2020春华师大版八年级数学下册课件：专项训练九 特殊平行四边形的性质与判定 (共15张PPT)
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2452－52＝145，∴EF＝2OE＝125.
• 13．【辽宁本溪中考】如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分 ∠ABC.
• (1)求证：四边形ABCD是菱形；
• (2)过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E， 若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周 长．
C点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是( ) • A．45° • B．30° • C．22.5° • D．20°
• 8．【浙江绍兴中考】在探索“尺规三等分角” 这个数学名题的过程中，曾利用了上图，在 这个图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延 长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝ C ∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°， 则∠ECD的度数是
∠DOF＝∠BOE， BD 的中点，∴OD＝OB.在△DOF 和△BOE 中，∵∠DFO＝∠BEO， ∴△DOF
OD＝OB，
≌△BOE(A．A．S.)，∴DF＝BE.又∵DF∥BE，∴四边形 BEDF 是平行四边形．
(2)解：由(1)，知四边形 BEDF 是平行四边形，又∵DE＝DF，∴四边形 BEDF 是菱 形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF.设 AE＝x，则 DE＝BE＝8－x.在 Rt△ADE 中， 根据勾股定理，得 AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，∴DE＝8－74＝ 245.在 Rt△ABD 中，根据勾股定理，得 AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝ 62＋82＝10，∴ OD＝12BD＝5.在 Rt△DOE 中，根据勾股定理，得 DE2－OD2＝OE2，∴OE＝
•( )
• A．7° B．21°
• C．23° D．24°
• 9．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于 点O，AE平分∠BAD交BCC于点E，连结OE， 若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为( )
• A．85°
• B．80°
• C．75°
• D．70°
• 10．如图，四边形ABCD是菱形， 点E、B、D、F在同一条直线上， EB＝DF，∠E＝∠BAD＝30°， 求∠DAF的度数．
第19章 矩形、菱形与正方形
专项训练九 特殊平行四边形的性质与判定
重难突破
• 类型1 与特殊平行四边形边长有关的计算 • 1．【辽宁大连中考】如图，在菱形ABCD中，
对角线AC、BD相A 交于点O，若AB＝5，AC ＝6，则BD的长是( ) • A．8 • B．7 • C．4 • D．3
2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为
• 12．【2019·湖北鄂州中考】如图，矩形 ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线 BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边 于点E、F.
• (1)求证：四边形DEBF是平行四边形； • ((21)证)当明：D∵E四＝边形DAFBC时D 是，矩形求，E∴FAB的∥C长D，．∴∠DFO＝∠BEO.∵点 O 是
12
• 55．如图，在△ABC中，AB＝3，
• 6．如图，已知正方形ABCD的边长 为5，G是BC边上的一点，DE⊥AG 于点E，BF∥DE，且交AG于点F.若 DE＝4，求EF的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝5，∠BAD＝∠BAF＋∠DAF＝
90°.∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠DEA＝∠BFA＝90°，∴∠BAF＋∠
ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE.在△ABF和△DAE中，∵∠∠AABFFB＝＝∠∠DDAEEA，， ∴△ AB＝DA，
ABF≌△DAE(A．A．S.)，∴AF＝DE＝4.在Rt△ADE中，AE＝ AD2－DE2 ＝
52－42＝3，∴EF＝AF－AE＝4有关的计算 • 7．如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一
证明：(1)∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O 为 AC 的中点， ∴OA＝OC.又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即 OE＝OF，∴△BOE≌△ DOF(A．A．S.)． (2)由(1)，得△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵O 是 AC 的中点， 即 OA＝OC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．∵OD＝12AC＝OA，∴OA＝OB＝OC ＝OD，∴BD＝AC，∴四边形 ABCD 是矩形．
( 3，1)，则点C的坐标为( B )
A．－32，1
B．(－1， 3)
C．32，1
D．32，－1
• 3．如图，在菱形ABCD中，对角线 AC＝124，0 BD＝16，则这个菱形的 周长为______.
• 4．如图，在菱形3 ABCD中，∠B＝ 60°，AB＝3，四边形ACEF是正 方形，则EF的长为_____.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.∵EB
＝ DF ， ∴ EB ＋ BD ＝ BD ＋ DF ， 即 ED ＝ FB. 在 △ ABF 和 △ CDE 中 ， ∵
A∠BA＝BFC＝D，∠CDE，∴△ABF≌△CDE(S.A．S.)，∴∠F＝∠E＝30°.∵四边形 ABCD FB＝ED，
为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠BAD＝30°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∴∠DAF＝∠ADB－∠F＝75°－30°＝45°.
类型 3 与特殊平行四边形有关的证明 11．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，已知 O 是 AC 的中点， AE＝CF，DF∥BE. (1)求证：△BOE≌△DOF； (2)若 OD＝12AC.求证：四边形 ABCD 是矩形．
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB.∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形 ABCD 是平行四 边形．又∵BA＝BC，∴四边形 ABCD 是菱形． (2)解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°， ∴∠DBC＋∠E＝∠BDC＋∠CDE＝90°.∵四边形 ABCD 是菱形，∴CB＝CD，∴∠ DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC＝5，∴BE＝2BC＝10.在 Rt△BDE 中，根据勾股定理，得 DE＝ BE2－BD2＝6.∵AD＝AB＝BC＝5，∴四边形 ABED 的周长为 AD＋AB＋BE＋DE＝26.
• 13．【辽宁本溪中考】如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分 ∠ABC.
• (1)求证：四边形ABCD是菱形；
• (2)过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E， 若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周 长．
C点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是( ) • A．45° • B．30° • C．22.5° • D．20°
• 8．【浙江绍兴中考】在探索“尺规三等分角” 这个数学名题的过程中，曾利用了上图，在 这个图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延 长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝ C ∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°， 则∠ECD的度数是
∠DOF＝∠BOE， BD 的中点，∴OD＝OB.在△DOF 和△BOE 中，∵∠DFO＝∠BEO， ∴△DOF
OD＝OB，
≌△BOE(A．A．S.)，∴DF＝BE.又∵DF∥BE，∴四边形 BEDF 是平行四边形．
(2)解：由(1)，知四边形 BEDF 是平行四边形，又∵DE＝DF，∴四边形 BEDF 是菱 形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF.设 AE＝x，则 DE＝BE＝8－x.在 Rt△ADE 中， 根据勾股定理，得 AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，∴DE＝8－74＝ 245.在 Rt△ABD 中，根据勾股定理，得 AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝ 62＋82＝10，∴ OD＝12BD＝5.在 Rt△DOE 中，根据勾股定理，得 DE2－OD2＝OE2，∴OE＝
•( )
• A．7° B．21°
• C．23° D．24°
• 9．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于 点O，AE平分∠BAD交BCC于点E，连结OE， 若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为( )
• A．85°
• B．80°
• C．75°
• D．70°
• 10．如图，四边形ABCD是菱形， 点E、B、D、F在同一条直线上， EB＝DF，∠E＝∠BAD＝30°， 求∠DAF的度数．
第19章 矩形、菱形与正方形
专项训练九 特殊平行四边形的性质与判定
重难突破
• 类型1 与特殊平行四边形边长有关的计算 • 1．【辽宁大连中考】如图，在菱形ABCD中，
对角线AC、BD相A 交于点O，若AB＝5，AC ＝6，则BD的长是( ) • A．8 • B．7 • C．4 • D．3
2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为
• 12．【2019·湖北鄂州中考】如图，矩形 ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线 BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边 于点E、F.
• (1)求证：四边形DEBF是平行四边形； • ((21)证)当明：D∵E四＝边形DAFBC时D 是，矩形求，E∴FAB的∥C长D，．∴∠DFO＝∠BEO.∵点 O 是
12
• 55．如图，在△ABC中，AB＝3，
• 6．如图，已知正方形ABCD的边长 为5，G是BC边上的一点，DE⊥AG 于点E，BF∥DE，且交AG于点F.若 DE＝4，求EF的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝5，∠BAD＝∠BAF＋∠DAF＝
90°.∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠DEA＝∠BFA＝90°，∴∠BAF＋∠
ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE.在△ABF和△DAE中，∵∠∠AABFFB＝＝∠∠DDAEEA，， ∴△ AB＝DA，
ABF≌△DAE(A．A．S.)，∴AF＝DE＝4.在Rt△ADE中，AE＝ AD2－DE2 ＝
52－42＝3，∴EF＝AF－AE＝4有关的计算 • 7．如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一
证明：(1)∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O 为 AC 的中点， ∴OA＝OC.又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即 OE＝OF，∴△BOE≌△ DOF(A．A．S.)． (2)由(1)，得△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵O 是 AC 的中点， 即 OA＝OC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．∵OD＝12AC＝OA，∴OA＝OB＝OC ＝OD，∴BD＝AC，∴四边形 ABCD 是矩形．
( 3，1)，则点C的坐标为( B )
A．－32，1
B．(－1， 3)
C．32，1
D．32，－1
• 3．如图，在菱形ABCD中，对角线 AC＝124，0 BD＝16，则这个菱形的 周长为______.
• 4．如图，在菱形3 ABCD中，∠B＝ 60°，AB＝3，四边形ACEF是正 方形，则EF的长为_____.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.∵EB
＝ DF ， ∴ EB ＋ BD ＝ BD ＋ DF ， 即 ED ＝ FB. 在 △ ABF 和 △ CDE 中 ， ∵
A∠BA＝BFC＝D，∠CDE，∴△ABF≌△CDE(S.A．S.)，∴∠F＝∠E＝30°.∵四边形 ABCD FB＝ED，
为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠BAD＝30°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∴∠DAF＝∠ADB－∠F＝75°－30°＝45°.
类型 3 与特殊平行四边形有关的证明 11．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，已知 O 是 AC 的中点， AE＝CF，DF∥BE. (1)求证：△BOE≌△DOF； (2)若 OD＝12AC.求证：四边形 ABCD 是矩形．
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB.∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形 ABCD 是平行四 边形．又∵BA＝BC，∴四边形 ABCD 是菱形． (2)解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°， ∴∠DBC＋∠E＝∠BDC＋∠CDE＝90°.∵四边形 ABCD 是菱形，∴CB＝CD，∴∠ DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC＝5，∴BE＝2BC＝10.在 Rt△BDE 中，根据勾股定理，得 DE＝ BE2－BD2＝6.∵AD＝AB＝BC＝5，∴四边形 ABED 的周长为 AD＋AB＋BE＋DE＝26.