等差数列的前n项和公式

课题： §2.3 等差数列的前n 项和（第一课时）
一、教学目标
（1）知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和相关的问题
（2）过程与方法：通过公式的推导和公式的使用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成理解问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生实行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
（3）情感态度与价值观：通过公式的推导过程，表达数学中的对称美。

二、教学重点、难点：
重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应用；
难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的相关问题
三、教学过程
Ⅰ.复习
等差数列的性质：
性质一、等差中项：若c b a ,,三个数成等差数列，则b 叫c a ,的等差中项，且c a b +=2 性质二、在等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+
Ⅱ。

课题导入
“小故事”：
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说： “现在给大家出道题目：
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。

教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就擅长观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现
和寻找出某些规律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“高斯算法”又叫“倒序相加法”。

下面我们用“倒序相加法”来求等差数列的前n 项和公式
Ⅲ.讲授新课
1.等差数列前n 项和公式的推导
已知等差数列}{n a 的首项1a ，公差为d,我们称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项和，用n s 表示，即n n a a a a s ++++= (321)
由“高斯算法” n n n a a a a a S +++++=-1321 ①
1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②
①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--
∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a
∴)(21n n a a n S += 由此得：2
)(1n n a a n S += 可见等差数列的前n 项和公式为：2)(1n n a a n S +=
（公式一） 思考：假设代入等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+= ，上面前n 项和公式变为什么了？（学生自己推导）
2
)1(1d n n na S n -+= （公式二） 思考；比较这两个公式，说说他们分别从哪些角度反映了等差数列的前n 项，公式 （生）公式一：要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1
公式二：要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1
2.[范例讲解] 课本P43-44的例1、例2、例
3.
例1： 2000年11月14日教育部颁发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的费用为500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
（师）：等差数列前n 项和公式的理解及简单应用
,50,5001==d a 从2001--2010年（n=10）求10s 的值
例2：在等差数列}{n a 中，已知2
15,23,21-===n n S a d 求1a 与d. 说明：在等差数列的通项公式与前n 项和公式中的n n S n a d a ,,,,1五个量中，只要已知其中的三个量就能求出剩余的三个量。

例3：已知数}{n a 的前项和为n n S n 2
12+= ，求这个数列的通项公式。

这个数列是等差数列吗？假如是，它的首项和公差分别是什么？
解：根据n n n a a a a a s +++++=-1321...
（
)1(...13211>++++=--n a a a a s n n 可知：当1>n 时
()212)]1(211[)21(221-=-+--+=-=-n n n n n s s a n n n ① 当1=n 时2
31211211=⨯+==s a ② 把②代入①也满足
所以数列}{n a 的通项公式为：212-=n a n 由此可知数列}{n a 是一个首项为2
3，公差为2的等差数列。

反思：若一数列的前n 项和 S n =An 2+Bn 的形式,则此数列为等差数列，反之也成立.
（师）：由例3得n S 与n a 之间的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，
即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n
.
Ⅳ.课堂练习
课本P45练习1、2、3 Ⅴ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前n 项和公式1：2
)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d n n na S n -+= 3.已知数列的前n 项和n s ，求通项公式⎩⎨⎧≥-==-)
2()1(11n s s n s a n n n Ⅵ.课后作业
课本P46习题[A 组]2、3题。