湖南省衡阳县第一中学高三12月月考——数学文数学(文)

湖南省衡阳县第一中学 2016届高三12月月考
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的） 1．已知全集，集合，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知α是第三象限角，，则等于 ( )
A ．
B ．15
-
C ．－513
D ．513
３．下列各组中的两个向量共线的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．(3,2),(6,4)a b =-=-
４. 已知等差数列}{n a 的前11项的和为33，则等于（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 ５．已知的内角A 满足，则（ ） A ． B ． C ． D ． ６．若平面向量满足，，，则是 （ ） A ． B ． C ． D ．
７．若实数，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
８．数列{a n }中，满足，且是函数f （x ）=的极值点，则的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ９．已知，若不等式恒成立，则的最大值等于（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7
10. 数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为（ ） A ． B ． C ．200 D ．150
11. 函数，若对于区间[]上的任意，都有， 则实数t 的最小值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 0
12.若函数3
2
()331f x x x ax =-+-在区间[－3，2]上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A ． B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知2,0
()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩
，则=_________．
14．三角形中，边AB=4,G 为三角形的外心，那么= ． 15．若函数3
21()313
f x x x x =
+-+在上有最小值，则实数的取值范围为_________. 16．下列命题中:
①中，B A B A sin sin >⇔>
②数列的前项和，则数列是等差数列． ③锐角三角形的三边长分别为3，7，，则的取值范围是． ④若，则是等比数列
真命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本题满分10分） 已知向量(3,cos 4),(sin 4,1),(0)a x b x ωωω==>，令且的周期为． （1）求函数的解析式；
（2）若时，求实数的取值范围．
18.（本题满分12分） 已知等比数列满足，数列满足． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前n 项和；
19.（本题满分12分） 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，若外接圆半径，求的面积． 20．（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，已知． （Ⅰ）求通项；
（Ⅱ）记数列的前项和为，数列的前项和为，求证：． 21 ．（本题满分12分）已知函数()211
ln 42
f x x x x =+
- （1）判断是否为定义域上的单调函数，并说明理由 （2）设(]()0,,0≤-∈mx x f e x 恒成立，求的最小整数值 22. （本题满分12分）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1．A 【解析】因为，所以，所以．
２．Ｃ【解析】因为tan(2)tan()tan πααα-=-=-， ∴， ∴sin α=－513．
３.D 【解析】若两向量满足则两向量共线，D 中所以两向量共线。

４.B 【解析】由等差数列的性质得，11661133,3s a a ==∴=．再由等差中项得，，故选B 。

5.B 【解析】根据题意有，所以有214
(sin cos )133
A A +=+=，结合三角形内角的取值范围，可知，解得，故选
B ．
6.C 【解析】 因为，所以，又因为，，所以2
2
2
2
()25a b a b a a b b -=-=-⋅+=，
7.A 【解析】作出可行域，令，由图可知，可行域三个顶点分别为11(0,0),(,),(0,1)22
A
B C -，将三个点的坐标分别代入得，所以，故，即.
8．A 【解析】根据题意，可知数列是等差数列，而，可以得到，所以，故选A ．
９．Ｃ【解析】由于，所以，故不等式等价于，不等式恒成立，等价于min 12
[()(2)]k a b a b
≤++， 由于124()(2)448b a a b a b a b ++=+
+≥+=，（当且仅当时“=”成立），故。

10.D 【解析】根据题意有100147101316295298350150S =-+-+-+-
-+=⨯=，故选D ．
11.A 【解析】对于区间[]上的任意，都有，等价于对于区间[]上，，∵，∴，∴函数在[]上单调递增，∴，min ()()2f x f ππ=-=-，∴max min ()()4f x f x π-=，∴，∴实数t 的最小值是
12.D 【解析】因为3
2
()331f x x x ax =-+-，所以．要使函数在区间[－3，2]上单调递增，则在区间[－3，2]上恒成立．即恒成立．所以，因为，所以，故选：D ．
13.【解析】23
log 4222233
2log 63,(log 6)[(log 6)3](log )2.44
f f f ≤≤∴=-===
14.【解析】由向量数量积的几何意义可知，等于乘以在方向上的投影，
因为G 是三角形的外心，所以在方向上的投影等于，因此
15.【解析】()2
'23(3)(1)f x x x x x =+-=+-,令得或,
令得,所以函数的单调递增区间为和,减区间为.所以要使函数3
21()313
f x x x x =
+-+在上有最小值,只需()
()1271a a f a f <<+⎧⎪⎨≥⎪⎩,
即31315a a a -<<⎧⇒⇒-≤<⎨≥-⎩
.
16.①③④【解析】①，中，根据正弦定理，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，正确；②数列的前
项和，是的二次函数，但常数项为，则数列不是等差数列，不正确；③因为锐角三角形的三边长为，
所以2222222
2
2370,370,730,a a a
a +->+->+-><11111
2,2(2),,2
n n n n n n n n n S a S a n a a a a a ----=-∴=-≥∴=-∴=
，所以是等比数列，正确；故①③④
17.【解析】试题分析：（1）本题考察的是求函数解析式，本题中根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又的周期为，可以求出从而求出的解析式．
（2）本题考察的是求参数的取值范围问题，本题中根据所给的定义域求出的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围．
试题解析：（1）()3sin 4cos 42sin 46f x a b x x x πωωω⎛
⎫
=⋅=+=+ ⎪⎝
⎭
----------2分 ∵的周期为，∴ ----------4分 ∴()2sin 46f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
---------------5分 （2），则 ----------6分
1
sin(4)[,1]62
x π∴+∈-
----------8分
220m m ∴+≤∴≤ --------10分
18.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由可得
解得， ---------2分
故数列是以2为首项，为公比的等比数列，. ---------------4分
212log 21n n b a n ∴=-+=-. --------6分
（Ⅱ）
123(21)2123252...(21)2n n n n n n c a b n T n =⋅=-∴=⨯+⨯+⨯++- ①
23412123252...(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+- ②
①- ②得：1231
122(22...2)(21)2n n n T n +-=⨯++++--
21112(12)
22(21)262(32)12
n n n n n -++-=+⨯--=-+--
-----------12分
19.【解析】（1）
由题意得：2()2cos 2cos 2212sin(2)16
f x x x x x x π
==+=+
+．
---------2分 所以，函数的最小正周期为， -------3分 由222,()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈得：
函数的单调递增区间是,().36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
----------6分
（2）
()2,2sin(2)126
f A A π
=∴++=，解得， ------8分 又外接圆的半径，． 再由正弦定理，解得sin 1sin ,26
b A B B a π
=
=∴= ，即△为直角三角形． --------11分
. ------------12分 20．【解析】（1）955981,9S a a ==∴=， ----------2分
又
52
23,252
a a a d -=∴=
=-， ----------------3分 所以()2221n a a n d n =+-=-； ------------5分 （2），， -----------8分
()12112()11
n T n n n n ==-++． ---------9分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...413131212112n n U n
． ----------12分
21.【解析】（1）为定义域上的单调增函数。

-------1分
()211
ln 42
f x x x x =+
-的定义域为 ()22
17
()111224'2222x x x f x x x x x
-+
-+=+-==>0 -------- 4分 所以是定义域上的增函数 -------- 6分 （2）(]()0,,0≤-∈mx x f e x 恒成立，等价于恒成立， 即 -----------8分
令()ln 11
()42
f x x h x x x x ==+-
()21ln 1
'04
x h x x -=
+>，则在上单调递增 --------10分 ()()()max 11
0,142
e h x h e e ==+-∈， ------------11分
所以的最小整数值为1. -----------12分 22.【解析】（Ⅰ）由已知函数的定义域为，
211(),ax f x ax x x
+'=+= -----------1分
当时，在上单调递增； ----------3分
当时，令，解得.， 当时，；当时，.
所以函数在内单调递增，在内单调递减. ---------6分
（Ⅱ）当时，由（1）可知在上单调递增，函数不可能有两个零点； -------8分
当时，由（1）得，函数在内单调递增，在内单调递减，且当x 趋近于0和正无穷大时，都趋近于负无穷大，故若要使函数有两个零点； --------10分 则的极大值，即，解得
所以的取值范围是 ---------12分。