甘肃省天水一中2016-2017学年高二(下)开学数学试卷(理科)

2016-2017学年甘肃省天水一中高二（下）开学数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共45分）
1．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）
3．函数函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）
4．平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），则y轴与平面α所成的角的大小为（）A．B．C．D．
5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）
A．1 B．C．D．
6．已知抛物线y2=2px上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）
A．x=8 B．x=﹣8 C．x=4 D．x=﹣4
7．函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3） B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在
9．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）
二、填空题（每题5分，共15分）
10．已知双曲线的一条渐近线为，则a=．
11．函数f（x）=x3﹣3x2+m在区间上的最大值是2，则常数m=．
12．点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值是．
三、解答题（共40分）
13．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．
14．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
15．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB
面积的最大值．
2016-2017学年甘肃省天水一中高二（下）开学数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共45分）
1．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．
【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；
所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；
但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．
所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．
故选A．
2．已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】本题的关键是判定命题p：∃x∈R，使得，命题
的真假，在利用复合命题的真假判定．
【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得，
当x＜0时，命题p成立，命题p为真
命题，
显然，命题q为真
∴根据复合命题的真假判定，
p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假
3．函数函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．
【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x ＞2．
故选：D．
4．平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），则y轴与平面α所成的角的大小为（）A．B．C．D．
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角．
【分析】设y轴与平面α所成的角的大小为θ，由在y轴上的单位向量和平面α的一个法向量，利用向量法能求出结果．
【解答】解：设y轴与平面α所成的角的大小为θ，
∵在y轴上的单位向量=（0，1，0），平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），
∴sinθ=|cos＜，＞|=||=，
∴θ=．
故选：B．
5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）
A．1 B．C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．
【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k+与2﹣互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．
故选：D．
6．已知抛物线y2=2px上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）
A．x=8 B．x=﹣8 C．x=4 D．x=﹣4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意得：抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．因为点M（1，m）到其焦点的距离为5，所以点M到抛物线的准线的距离为：，从而得到p=8，得到该抛物线的准线方程．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=2px
∴抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=﹣
又∵点M（1，m）到其焦点的距离为5，
∴p＞0，根据抛物线的定义，得，
∴p=8，所以准线方程为x=﹣4
故选D
7．函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】导数的运算；函数的图象．
【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案
【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，
根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．
故选：D．
8．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3） B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值．
【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，
又∵在x=1时f（x）有极值10，
∴，
解得或，
验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，
故选B．
9．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．
【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，
故函数h（x）在R上单调递增．
∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），
∴x＜﹣3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，
∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选：A
二、填空题（每题5分，共15分）
10．已知双曲线的一条渐近线为，则a=．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】通过双曲线方程求出渐近线方程，与已知方程比较即可求出a的值．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为x+y=0，
可知=，
∴a=，
故答案为：．
11．函数f（x）=x3﹣3x2+m在区间上的最大值是2，则常数m=2．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是f（0）=m，则m值可求．
【解答】解：f′（x）=3x（x﹣2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在递减，
∴f（x）max=f（0）=m=2，
故答案为：2
12．点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．
【分析】求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
【解答】解：设P（x，y），则y′=2x﹣（x＞0）
令2x﹣=1，则（x﹣1）（2x+1）=0，
∵x＞0，∴x=1
∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标为（1，1）
由点到直线的距离公式可得d==
故答案为：
三、解答题（共40分）
13．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．
【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；
（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．
【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），
所以•=0，•=0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），
=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；
设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，
则即，
因此可取=（0，﹣1，﹣2）；
设是平面PBQ的法向量，则，
可取=（1，1，1），
所以cos＜，＞=﹣，
故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．
14．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）由，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．
15．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离
为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）
x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时，．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知，得．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
∴，．
∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2
=
=
=
=
=．
当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，
综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
．
2017年4月25日。