） ， ＝ （ ６ ∈ Ｒ ” 的Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ 积为 。 ＝ （ ６ ∈ Ｒ ， 矩阵Ａ的， ． 次Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ 幂为 ∞ ＝ （ 口 ； ） （ ，
Ⅳ
≤ ＿ｍ ｉ ｎ ｌ ｍ ｆ ∈ ａ
证 明
（ １ ） 若Ａ ｏ Ｃ 一 不可约， 则Ａ ， Ｃ 也不可约， ， ＿ ｌ ， ： ， － 都不可约， 那么对于非负不可约矩阵． － ， ∞ Ａ ，
１
分 别 存 在 正 向 量 “ ∞ ＝ （ “ ， “ ’ ， “ ） ， ｖ ∞ ＝ ｖ ， 呓 ， … ， ） ， 使 得 磊 Ｊ ： ） ， 磊 去 ｐ － ） 。
定 理 １ 设 是不 可 约
收 稿 日期 ：２ ０ １ ５—０ ３ —１ ９
， ） 磊６ ， ） 磊６ ） 。
矩 阵 ，则
基金项 目：云 南省教 育厅科 研基金 项 目 “ 几类 对角 占优矩 阵的逆 矩范数 界的估计 ” （ ２ ０ １ ３ Ｙ ５ ８ ５ ）；文 山学院重 点学科
ｅ Ｒ ｎ Ｘ ｎ ｃ＝（ ｅ Ｒ 是
定理 ２ 设 ：
矩阵， 则 Ｃ一＝（ ｅ Ｒ ≥０ ，且
一
ｍ ａｘ
｛ Ｒ ㈣ （ 一 ＋ （ 户 ‘ ， ： ） ： ） ｛ （ ｐ ） ） １ ｇ ｏ Ｃ 一 ）
， ｘ ） （ — ａ ｕ ｌ ｆ ｕ ＋ （ ｐ ） ｉ １ （ ｐ ： ） ： ） ｉ １ ｊ 、 ｝ 。 ｌ 。