天津市和平区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题及参考答案

天津市和平区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．对于二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ） A ．开口向下
B ．当x >1时，y 随x 的增大而减小
C ．函数图象与x
轴交于点（﹣1，0）和（3，0） D ．当x ＝1时，y 有最小值4
3．如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且⊙O 1经过⊙O 2的圆心，则⊙O 1AB 的度数为（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．20°
D ．15°
4．根据下列条件，判断⊙ABC 与⊙A′B′C′能相似的条件有（ ） ⊙⊙C ＝⊙C′＝90°，⊙A ＝25°，⊙B′＝65°；
⊙⊙C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，90C '∠︒＝，A′C′＝9cm ，B′C′＝6cm ；
⊙AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，AC ＝15cm ，A′B′＝150cm ，B′C′＝180cm ，A′C′＝225cm ； ⊙⊙ABC 与⊙A′B′C′是有一个角为80°等腰三角形 A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
5．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为（ ）
A．9
m
4
B．
19
m
8
C．
39
m
16
D．
45
m
16
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD⊙CE时，则⊙BAE的大小是（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
7．把形状完全相同风景不同的两张图片全部从中剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取两张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为（）
A．1
2B．
1
3
C．
1
4
D．
2
3
8．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO ＝4，则OF的长为（）
A．5B．9
5
C．
16
5
D．
12
5
9．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD上一点，且2
AF FD
，连结BF并延长交
CD的延长线于点G，则BE
EG
的值为（）
A．1
2B．
1
3
C．
2
3
D．
3
4
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）
A．B．C．
D．
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作⊙ABC的位似图形⊙A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，3
2
）C．（﹣
5
2
，
3
2
）D．（﹣
5
2
，2）
12．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）．⊙二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上
⊙当x＜2时，y随x的增大而增大，则m=2
⊙点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
13．已知正六边形的周长是24，则这个正六边形的半径为_____ ．
14．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷一次小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是__________．
15．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．
16．如图，等腰直角三角形ABC ，⊙C =90°，AC =BC =4，M 为AB 的中点，⊙PMQ =45°，⊙PMQ 的两边分别交BC 于点P ，交AC 于点Q ，若BP =3，则AQ =_____．
17．已知抛物线22224y x bx b c =-+-（其中b ，c 为常数）经过不同两点()1,A b m -，
()2,B b c m +，且该二次函数的图象与x 轴有公共点，则b c +的值为_________．
三、解答题
18．（1）如图⊙，AB ，CD 是⊙O 的两条平行弦，OE ⊙CD 交⊙O 于点E ，则弧AC 弧BD （填“>”，“<”或“=”）；
（2）如图⊙，⊙P AB 是⊙O 的内接三角形，OE ⊙AB 交⊙O 于点E ，则⊙APE ⊙BPE （填“>”，“<”或“=”）；
（3）如图⊙，⊙P AB 是⊙O 的内接三角形，⊙QP A 是它的外角，在弧AP 上有一点G ，满足PG 平分⊙QP A ，请用无刻度的直尺，画出线段PG ．（不要求证明）
19．（1）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．
20．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图⊙，连接AC，AD，OD，求证：OD∥AC；
（2）如图⊙，过点D作DE⊙AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
21．已知AB是⊙O直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线PC交AB的延长线于点P，D为弧AC上一点，连接BD，BC，D C．
（1）如图⊙，若⊙D=26°，求⊙PCB的大小；
（2）如图⊙，若四边形CDBP为平行四边形，求⊙PCB，⊙ADC的大小．
22．如图，在⊙ABC 中，⊙B ＝90°，AB ＝12cm ，BC ＝24cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 两点分别从A ，B 两点 同时出发，设运动时间为t s ． （1）用含t 的式子表示：
AP ＝ cm ，BP ＝ cm ，BQ ＝ cm ，PBQ
S
= cm 2，
APQC S =四边形 cm 2；
（2）当⊙PBQ 的面积为32cm 2时，求运动时间；
（3）四边形APQC 的面积能否等于72cm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
23．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元[ （1）求出y 与x 的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.
24．（1）如图⊙，⊙P AM 是等边三角形，在边PM 上取点B （点B 不与点P ，M 重合），连接AB ，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°，得到线段AC ，连接BC ，MC ． ⊙⊙MAC 可以看作⊙P AB 绕点 逆时针旋转 （度）得到的； ⊙⊙PMC = （度）．
（2）如图⊙，⊙P AM 是等腰三角形，⊙P AM =90°，AP =AM =PM 上取点B （点B 不与点P ，M 重合），连接AB ，将线段AB 绕点A 旋转，得到线段AC ，旋转角为α，连接PC ，BC ．
⊙当α = 90°时，若⊙PBC 的面积为1.5，求PB 的长；
⊙若AB ⊙PBC 面积的最大值（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线2y (1)23x m x m =-+++（m 为常数），点A （-1，-1），B （3，7）． （1）当抛物线2y (1)23x m x m =-+++经过点A 时，求抛物线解析式和顶点坐标； （2）抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时， ⊙求抛物线的解析式；
⊙在直线AB 下方的抛物线上有一点E ，过点E 作EF ⊙x 轴，交直线AB 于点F ，求线段EF 取最大值时的点E 的坐标；
（3）若抛物线与线段AB 只有一个交点，求m 的取值范围．
参考答案：
1．A 【解析】 【分析】
根据中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，则为中心对称图形）求解即可． 【详解】
解：B 、C 、D 三个选项的图形旋转180︒后，均不能与原来的图形重合，不符合题意， A 选项是中心对称图形．故本选项正确． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，深刻理解中心对称图形的概念是解题关键． 2．D 【解析】 【分析】
由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A 、B 、D ，令
0y =，解关于x 的一元二次方程则可判定C ．
【详解】 解：
2(1)4y x =--+，
10a =-<，
∴开口向下，
故A 说法正确，不合题意； 当1x 时，y 随x 的增大而减小， 故B 说法正确，不合题意；
令0y =可得22(1)4230x x x --+=--=， 解得：11x =-，23x =，
∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0)，
故C 说法正确，不合题意； ⊙对称轴为1x =，顶点坐标为(1,4)，
∴当1x =时，y 有最大值，最大值为4，
故D 不正确，符合题意． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 3．B 【解析】 【分析】
连接O 1O 2，AO 2，O 1B ，可得△AO 2O 1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】
解：连接O 1O 2，AO 2，O 1B ，
⊙O 1B = O 1A
⊙11211
2
O AB O BA AO O ∠=∠=∠
⊙⊙O 1和⊙O 2是等圆， ⊙AO 1=O 1O 2=AO 2， ⊙⊙AO 2O 1是等边三角形， ⊙⊙AO 2O 1=60°，
⊙⊙O 1AB =1
2⊙AO 2O 11602=⨯︒ =30°．
故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO 2O 1是等边三角形是解题关键． 4．C 【解析】
【分析】
根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】
解：（1）⊙⊙C ＝⊙C′＝90°，⊙A ＝25°． ⊙⊙B ＝65°．
⊙⊙C ＝⊙C′，⊙B ＝⊙B′． ⊙ABC A B C '''∽．
（2）⊙⊙C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，90C '∠︒＝ ，A′C′＝9，B′C′＝6． ⊙
2
=3
AC BC A C B C =''''，C C ∠∠'＝． ⊙ABC A B C '''∽．
（3）⊙AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，AC ＝15cm ，A′B′＝150cm ，B′C′＝180cm ，A′C′＝225cm ； ⊙
1
==15
AB AC BC A B A C B C =''''''． ⊙ABC A B C '''∽．
（4）⊙没有指明80°的角是顶角还是底角． ⊙无法判定两三角形相似． ⊙共有3对． 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 5．A 【解析】 【分析】
利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x =0，求得相应的函数值，即为所求的答案． 【详解】
解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点， ⊙设这段抛物线的解析式为y =a （x -1）2+3． ⊙该抛物线过点（3，0），
⊙0=a（3-1）2+3，
解得：a=-3
4
．
⊙y=-3
4
（x-1）2+3．
⊙当x=0时，y=-3
4
（0-1）2+3=-
3
4
+3=
9
4
，
⊙水管应长9
4 m．
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得⊙DAE=⊙BAC=50°，AE=AC，再由平行线的性质得⊙DAE=⊙AEC=50°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得⊙EAC的度数，即可求解．
【详解】
解：⊙将△ABC绕点A顺时针方向旋转得△ADE，
⊙⊙DAE=⊙BAC=50°，AE=AC，
⊙AD⊙CE，
⊙⊙DAE=⊙AEC=50°，
⊙AE=AC，
⊙⊙AEC=⊙ACE=50°，
⊙⊙EAC=180°-50°-50°=80°，
⊙⊙BAE=⊙EAC-⊙BAC=80°-50°=30°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出⊙EAC的度数是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图，然后根据树状图找出满足条件的结果即可得出概率．
【详解】
解：设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的结果共有4种，
∴摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：
41
123
P==，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查利用树状图或列表法求概率问题，理解题意，熟练运用树状图或列表法是解题关键．
8．D
【解析】
【分析】
连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分ABC
∠，OC平分BCD
∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90
BOC
∠=︒，利用勾股定理得出5
BC=，再由三角形的等面积法即可得．
【详解】
解：连接OF，OE，OG，
∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，
∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，
∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12
OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠， ∵AB CD ∥，
∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022
OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90BOC ∠=︒，
5BC ==， ∴11··22
OBC S OB OC BC OF ∆==， ∴341255
OF ⨯==， 故选：D ．
【点睛】
题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
9．C
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质得到AB ⊙CD ，则可判断△ABF ⊙⊙DGF ，于是根据相似三角形的性质得2AB AF DG DF ==，然后得到2AB CD DG ==，3CG DG =，则23
AB CG =，再判断
△ABE ⊙⊙CGE ，则
BE AB EG CG
=，即可得到答案． 【详解】
解：根据题意， ⊙四边形ABCD 是平行四边形，
⊙AB ⊙CD ，
⊙△ABF ⊙⊙DGF ， ⊙2AB AF DG DF
==， ⊙2AB CD DG ==，
⊙3CG CD DG DG =+=， ⊙23
AB CG =， ⊙AB ⊙CD ，
⊙△ABE⊙⊙CGE ， ⊙23
BE AB EG CG ==； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
10．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，采用形数结合的方法，探究图象经过的点，字母系数的符号对图象的影响，逐一排除即可．
【详解】
解：∵ 0a b c ++=，
∴函数图象过()1,0，
排除D ；
∵0a b c ++=，a b c >>，
∴0a >，排除A ；
由选项B 可知，0c >，对称轴12b x a
=-
=，得20b a =-<，与b c >矛盾，排除B ， 故选：C ．
【点睛】 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，结合图象并用系数进行分析判断是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
如图，过点A 作AE ⊙x 轴于E ，过点A ′作A ′F ⊙x 轴于F ．利用相似三角形的性质求出AE ，OE ，可得结论．
【详解】
解：如图，过点A 作AE ⊙x 轴于E ，过点A ′作A ′F ⊙x 轴于F ．
⊙B （-2，0），C （-1，0），B ′（1，0），A ′（2，-3）
⊙OB =2，OC =OB ′=1，OF =2，A ′F =3，
⊙BC =1，CB ′=2，CF =3，
⊙⊙ABC ⊙⊙A ′B ′C ， ⊙12
AE BC A F CB ''==， ⊙32
AE =， ⊙⊙ACE =⊙A ′CF ，⊙AEC =⊙A ′FC =90°，
⊙⊙AEC ⊙⊙A ′FC ， ⊙12
EC AE CF A F '==， ⊙32
EC =，
⊙52
OE EC OC =+=
， ⊙53(,)22A -， 故选：C ．
【点睛】
本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
12．B
【解析】
【分析】
⊙由顶点坐标（m ，-m +1），可得x =m ，y =-m +1，即可证明顶点在直线y =-x +1上； ⊙根据二次函数的性质，当x m <时，y 随x 的增大而增大，可知2m ＞；
⊙由()()()()22
122121212y y x m x m x x m x x -=-=---+-，根据已知可以判断
2121200x x m x x +--＞，＞，即可判断12y y ＞． 【详解】
解：⊙证明：21y x m m =---+（） 图象的顶点为（m ，-m +1），设顶点坐标为（x ，y ），则
x =m ，y =-m +1，
⊙y =-x +1，即顶点始终在直线y =-x +1上，
∴ ⊙正确；
⊙10-<，对称轴x m =，
∴当x m <时，y 随x 的增大而增大，
2x <时，y 随x 的增大而增大，
2m ∴≥，
∴ ⊙不正确；
⊙()11A x y ， 与点()22B x y ， 在函数图象上，
()()22112211y x m m y x m m ∴=---+=--++，，
()()22
1221y y x m x m ∴-=---， ()()21212x x m x x =+--，
⊙x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，
2121200x x m x x ∴+--＞，＞，
120y y ∴-＞，
⊙12y y ＞，
∴ ⊙不正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数图像和性质，函数值大小比较等，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系及做差法比较大小．
13．4
【解析】
【分析】
由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解．
【详解】
解：⊙正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，
而三角形的边长就是正六边形的半径，
又⊙正六边形的周长为24，
⊙正六边形边长为24÷6=4，
⊙正六边形的半径等于4．
故答案为4．
【点睛】
此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 14．1
2
【解析】
【分析】
用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可．
【详解】
解：⊙掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
⊙朝上一面的数字出现偶数的概率是
3162=， 故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15．2
【解析】
【详解】 解：扇形的弧长=0
208161π⨯=2πr ， ⊙圆锥的底面半径为r=2．
故答案为2．
16．223
【解析】
【分析】
连接CM ，过点P 作PF CM ⊥于点F ，过点M 作MD AC ⊥于点D ，由勾股定理得
AB =112452
ACB ∠=∠=∠=︒，解直角三角形即可求解． 【详解】
如图，连接CM ，过点P 作PF CM ⊥于点F ，过点M 作MD AC ⊥于点D ，
在RT ABC 中，
AB ，
⊙M 为AB 的中点，
⊙12
BM AM AB ==
=⊙AC BC =， ⊙CM AB ⊥，112452
ACB ∠=∠=∠=︒， ⊙在Rt BMC 中，tan 11BM CM ∠=
=，
⊙CM BM ==
⊙3BP =，
⊙431PC BC BP =-=-=，
在Rt PFC
中，sin 1PF PC ∠=
=
cos 1CF PC ∠==
⊙PF CF =
=，
⊙FM =， 在Rt CMD
中，sin 22DM CM ∠=
=
cos 22CD CM ∠==， ⊙2,2DM CD ==，
⊙422AD AC CD =-=-=，
⊙45PMQ ∠=︒，
⊙3445∠+∠=︒，
⊙90245CMD ∠=︒-∠=︒，
⊙4545∠+∠=︒，
⊙35∠=∠，
⊙在Rt MPF △
中，1tan 33
PF FM ∠===， ⊙在Rt MDQ △中，1tan 53
DQ MD ∠==， ⊙1122333
DQ MD =⨯=⨯=， ⊙222233
AQ AD DQ =+=+=． 故答案为：223
． 【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．3
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式可得对称轴为直线x =b ，根据A 、B 坐标可得A 、B 两点关于直线x =b 对称，可得122
b b
c b -++=，即可得出c 与b 的关系，根据二次函数的图象与x 轴有公共点列不等式可得出b 、c 的值，即可得答案．
【详解】
⊙抛物线解析式为22224y x bx b c =-+-，
⊙对称轴为直线x =22
b --=b ， ⊙抛物线经过不同两点()1,A b m -，()2,B b
c m +，
⊙A 、B 两点关于直线x =b 对称， ⊙122
b b
c b -++=， ⊙1c b =-，
⊙该二次函数的图象与x 轴有公共点，
⊙⊙=22(2)4(24)b b c ---=2416b c -+≥0，
⊙2416(1)b b -+-≥0，即-4（b -2）2≥0，
⊙b =2，
⊙c =b -1=1，
⊙b c +=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查二次函数与x 轴交点问题，关键是利用A 、B 两点的坐标与对称轴的关系中找出b 与c 的联系，然后利用判别式可以解决问题．
18．（1）=；（2）=；（3）作图见详解．
【解析】
【分析】
（1）连接AO ，BO ，CO ，DO ，根据平行线及垂直的性质可得OE AB ⊥，由垂径定理可得OE 平分CD ，AB ，得出COE DOE ∠=∠，AOE BOE ∠=∠，利用各角之间的关系可得AOC BOD ∠=∠，由圆心角相等，即可得出弧相等；
（2）连接OA 、OB ，由OE AB ⊥及垂径定理可得AE BE =，AOE BOE ∠=∠，利用圆周角是圆心角的一半即可得；
（3）连接AD 、CB 交于点H ，连接HO 并延长交O 于点G ，连接PG ，由
APQ PAB PBA ∠=∠+∠，可得BP PA APB +=，由垂径定理可得：点H 在线段AB 、CD 的垂直平分线上，连接HO 并延长交O 于点G ，得出点G 恰好平分APB ，即点G 恰好平分BP 与PA 所对的圆周角的和，由此即可得出．
【详解】
解（1）如图所示：连接AO ，BO ，CO ，DO ，
∵AB CD ∥，OE CD ⊥，
∴OE AB ⊥，
∴OE 平分CD ，AB ，
∴COE DOE ∠=∠，AOE BOE ∠=∠，
∴AOE COE BOE DOE ∠-∠=∠-∠，
即AOC BOD ∠=∠，
∴AC BD =，
故答案为：=；
（2）如图所示：连接OA 、OB ，
∵OE AB ⊥，
∴AE BE =，
∴AOE BOE ∠=∠， ∴12APE AOE ∠=∠，12
BPE BOE ∠=∠， ∴APE BPE ∠=∠，
故答案为：=；
（3）如图所示：连接AD 、CB 交于点H ，连接HO 并延长交O 于点G ，连接PG ，即为所求，
∵APQ PAB PBA ∠=∠+∠，
根据图可得：即BP PA APB +=，
由垂径定理可得：点H 在线段AB 、CD 的垂直平分线上，
连接HO 并延长交O 于点G ，
则点G 恰好平分APB ，即点G 恰好平分BP 与PA 所对的圆周角的和，
∴PG 即为所求．
【点睛】
题目主要考查垂径定理的应用及圆周角定理，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合垂径定理是解题关键．
19．（1）12823
x x ==，；（2）见详解．
【分析】
（1）首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可； （2）首先表示出Δ，得出Δ符号进而求出即可．
【详解】
（1）解：226952x x x -+=-（）
， 223520x x ---=（）（），
则()()3523520x x x x -+---+=，
整理得：()()2380x x --=， 解得：12823
x x ==，； （2）证明：把()()2320x x m ---=化为一般形式：22560x x m -+-=，
24b ac ∆=-
225416m =--⨯⨯-（）（）
225244m =-+
2410m =+＞ ，
故无论m 为何值，4m 2+1永远大于0，则方程()()2320x x m ---=总有两个不相等的实数
根．
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根的判别式，正确分解因式是解题关键．
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接BD ，由D 为AC 的中点，得BD CD =，则BAD CAD ∠=∠，由等腰三角形的性质得∠=∠DAB ADO ，推出CAD ADO ∠=∠，即可得出结论；
（2）由垂径定理得OF AC ⊥，由平行线的性质得DO EF ⊥，则DOE △是等腰直角三角
形，45OED ∠=︒，易证OGA △是等腰直角三角形，得BG =
，再由2BC BG =，即可得出结果．
（1）证明：D 为BC 的中点，
∴BD CD =， ⊙DAB CAD ∠=∠，
OD OB =，
⊙∠=∠DAB ADO ，
⊙CAD ADO ∠=∠，
//OD AC ∴；
（2）解：G 为AC 中点，
OF AC ∴⊥，2AC AG =
由（1）得：//OD AC ，
DO EF ∴⊥，
DOE ∴△是等腰直角三角形，
45OED ∴∠=︒，
DE AB ∵⊥，
45EOB AOG ∴∠=∠=︒，
OGA ∴是等腰直角三角形，
2AG ∴
2AC AG ∴==
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．
21．（1）26PCB ∠=︒；（2）30PCB ∠=︒，120ADC ∠=︒．
【解析】
【分析】
（1）连接CO ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得52COB ∠=︒，再由等腰三角形的性质可得：1802
COB BCO ︒-∠∠=，由切线的性质可得：90PCO ∠=︒，最后根据图中各角之间的关系即可得；
（2）连接CO ，AC ，根据平行四边形的性质可得P CDB ∠=∠，再由直径所对的圆周角为90︒可得90ACB ADB ∠=∠=︒，即90ACO OCB ∠+∠=︒，根据切线的性质可得
90PCO ∠=︒，即90BCP OCB ∠+∠=︒，综合利用各角之间的数量关系得出
OAC OCA BCP P CDB ∠=∠=∠=∠=∠，根据三角形外角的性质可得2COB OAC ∠=∠，2OBC P ∠=∠，得出60OCB OBC COB ∠=∠=∠=︒，再利用外角性质及各角之间的数量关系得出两个角的大小．
【详解】
解：（1）连接CO ，
∵26D ∠=︒，
∴52COB ∠=︒，
∵OB OC =， ∴180642
COB BCO ︒-∠∠==︒， ∵PC 与O 相切，
∴90PCO ∠=︒，
∴26PCB PCO BCO ∠=∠-∠=︒；
（2）连接CO ，AC ，
∵四边形CDBP 为平行四边形，
∴P CDB ∠=∠，
∵AB 为O 直径，
∴90ACB ADB ∠=∠=︒，即90ACO OCB ∠+∠=︒，
∵PC 与O 相切，
∴90PCO ∠=︒，即90BCP OCB ∠+∠=︒，
∴ACO BCP ∠=∠，
∵OAC BDC ∠=∠，
∴OAC OCA BCP P CDB ∠=∠=∠=∠=∠，
则2COB OAC ∠=∠，2OBC P ∠=∠，
∴COB OBC ∠=∠，
∵OB OC =，
∴OCB OBC ∠=∠，
∴60OCB OBC COB ∠=∠=∠=︒， ∴1302
PCB CBO ∠=∠=︒， ∴30OAC OCA BCP P CDB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，
∴9030120ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；
∴30PCB ∠=︒，120ADC ∠=︒．
【点睛】
题目主要考查圆与三角形的综合问题，包括圆周角定理、切线性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
22．（1）(122)t -，4t ，2(424)t t -+，22414(44)t t -+；（2）2t =或4；（3）不能．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出即可；
（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断．
【详解】
解：（1）根据题意得：2AP t =cm ，4BQ t =cm ，
所以(122)BP t =-cm ， ⊙12PBQ S
BP BQ =⋅1(122)42t t =⨯-⨯， ⊙2424PBQ S t t =-+，
⊙ABC PBQ APQC S S S =-四边形 ⊙2211224(424)=42
24144APQC t t S t t =⨯⨯---++四边形 故答案为：(122)t -，4t ，2(424)t t -+，22414(44)t t -+；
（2）2424=32t t -+
解得：2t =或4，
即当2t =秒或4秒时，PBQ △的面积是232cm ；
（3）22241444(-314)08APQC S t t x -+==+四边形
所以当t 为3时APQC S 四边形的面积最小，最大小面积是2108cm ．故四边形APQC 的面积不能能等于72cm 2．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S 与x 的函数关系式是解此题的关键．
23．（1）()()221802000150120120005090x x x y x x ⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩
＜；（2）第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）41.
【解析】
【分析】
（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案.
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案.
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于4800，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
【详解】
（1）当1≤x ＜50时，()()2200240302180200y x x x x =-+-=-++，
当50≤x≤90时，()()2002903012012000y x x =--=-+，
综上所述：()()221802000150120120005090x x x y x x ⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩
＜. （2）当1≤x ＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小，
当x=50时，y 最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
（3）解2218020004800x x -++≥，结合函数自变量取值范围解得2050x ≤<， 解120120004800x -+≥，结合函数自变量取值范围解得5060x ≤≤
所以当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
【点睛】
本题主要考查了1.二次函数和一次函数的应用（销售问题）；2.由实际问题列函数关系式；3. 二次函数和一次函数的性质；4.分类思想的应用．
24．（1）⊙A ，60；⊙120；（2）⊙PB 的长为3或1⊙32． 【解析】
【分析】
（1）利用“SAS ”证明△P AB ⊙△MAC ，从而得到结论；
（2）⊙分两种情况讨论，用“SAS ”证明三角形全等，利用三角形面积公式列得方程求解即可；
⊙判断当线段AB 旋转到DA 延长线上时，⊙PBC 的面积取得最大值，据此求解即可．
【详解】
解：（1）⊙⊙⊙P AM 是等边三角形，
⊙P A =AM ，⊙P AM =⊙APM =⊙AMP =60°，
⊙线段AC 是线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到的，
⊙⊙ABC 是等边三角形，
⊙AB =AC ，⊙BAC =60°，
⊙⊙P AB +⊙BAM =⊙BAM +⊙MAC =60°，
⊙⊙P AB =⊙MAC ，
⊙△P AB ⊙△MAC (SAS )，
⊙⊙MAC 可以看作⊙P AB 绕点A 逆时针旋转60（度）得到的，
⊙⊙△P AB ⊙△MAC ，
⊙⊙APM =⊙AMC =60°，
⊙⊙PMC=⊙AMP+⊙AMC=120°．
故答案为：⊙A，60；⊙120；
（2）⊙当线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AC，连接CM，⊙⊙BAC=90°，AB=AC，
⊙⊙P AM是等腰三角形，⊙P AM=90°，AP=AM=
⊙⊙APM=⊙AMP=45°，PM，
⊙⊙P AB+⊙BAM=⊙BAM+⊙MAC=90°，
⊙⊙P AB=⊙MAC，
⊙△P AB⊙△MAC(SAS)，
⊙⊙APM=⊙AMC=45°，PB=MC，
⊙⊙PMC=⊙AMP+⊙AMC=90°．
⊙⊙PBC的面积=1
2
PB⨯MC=
1
2
PB2=1.5，
解得：PB负值已舍)；
当线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC1，连接C1P，同理可得△MAB⊙△P AC1 (SAS)，
⊙⊙AMB=⊙APC1=45°，BM=PC1，
⊙⊙MPC1=⊙APM+⊙APC1=90°．
⊙⊙PBC1的面积=1
2
PB⨯PC1=
1
2
PB⨯(4-PB)=1.5，
整理得：PB2-4PB+3=0，
解得：PB=3或1；
综上，PB的长为3或1
⊙过点A作AD⊙PM于点D，
⊙⊙P AM
是等腰三角形，⊙P AM =90°，AP =AM =
⊙AD =PD =DM =2，
⊙AB
⊙BD 1=，
⊙PB =2+1=3，
⊙线段AC 是线段AB 绕点A 逆时针旋转α得到的，
⊙线段AB 旋转到DA 延长线上时，⊙PBC 的面积取得最大值，如图：
⊙⊙PBC 面积的最大值=12PB ⨯CD =12PB ⨯(AC +CD ) =32． ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25．（1）抛物线的解析式为：21y x x =+-，顶点坐标为：15,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
；（2）⊙函数解析式为 249y x x =-+；⊙EF 取得最大值时，()3,6E ；（3）m 的取值范围为：2m >或2m <-或1m =．
【解析】
【分析】
（1）将点()1,1A --代入函数解析式求解确定2m =-，即可确定函数解析式，将解析式化解为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）⊙写出抛物线的顶点坐标，进行整理，使顶点移动到最高处，即使顶点坐标的纵坐标最大，化简可得出3m =，即可确定解析式；
⊙设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+≠，将A 、B 两点代入解析式求解确定函数解析式，然后与抛物线解析式联立求解确定自变量的取值范围，设点()1,E x y ，()2,F x y ，且24x <<，根据题意，表示出21y y -，化为顶点式即可得出取得最大值时自变量的取值，然后代入函数解析式即可；
（3）将一次函数与二次函数解析式联立求解可得()2,5M ，()1,23N m m ++，()2,5M 在线段AB 上，根据题意中抛物线与线段AB 只有一个交点，分三种情况讨论：⊙抛物线与直线AB 只有一个交点，即点M 与点N 重合；⊙点N 在线段AB 的延长线上时；⊙点N 在线段BA 的延长线上时，依次进行讨论求解即可得．
【详解】
解：（1）将点()1,1A --代入函数解析式可得：()()2
11123-=-++++m m ， 解得：2m =-，
∴抛物线的解析式为：21y x x =+-， ∴2
1524y x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭， ∴顶点坐标为：15,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
； （2）⊙抛物线()2123y x m x m =-+++的顶点坐标为：()()2412311,24m m m ⎛⎫⎡⎤⨯⨯+--++⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭
， 整理可得21611,24m m m ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭
， 使顶点移动到最高处，即26114
m m -++取得最大值， ()2
232061144
m m m --+-++=， 当3m =时，26114m m -++取得最大值，
此时函数解析式为：将3m =代入可得：249y x x =-+；
⊙如图所示：
设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+≠，将A 、B 两点代入解析式可得：
173-=-+⎧⎨=+⎩
k b k b ， 解得：21
=⎧⎨=⎩k b ， ∴直线解析式为：21y x =+，
将直线解析式与抛物线解析式联立可得：
22149=+⎧⎨=-+⎩
y x y x x ， 解得：11
25x y =⎧⎨=⎩；2249x y =⎧⎨=⎩， ∴()2,5C ，()4,9D ，
设点()1,E x y ，()2,F x y ，且24x <<，
2149y x x =-+，221y x =+，
()()2
221214931-=+--+=--+y y x x x x ，
∵10-<，
∴当3x =时，EF 取得最大值，
16y =，
∴()3,6E ；
（3）()221123y x y x m x m =+⎧⎪⎨=-+++⎪⎩
①②， 将⊙代入⊙可得：()221123x x m x m +=-+++，
整理可得：()23220x m x m -+++=，
∵1a =，()3b m =-+，22c m =+，
∴24b ac ∆=-，
()()2
34122m m ⎡⎤=-+-⨯⨯+⎣⎦，
()210m =-≥， ∴抛物线与直线AB 有交点，
解方程()23220x m x m -+++=，
()()210x x m ⎡⎤--+=⎣⎦，
解得：12x =，21x m =+，
∴1125x y =⎧⎨=⎩；22
123x m y m =+⎧⎨=+⎩， ∴抛物线与直线AB 的交点为：()2,5M ，()1,23N m m ++，
将2x =代入直线AB 解析式21y x =+，
可得：5y =，
∴()2,5M 在直线AB 上，
∵123-<<，
∴()2,5M 在线段AB 上，
∵抛物线与线段AB 只有一个交点，
∴分三种情况讨论：
⊙抛物线与直线AB 只有一个交点，如图所示，即点M 与点N 重合，
m+=，
∴12
m=；
∴1
⊙点N在线段AB的延长线上时，如图所示：
m+>，
∴13
m>；
∴2
⊙点N在线段BA的延长线上时，如图所示：
∴11m +<-，
∴2m <-；
综上可得：m 的取值范围为：2m >或2m <-或1m =．
【点睛】
题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，函数最值问题，二次函数图象的性质及分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象与性质，作出相应图象是解题关键．。