高二数学上学期期末联考试题 理 试题 2(共17页)

2021—2021学年(xuénián)第一学期期末高二年级学业程度质量检测
数学〔理科〕试卷
一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每个小题给出的四个选项里面，只有一个符合题目要求的。

)
1．命题“∃x∈R+，lnx＞0〞的否认是〔〕
A．∃x∈R+，lnx＞0 B．∀x∈R+，lnx≤0 C．∀x∈R+，lnx＞0 D．∃x∈R+，lnx≥0 2．等差数列{a n}中，假设a2+a8=15﹣a5，那么的a5值为〔〕
A．3 B．4 C．5 D．6
3．抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的间隔是〔〕
A． B． C．1 D．
4．椭圆+=1〔a＞b＞0〕的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，|MF1|=，|MF2|=，那么离心率e等于〔〕
A．B．C． D．
5．实数x，y满足，那么z=y﹣x的最大值是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．假设=， =， =，那么以下向量中与相等的向量是〔〕
A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+
7．椭圆(tuǒyuán)的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，那么此椭圆方程为〔〕
A．B．C．D．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．A=120°，a=7，c=5，那么=〔〕
A． B ． C． D．
9．直线与曲线的交点个数为〔〕
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为〔〕
A． B． C． D．
11．lga+lgb=lg2， +的最大值是〔〕
A．2 B．2 C． D．
12．双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左右焦点分别为F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，假设双曲线C在第一象限内存在一点P使=成立，那么双曲线C 的离心率的取值范围是〔〕
A．1， +1〕 B．〔1， +1〕 C．〔+1，+∞〕 D．〔1，
+1〕
二、填空题〔一共(yīgòng)5小题，每一小题5分，满分是20分〕
13．命题“假设x2﹣2x﹣3＞0，那么x＜﹣1或者x＞3〞的逆否命题是。

14．不等式≤1的解集是。

15．对于曲线有以下判断：〔1〕它表示圆；〔2〕它关于原点对称；
．其中正确的有________〔填上相应的序〔3〕它关于直线对称；〔4〕
x≤1且y≤1
号即可〕。

16．数列{an}满足+++…+=[]2〔n∈N*〕，数列{bn}满足=，那么数列{ }的前n项和= 。

三、解答题〔一共7小题，满分是60分解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17．〔此题满分是10分〕p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣〔2a+1〕x+a〔a+1〕≤0
〔1〕假设a=，且p∧q为真，务实数x的取值范围。

〔2〕假设p是q的充分不必要条件，务实数a的取值范围。

18.〔此题满分是12分〕不等式m－2x＋m－2＜0。

(1) 假设对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2) 设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。

19．〔此题满分(mǎn fēn)是12分〕在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos2A+3cos〔B+C〕=1。

〔1〕求角A的大小；
〔2〕假设a=2，b+c=4，求△ABC的面积。

20．〔此题满分是12分〕数列{a n}为等差数列，a3=3，a7=7，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n﹣2
〔1〕求{a n}、{b n}的通项公式
〔2〕假设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求T n。

21．〔此题满分是12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
〔I〕求证：PB⊥AD；
〔II〕假设PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值。

22．〔此题满分(mǎn fēn)是12分〕椭圆C： +〔a＞b＞0〕的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的间隔为2。

〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？假设存在，求点P的坐标与直线l的方程；假设不存在，说明理由。

2021—2021学年第一学期期末高二年级学业程度质量检测
数学答案〔理科〕
1．命题“∃x∈R+，lnx＞0〞的否认是〔〕
A．∃x∈R+，lnx＞0 B．∀x∈R+，lnx≤0C．∀x∈R+，lnx＞0 D．∃x∈R+，lnx≥0【解答】解：特称命题的否认是全称命题，那么命题“∃x∈R+，lnx＞0〞的否认是：
∀x∈R+，lnx≤0，
应选：B
2．等差数列{a n}中，假设a2+a8=15﹣a5，那么a5的值是〔〕
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由题意得，a2+a8=15﹣a5，
所以(suǒyǐ)由等差数列的性质得a2+a8=2a5=15﹣a5，
解得a5=5，
应选：C．
3．抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的间隔是〔〕
A． B． C．1 D．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，
∴抛物线y2=8x的焦点坐标为〔2，0〕，
由题得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为x±y=0，
∴F到其渐近线的间隔 d==．
应选：B．
4．椭圆+=1〔a＞b＞0〕的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，|MF1|=，|MF2|=，那么离心率e等于〔〕
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，|F1F2|==2=2c，2a=+=6，
∴e==．
应选： C．
5．实数(shìshù)x，y满足，那么z=y﹣x的最大值是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由约束条件画出平面区域，如下图．
A〔0，1〕，
化目的函数z=y﹣x为y=x+z，
由图可知，当直线y=x+z过点A时，目的函数获得最大值．
∴z max=1﹣0=1．
应选：A．
6．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．假设=， =， =，那么以下向量中与相等的向量是〔〕
A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+
【解答(jiědá)】解：由题意， =
===；
应选A．
7．椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，那么此椭圆方程为〔〕
A．B．C．D．
【解答】解：∵椭圆的中心为原点，离心率，
且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∴椭圆的焦点坐标F〔0，±〕，
∴设椭圆方程为，
且，解得a=2，c=，∴b==1，
∴椭圆方程为．
应选A．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．A=120°，a=7，c=5，那么= A． B． C． D．
【解答】解：∵A=120°，a=7，c=5，
∴由余弦定理可得：72=b2+52﹣2×b×5×cos120°，整理可得：b2+5b﹣24=0，
∴解得：b=3或者﹣8〔舍去〕．
∴由正弦定理及比例的性质可得： ==．
应选(yīnɡ xuǎn)：D．
9 C
10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为〔〕
A． B． C． D．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系〔图略〕，
那么A〔2，0，0〕，B〔2，2，0〕，C〔0，2，0〕，C1〔0，2，1〕
∴=〔﹣2，0，1〕，=〔﹣2，2，0〕，且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos＜，＞═=．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
故答案为C．
11．lga+lgb=lg2， +的最大值是〔〕
A．2 B．2 C． D．
【解答】解：∵lga+lgb=lg2，∴lgab=lg2，
∴正数(zhèngshù)ab满足ab=2，∴b=，
∴+=+
=+==≤=
当且仅当a=即a=时取等号．
应选：D
12．双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左右焦点分别为F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，假设双曲线C在第一象限内存在一点P使=成立，那么双曲线C 的离心率的取值范围是〔〕
A．1， +1〕B．〔1， +1〕C．〔+1，+∞〕D．〔1， +1〕
【解答】解：在△PF1F2中，可得=，
由=，可得
e===，
即有|PF1|=e|PF2|，
由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=〔e﹣1〕|PF2|，
由存在P，可得|PF2|＞c﹣a，
即有2a＞〔e﹣1〕〔c﹣a〕，
由e=，可得〔e﹣1〕2＜2，
解得1＜e＜1+．
应选：B．
二、填空题〔一共(yīgòng)5小题，每一小题5分，满分是20分〕
13．命题“假设x2﹣2x﹣3＞0，那么x＜﹣1或者x＞3〞的逆否命题是假设﹣1≤x≤3，那么x2﹣2x﹣3≤0．
14．不等式≤1的解集是〔﹣∞，1〕∪[5，+∞〕
15．〔2〕、〔3〕
16．数列{a n}满足+++…+=[]2〔n∈N*〕，数列{b n}满足
b n=a n a n+1，那么数列{b n}的前n项和S n=
【解答】解：∵数列{a n}满足+++…+=[]2〔n∈N*〕，
∴当n=1时， =1，解得a1=1．
当n≥2时， +++…+=〔n∈N*〕，
可得： =n3，解得a n=．
当n=1时，上式也成立．
∴a n=．
∴数列{b n}满足b n=a n a n+1==．
那么数列{b n}的前n项和S n=++…+=1﹣=．
故答案为：．
三、解答(jiědá)题〔一共7小题，满分是60分解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕
17．〔此题满分是10分〕p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣〔2a+1〕x+a〔a+1〕≤0
〔1〕假设a=，且p∧q为真，务实数x的取值范围．
〔2〕假设p是q的充分不必要条件，务实数a的取值范围．
【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1；
∴〔1〕假设a=，那么q：；.......................4’
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴，∴；
∴实数x的取值范围为；................7’
〔2〕假设p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴，∴；
∴实数a的取值范围为．..............10’
18不等式m－2x＋m－2＜0.
(1) 假设对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2) 设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
【解答】解：(1) 对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方，当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m
≠0时，由二次函数的图象可知有⎩
⎪⎨⎪⎧m<0，
Δ＝4－4m 〔m －2〕<0，解得m<1－2，综上可知m 的取
值范围是(－∞，1－2)．............6’
(2) 设g(m)＝(x 2
＋1)m －2x －2，它是一个(y ī ɡè)以m 为自变量的一次函数，由x 2
＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，那么由题意只需g(2)<0即可，即2x 2
＋2－2x －2<0，解得0<x<1，所以x 的取值范围是(0，1)．..........12’....
19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos2A+3cos 〔B+C 〕=1． 〔1〕求角A 的大小； 〔2〕假设a=2
，b+c=4，求△ABC 的面积．
〔2〕由余弦定理可得a 2=〔b+c 〕2﹣bc ，代入数据可得bc 的值，整体代入面积公式可得． 【解答】解：〔1〕∵在△ABC 中cos2A+3cos 〔B+C 〕=1， ∴2cos 2
A ﹣1﹣3cosA=1，即2cos 2
A ﹣3cosA ﹣2=0， 解得cosA=﹣，或者cosA=2〔舍去〕， 由A ∈〔0，π〕可得A=
；...............6’
〔2〕由余弦定理可得a 2
=b 2
+c 2
﹣2bccosA =b 2
+c 2
+bc=〔b+c 〕2
﹣bc ，
代入数据可得12=16﹣bc ，解得bc=4，...................10’ ∴△ABC 的面积S=bcsinA==
．..............................12’
20．数列{a n }为等差数列，a 3=3，a 7=7，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =2b n ﹣2 〔1〕求{a n }、{b n }的通项公式
〔2〕假设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．
【解答(jiědá)】解：〔1〕∵数列{a n}为等差数列，a3=3，a7=7，设公差为d．∴，解得，
∴a n=1+〔n﹣1〕×1=n，n∈N*．
∵数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n﹣2，
∴b1=S1=2b1﹣2，解得b1=2，
当n≥2时，由S n=2b n﹣2及S n﹣1=2b n﹣1﹣2，
两式相减，得b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1，
∴{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴b n=2•2n﹣1=2n．〔n∈N*〕．…………………………………..6’
〔2〕∵c n==，
∴数列{c n}的前n项和：
T n=，①
=，②
①﹣②，得： =﹣
=﹣
=1﹣，
∴T n=2﹣．........................................12’
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
〔I〕求证(qiúzhèng)：PB⊥AD；
〔II〕假设PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【解答】〔Ⅰ〕证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．
∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，
那么PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…〔3分〕
又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…〔5分〕
〔Ⅱ〕解：在△PBE中，由得，PE=BE=，PB=，那么PB2=PE2+BE2，
∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如下图空间直角坐标系，
那么E〔0，0，0〕，C〔﹣2，，0〕，D〔﹣1，0，0〕，P〔0，0，〕，
那么=〔1，0，〕，=〔﹣1，，0〕，
由题意可设平面APD的一个法向量为=〔0，1，0〕；…〔7分〕
设平面PDC的一个法向量为=〔x，y，z〕，
由得：，
令y=1，那么x=，z=﹣1，∴ =〔，1，﹣1〕；
那么(nà me)=1，∴cos＜＞===，…〔11分〕
由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，
所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…〔12分〕
22．椭圆C： +〔a＞b＞0〕的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的间隔为2．
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？假设存在，求点P的坐标与直线l的方程；假设不存在，说明理由．
【解答】解：〔1〕设F〔c，0〕，可得直线l的方程为y=x﹣c，
即为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的间隔为2，
即有2=，解得c=2，
由e==，可得a=2，b=2，
即有椭圆的方程为+=1；…………………………..4’
〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，P〔x0，y0〕，
①当直线(zhíxiàn)l的斜率存在，设其方程为：y=k〔x﹣2〕〔k≠0〕
由，消去y得〔1+3k2〕x2﹣12k2x+24k2﹣12=0．
∴x1+x2=，
∴y1+y2=k〔x1+x2﹣4〕=k•〔﹣4〕=，............6’∵=+，
∴x0=x1+x2=，
∴y0=y1+y2=．………………………..8’
将P点坐标代入椭圆得〔〕2+3〔〕2=12，
∴15k4+2k2﹣1=0，∴k2=〔﹣舍去〕，即为k=±．
当k=时，P〔，﹣〕，直线l：x﹣y﹣2=0，
当k=﹣时，P〔，〕，直线l：x+y﹣2=0．…………10’
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=2，
依题意，四边形OAPB为菱形，此时点P不在椭圆上，
即当直线l的斜率不存在时，不合适题意；
综上所述，存在P，且P〔，﹣〕，直线l：x﹣y﹣2=0，
或者P〔，〕，直线l：x+y﹣2=0．………………..12’
内容总结
（1）2021—2021学年第一学期期末高二年级学业程度质量检测数学〔理科〕试卷
一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每个小题给出的四个选项里面，只有一个符合题目要求的
（2）〔3分〕
又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD。