2014届高考数学文一轮复习(浙江省专用)作业手册32数列的综合应用(附详细解析)

课时作业(三十二) [第32讲 数列的综合应用]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．[教材改编试题] 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )
A ．－4
B ．－6
C ．－8
D ．－10
2．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.013 2，lg0.5＝－0.301 0)( )
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25
3．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )
A ．11
B ．17
C ．22
D ．23
4．[2012·长春调研] 各项都是正数的等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 10＋a 12a 8＋a 10
＝( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9
能力提升
5．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝( )
A.1n
B.2n
C ．－1n
D ．－2n
6．[2012·红河州检测] 若一等差数列{a n }的首项a 1＝－5，其前11项的平均值为5，又若从中抽取一项，余下的10项的平均值为4，则抽去的是( )
A ．a 8
B ．a 9
C ．a 10
D ．a 11
7．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝1－1a n －1
(n ≥2)，则a 2 012＝( ) A ．－12 B ．－23
C.35
D.52
8．[2012·开封模拟] 已知数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
9．[2012·郑州检测] 已知函数f (x )＝15
x 5＋x 3＋4x (x ∈R )，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )
A ．恒为正数
B ．恒为负数
C ．恒为0
D ．可正可负
10．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．
11．已知数列{a n }中，a 201＝2，a n ＋a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则a 2 012＝________．
12．[2012·日照一中月考] 已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，对于函数y ＝ln x －x ，当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于________．
13．[2012·宁波荆州区适应性考试] 对于正项数列{a n }，定义H n ＝n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，若H n ＝2n ＋2
，则数列a n 的通项公式为________．
14．(10分)[2012·湖州二模] 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n ＋log 21a n
，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的n 的最小值．
15．(13分)[2012·浙江五校联考] 设公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝8，S 2＝48，数列{b n }满足b n ＝4log 2a n .
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)求正整数m 的值，使得b m ·b m ＋1b m ＋2
是数列{b n }中的项．
难点突破
16．(12分)[2012·江西八校联考] 已知等差数列{a n }的首项为正整数，公差为正偶数，且a 5≥10，S 15<255.
(1)求通项a n ；
(2)若数列a 1，a 3，ab 1，ab 2，ab 3，…，ab n ，…，成等比数列，试找出所有的n ∈N *，使c n ＝b n －14
为正整数，说明你的理由．
课时作业(三十二)
【基础热身】
1．B [解析] ∵a 1a 4＝a 23，∴(a 2－2)(a 2＋4)＝(a 2＋2)2.∴2a 2＝－12.∴a 2＝－6.
2．B [解析] 依题意有(1－3%)n <0.5，所以n >lg0.5lg0.97
≈22.8.故选B. 3．C [解析] 逐项计算得该数列的前6项依次为：2，4，8，10，20，22，故选C.
4．D [解析] 由已知a 3＝3a 1＋2a 2，于是q 2＝3＋2q ，由数列各项都是正数，解得q ＝3，所以a 10＋a 12a 8＋a 10
＝q 2＝9.故选D.
【能力提升】
5．C [解析] 已知变形为1a n ＋1－1a n
＝－1，设b n ＝1a n ，则{b n }是等差数列，b 1＝－1，b n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n
.故选C.
6．D [解析] S 11＝11a 1＋11×102
d ＝11×5，可得d ＝2.由S 11－a n ＝40，得a n ＝15，即a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15.∴n ＝11.故选D.
7．B [解析] 由递推公式得a 2＝－23，a 3＝52，a 4＝35，a 5＝－23
，…，所以数列{a n }是周期数列，周期为3，于是a 2 012＝a 2 010＋2＝a 2＝－23
.故选B. 8．C [解析] ∵log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1，∴log 2a n ＋1a n ＝1，∴a n ＋1a n
＝2，所以，数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列，所以S n ＝1－2n
1－2
＝2n －1>1 025，∴2n >1 026.又210<1 026<211，∴n >10，∴n min ＝11.故选C.
9．A [解析] 因为函数f (x )＝15
x 5＋x 3＋4x 是奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a 3)>f (0)＝0，又数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 5＝2a 3>0，∴a 1>－a 5，所以f (a 1)>f (－a 5)，即f (a 1)＋f (a 5)>0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0.故选A. 10.
104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10＝4，所以x ＝104－
1.
11．－2 [解析] 由已知得a n ＋1＝－a n ，所以a 202＝－2，a 203＝2，a 204＝－2，…，可以看出，奇数项为2，偶数项为－2，所以a 2 012＝－2.
12．－1 [解析] 对函数求导得y ′＝1x －1＝1－x x
(x ∈(0，＋∞))，当0<x <1时，y ′>0，当x >1时，y ′<0，所以当x ＝1时，函数有极大值为y ＝ln1－1＝－1，所以b ＝1，c ＝－1.因为实数a ，b ，c ，d 成等比数列，所以ad ＝bc ＝－1.
13．a n ＝2n ＋12n [解析] 由题意得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n （n ＋2）2，则na n ＝n （n ＋2）2
－（n －1）（n ＋1）2＝2n ＋12，则a n ＝2n ＋12n
. 14．解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，
依题意，有⎩
⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2（a 3＋2），即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（2＋q 2）＝3a 1q ， ①a 1（q ＋q 3）＝2a 1q 2＋4. ② 由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.
当q ＝1时，不合题意，舍；
当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以，a n ＝2·2n －1＝2n .
故所求数列{a n }的通项公式a n ＝2n .
(2)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n . 所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n
＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n )
＝2（1－2n ）1－2
－n （1＋n ）2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12
n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.
因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.
15．解：(1)设{a n }的公比为q ，则有⎩
⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝8，a 1＋a 1q ＝48⇒q ＝12或q ＝－13(舍)． 则a 1＝8q 2＝32，a n ＝32·⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n ， b n ＝4log 2a n ＝4log 226－n ＝－4n ＋24.
即数列{a n }的通项公式为a n ＝26－n ，{b n }的通项公式为b n ＝－4n ＋24.
(2)∵b m ·b m ＋1b m ＋2＝（24－4m ）（20－4m ）（16－4m ）＝4（6－m ）（5－m ）（4－m ），令t ＝4－m (t ≤3，t ∈Z )，所以
b m ·b m ＋1b m ＋2＝4（6－m ）（5－m ）（4－m ）
＝4（2＋t ）（1＋t ）t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＋3＋2t ， 如果b m ·b m ＋1b m ＋2
是数列{b n }中的项，设为第m 0项，则有4⎝⎛⎭⎫t ＋3＋2t ＝4(6－m 0)，那么t ＋3＋2t 为小于等于5的整数，所以t ∈{－2，－1，1，2}．
当t ＝1或t ＝2时，t ＋3＋2t
＝6，不合题意； 当t ＝－1或t ＝－2时，t ＋3＋2t
＝0，符合题意． 所以，当t ＝－1或t ＝－2时，即m ＝5或m ＝6时，b m ·b m ＋1b m ＋2
是数列{b n }中的项． 【难点突破】
16．解：(1)因为S 15＝15a 8，设{a n }的公差为d ，则有⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥10，①a 1＋7d <17，② 由①得－a 1－4d ≤－10，③
②＋③有3d <7⇔d <73
，所以d ＝2. 将d ＝2代入①、②有a 1≥2且a 1<3，所以a 1＝2.
故a n ＝2＋(n －1)×2，即a n ＝2n (n ∈N *)．
(2)由(1)可知a 1＝2，a 3＝6，∴公比q ＝a 3a 1
＝3， ab n ＝2·3(n ＋2)－1＝2·3n ＋1.
又ab n ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ，
∴2·3n ＋1＝2b n ，即b n ＝3n ＋1，故c n ＝3n ＋1－14
. 此时当n ＝1，3，5时符合要求；当n ＝2，4时不符合要求． 由此可猜想：当且仅当n ＝2k －1，k ∈N *时，c n 为正整数．
证明如下：
逆用等比数列的前n 项和公式有：c n ＝12×1－3n ＋11－3
＝12(1＋3＋32＋…＋3n )． 当n ＝2k ，k ∈N *时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时c n ∉N *； 当n ＝2k －1，k ∈N *时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时c n ∈N *. 故满足要求的所有n 为n ＝2k －1，k ∈N *.。