(新课标)广西2019高考数学二轮复习 专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想

专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想
一、选择题
1.设函数f (x )={2x -3,x <0,
√x +1,x ≥0,
若f (a )>1,则实数a 的取值范围是( )
A .(0,2)
B .(0,+∞)
C .(2,+∞)
D .(-∞,0)∪(2,+∞) 2.函数y=5√x -1+√10-x 的最大值为( ) A .9 B .12 C .√26 D .3√26
3.在等比数列{a n }中,a 3=7,前3项的和S 3=21,则公比q 的值是( )
A.1
B.-1
2
C.1或-1
2 D.-1或1
2
4.若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线x 2
+
x 2
x
=1的离心率是( )
A .√32
B .√5
C .√3
2
或√5
2
D .√32
或√5
5.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±3
4x ,则该双曲线的离心率为( ) A.54 B.53 C.5
4或5
3 D.3
5或4
5
6.若a>0,且a ≠1,p=log a (a 3+1),q=log a (a 2
+1),则p ,q 的大小关系是( ) A.p=q B.p<q C.p>q
D.当a>1时,p>q ;当0<a<1时,p<q
7.若函数f (x )=x 3-tx 2
+3x 在区间[1,4]上单调递减,则实数t 的取值范围是( ) A .(-∞,51
8] B .(-∞,3) C .[51
8,+∞)
D .[3,+∞)
8.(2018安徽黄山一模)已知函数f (x )=e |x|
+|x|.若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,-1) 二、填空题
9.已知函数f (x )=a x
+b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .
10.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2
,若对任意x ∈[a ,a+2],f (x+a )≥f (3x+1)恒成立,则实数a 的取值范围是 .
11.函数y=√x 2-2x +2+√x 2-6x +13的最小值为 .
12.在三棱锥P-ABC 中,PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC 的取值范围是 . 三、解答题
13.已知a ≥3,函数F (x )=min{2|x-1|,x 2
-2ax+4a-2},其中min{p ,q }={x ,x ≤x ,x ,x >x .
(1)求使得等式F (x )=x 2
-2ax+4a-2成立的x 的取值范围; (2)①求F (x )的最小值m (a );
②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ).
专题对点练3答案
1.B 解析 若2a
-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若√x +1>1,解得a>0,故a 的范围是(0,+∞). 2.D 解析 设a =(5,1),b =(√x -1,√10-x ), ∵a ·b ≤|a |·|b |,
∴y=5√x -1+√10-x ≤√52+12·√x -1+10-x =3√26. 当且仅当5√x -1=√10-x , 即x=251
26时等号成立.
3.C 解析 当公比q=1时,则a 1=a 2=a 3=7,S 3=3a 1=21,符合要求. 当公比q ≠1时,则a 1q 2
=7,x 1(1-x 3)
1-x
=21,解得q=-1
2(q=1舍去).
综上可知,q=1或q=-1
2
.
4.D 解析 因为m 是2和8的等比中项,所以m 2
=2×8=16,所以m=±4. 当m=4时,圆锥曲线
x 24+x 2=1是椭圆,其离心率e=x
x =
√3
2; 当m=-4时,圆锥曲线x 2
-x 24
=1是双曲线,其离心率e=x x =
√5
1=√5.
综上知,选项D 正确.
5.C 解析 当焦点在x 轴上时,x
x =3
4,此时离心率e=x
x =5
4;当焦点在y 轴上时,x
x =3
4,此时离心率
e=x
x =5
3.故选C .
6.C 解析 当0<a<1时,可知y=a x 和y=log a x 在其定义域上均为减函数,则a 3+1<a 2
+1, ∴log a (a 3+1)>log a (a 2+1),即p>q.
当a>1时,y=a x 和y=log a x 在其定义域上均为增函数,则a 3+1>a 2
+1, ∴log a (a 3+1)>log a (a 2+1),即p>q. 综上可得p>q.
7.C 解析 f'(x )=3x 2
-2tx+3,由于f (x )在区间[1,4]上单调递减,则有f'(x )≤0在[1,4]上恒成立,
即3x 2
-2tx+3≤0,即t ≥32(x +1x )在[1,4]上恒成立,因为y=32(x +1x )在[1,4]上单调递增,所以t ≥3
2(4+1
4)=51
8,故选C .
8.B 解析 方程f (x )=k 化为方程e |x|=k-|x|.令y 1=e |x|
,y 2=k-|x|. y 2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.
当折线与曲线y=e |x|
恰好有一个公共点时,k=1.
由图知,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根时,实数k 的取值范围是(1,+∞). 故选B .
9.-3
2 解析 当a>1时,函数f (x )=a x
+b 在[-1,0]上为增函数,由题意得{x -1+x =-1,
x 0+x =0,
无解.当
0<a<1时,函数f (x )=a x
+b 在[-1,0]上为减函数,由题意得{x -1+x =0,x 0+x =-1,解得{x =1
2,x =-2,
所以a+b=-32.
10.(-∞,-5] 解析 因为当x ≥0时,f (x )=x 2
,所以此时函数f (x )在[0,+∞)上单调递增. 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (0)=0,所以f (x )在R 上单调递增. 若对任意x ∈[a ,a+2],不等式f (x+a )≥f (3x+1)恒成立, 则x+a ≥3x+1恒成立,即a ≥2x+1恒成立,
因为x ∈[a ,a+2],
所以(2x+1)max =2(a+2)+1=2a+5, 即a ≥2a+5,解得a ≤-5.
即实数a 的取值范围是(-∞,-5].
11.√13 解析 原函数等价于y=√(x -1)2+(0-1)2+√(x -3)2+(0-2)2
,即求x 轴上一点到
A (1,1),
B (3,2)两点距离之和的最小值.将点A (1,1)关于x 轴对称,得A'(1,-1),连接A'B 交x 轴于
点P ,则线段A'B 的值就是所求的最小值,即|A'B|=√(1-3)2+(-1-2)2
=√13.
12.(3,√41) 解析 如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x ,y ,z ,且x 2+y 2=16,x 2+z 2
=25,求√x 2+x 2的取值范围,转化为y 2+z 2=41-2x 2,∵x 2+y 2=16,∴0<x<4,∴41-2x 2∈(9,41),即BC 的取值范围是(3,√41).
13.解 (1)由于a ≥3,则当x ≤1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x 2+2(a-1)(2-x )>0,当x>1时,(x 2
-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a ).所以,使得等式F (x )=x 2
-2ax+4a-2成立的x 的取值范围为[2,2a ].
(2)①设函数f (x )=2|x-1|,g (x )=x 2-2ax+4a-2,则f (x )min =f (1)=0,g (x )min =g (a )=-a 2
+4a-2,
所以,由F (x )的定义知m (a )=min{f (1),g (a )},即m (a )={0,3≤x ≤2+√2,
-x 2+4x -2,x >2+√2.
②当0≤x ≤2时,F (x )≤f (x )≤max{f (0),f (2)}=2=F (2),
当2≤x ≤6时,F (x )≤g (x )≤max{g (2),g (6)}=max{2,34-8a }=max{F (2),F (6)}.
所以,M (a )={34-8x ,3≤x <4,
2,x ≥4.。