(压轴题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)(2)

一、选择题
1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒
∠====，则异面直
线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．
35
B ．
35
C ．
45
D ．45
-
2．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．若{}
,,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A ．,2,3a b c B ．,,a b b c c a +++ C ．,,a b c b c c +++ D ．2,23,39a b b c a c ++-
4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值
为（ ） A ．
26
B ．
3 C ．
5 D ．
13
5．正方体ABCD —A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与CN 所成角的大小为 A ．0°
B ．45°
C ．60 °
D ．90°
6．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面
11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）
A 25
B 5
C ．
45
D ．1
7．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )
A ．
13
B ．
22
3
C ．
32
4
D ．
12
8．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．32-
9．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．
10
B ．
10 C ．
3 D ．
6 10．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则
EF 等于（ ）
A ．121
+232
OA OB OC - B ．211
+322
OA OB OC -+ C ．
111
222OA OB OC +- D ．
211
322
OA OB OC -- 11．四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ） A 5
B ．
15
C ．
25
D 25
12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA =,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，111
3
A F A A =
，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）
A ．γβα>>
B ．αβγ>>
C ．αγβ>>
D ．γαβ>>
二、填空题
13．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 为线段1BB 的中点，则AE 与1CD 所成角的余弦值为____．
14．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．
15．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为，则的最大
值为 .
16．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____．
17．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,
,0)2b =，若空间向量c
满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()
00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 18．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，6AC =，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．
19．如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 在平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设''BB CC ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ.若'''A B C ∆是以角'A 为直角的直角三角形，则tan ϕ的最小值__________. 20．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心,则点O 到平面ABC 1D 1的距离为 .
三、解答题
21．如图1，正方形ABCE ，2AB =，延长CE 到达D ，使DE CE =，M ，N 两点分别是线段,AD BE 上的动点，且AM BN =．将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达1D 的位置（如图2），且1D E EC ⊥．
（Ⅰ）证明：//MN 平面1
DCE ； （Ⅱ）在线段1AD 上确定点M 的位置，使平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦
值为
33
． 22．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点.
（1）证明：AE //平面BDC 1；
（2）若123
AA =，求DE 与平面BDC 1所成角的正弦值. 23．如图四棱锥S ABCD -，ABCD 是平行四边形，2AD BD ==，AD BD ⊥，
SAD 为等边三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是AB 边的中点，F 是侧棱SC 上
的一点.
（1）是否存在这样的点F ，使得//EF 平面SAD ？若存在，请求出SF
SC
的值，若不存在，请说明理由；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AD 与EF 的距离.
24．如图，四棱锥P ABCD -，PD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，
1,2AB BC PD AD ====．
（1）求证：平面PAC ⊥上平面PCD
（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．
25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是等腰梯形
//,2,4,,AB DC BC CD AD AB M N ====分别是,AB AD 的中点.
（1）证明：平面PMN ⊥平面PAD ；
（2）若二面角C PN D --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积. 26．如图：三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且222AD AB CD ===，
2BC =；BM AC ⊥，BN AD ⊥，垂足分别为M ，N .
（1）求证：AMN 为直角三角形； （2）求直线BC 与平面BMN 所成角的大小.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【详解】
解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),
(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，
11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=
，
设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111||4
cos 5
||||55AB BC AB BC θ⋅=
==⋅⋅.
∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为4
5
.
故选：C.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．C
解析：C 【分析】
根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】
画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以
()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN
GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以
CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确.
综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.
【点睛】
本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.
3．D
解析：D 【分析】
根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可． 【详解】
对于:,2,3,:,,,:,,A a b c B a b b c c a C a b c b c c ++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，
对于D ：2,23,3-9a b b c a c ++满足：
()()
3-932-23a c a b b c ⎡⎤=++⎣⎦
，是共面向量，不能构成空间的一个基底，
故选D 【点睛】
本题主要考查了向量的相关知识，考查了空间向量共面的判断与应用问题，熟练掌握向量基底的定义以及判断条件是解题的关键，属于基础题．
4．A
解析：A 【分析】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为
2
．
【详解】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），
()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1
,AE DC ＞2
6922
=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为2
6
． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．D
解析：D 【分析】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系,利用向量
1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-的数量积为0，即可求解.
【详解】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，
由图可知(1,0,0)M ，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,1)N ， 所以1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =- 所以1cos ,0B M CN 〈〉=
所以异面直线B M '与CN 所成的角为90︒．
故本题正确答案为D ． 【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角，属于基础题.
6．A
解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，利用1CM D P ⊥求得P 点坐标间的相互关系，写出三角形PBC 面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值. 【详解】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意有
()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,M C D P a b ，()()12,2,1,2,,2MC D P a b =--=-，由
于1CM D P ⊥，故()()2,2,12,,24220a b a b --⋅-=-+-+=，解得22b a =-.根据正方体的性质可知，BC BP ⊥，故三角形PBC 为直角三角形，而()2,2,0B ，故
()()
2
20,2,2PB a b a b =--=
-+PBC 的面积为
()
2
221
251282
BC PB a b a a ⨯⨯=-+=-+126
105
a =
=时，面积取得最小值为2
6625512855⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭
，故选A. 【点睛】
本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再结合函数最值相应的求法来求最值.
7．B
解析：B 【分析】
以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得
1
1,1,2
2MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB
与1AA 所成角的余弦值． 【详解】
在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ，
∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设11111222AA A B B C ===，
则11,1,22M ⎛⎫
⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，），
1
1,1,2
2MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）
=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，
则
11
cos 318MB AA MB AA θ⋅
=
=
=
⋅, ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3
，故选B ．
【点睛】
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
8．D
解析：D 【分析】
由DB ED FE BF =++，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】
BD ED FE BF =++,
2222
222111BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++++=++
故32BD =- 故选D 【点睛】
本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．
9．A
解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】
以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1
(1,
,1)2
M ∴1
(0,
,1)2AM =，52
AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为11110
cos ,10AM B C AM B C AM B C
⋅===⋅ 故选A. 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．
10．D
解析：D 【解析】
分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得21
()32
EF OF OE OA OB OC =-=
-+
211
322
OA OB OC =
--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题.
11．A
解析：A 【分析】
求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离． 【详解】
解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD
⎧⊥⎨
⊥⎩，
∴23020
x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)， cos ,||||5n AP n AP n AP ∴<>=
=
设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin
α=，
于是P 到平面ABCD 的距离为||sin AP α=，即四棱锥P ABCD - 故选：A ． 【点睛】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
12．D
解析：D 【分析】
过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】
解：因为1AB AC ==，1BC AA ==222
AB AC BC +=，即
AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则(1F ，0，1(2O ，12，0)，(0E ，0，1(1B ，1，
111(,22OB =，11(,22OE =--，
11(,22OF =-，1EB =，EF =，
设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，
则111·2022112·0
22m OB x y z m OE x y z ⎧
=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩
，取1x =，得()1,1,0m →=-，
同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--， 平面OEF 的法向量272(,,3)p =-
，平面1EFB 的法向量2
(,2,3)2
q =--． ∴461cos 61||||m n m n α=
=，434cos 34||||m p m p β==，46
cos 46||||
m q m q γ==． γαβ∴>>．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题
13．；【解析】【分析】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出AE 与CD1所成角的余弦值【详解】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系设正方体A
10
【解析】 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE 与CD 1所成角的余弦值． 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，
则A （2，0，0），E （2，2，1），C （0，2，0），D 1（0，0，2），
AE =（0，2，1），1CD =（0，﹣2，2），
设AE 与CD 1所成角为θ， 则cosθ11
10
55AE CD AE CD ⋅=
=
=⋅⋅， ∴AE 与CD 1所成角的余弦值为10． 故答案为
10．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-
【分析】
从二面角的大小入手，利用空间向量求解. 【详解】
以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图
则()()()()()
10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,
由111
A P A
B λ=
可得()
111111,2NP NA A P NA A B NA AB λλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,
设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则0
n NM n NP ⎧⋅=⎨
⋅=⎩,
即)0120x z x y z λλ+=⎧⎪
⎨
--+=⎪⎩
， 令1z =-，可得()
()321,
,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，
所以1cos45n m
n m n ⋅︒==，即2n =，所以2
1211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭
，解得2λ=-. 【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.
15．【详解】建立坐标系如图所示设则设则由于异面直线所成角的范围为所以令则当时取等号所以当时取得最大值考点：1空间两直线所成的角；2不等式
解析：2
5
【详解】
建立坐标系如图所示.设1AB =，则11
(1,
,0),(,0,0)22
AF E =.设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1
(,,1)2
EM y =
-，
由于异面直线所成角的范围为(0,]2
π，
所以cos
θ==2281145y y +=-+， 令81,19y t t +=≤≤，则281161
81455
2y y t t
+=
≥
++-，当1t =时取等号.
所以2cos 5θ==≤=，当0y =时，取得最
大值.
考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.
16．【解析】【分析】取MC中点O连结AOBO推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1AO＝BO＝AO⊥MCAO⊥平面BMCAO⊥BO由此能求出AB两点之间的距离【详解】取MC中点O连结AOBO∵△ABC中∠C＝
解析：
10
【解析】
【分析】
取MC中点O，连结AO，BO，推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1，AO＝3
，BO＝
7
，
AO⊥MC，AO⊥平面BMC，AO⊥BO，由此能求出A，B两点之间的距离．【详解】
取MC中点O，连结AO，BO，
∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2，M为AB中点，
∴AC＝BM＝AM＝CM＝1，
∴AO213
1()
2
-
BO =
AO ⊥MC ，
将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时， AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，
∴A ，B 两点之间的距离|AB |2
==
,
． 【点睛】
本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题
解析：【分析】
设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，
00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案． 【详解】 解：
空间向量(1,0,0)a =，13
(,
2b =， 设空间向量(),,c m n z =，
2c a ⋅=，5
2
c b ⋅=
，
2m ∴=，152
2
m = 2m ∴=，3n =，
∴空间向量()2,3,c z =，
又由对任意x ，y R ∈，()()
001c xa yb c x a y b -+≥-+=， 则||1z =，
故(22c =+
=
故答案为：【点睛】
本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．
18．【分析】如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量平面的法向量利用夹角公式计算得到答案【详解】设中点为则故故两两垂直如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量设平面的法向量为则解得：则法向量夹角故二面角B ﹣ 解析：
5 【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()
11,0,0n =，平面ACD 的法向量
()
21,3,1n =，利用夹角公式计算得到答案.
【详解】
设BD 中点为O ，则3AO CO ==，6AC =，故AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.
平面ABD 的法向量()11,0,0n =，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =，
()()
()0,0,3,3,0,0,0,1,0A C
D ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=，
解得：(
)
21,3,1n =，则法向量夹角1212
35
cos 53
n n n n θ⋅=
=
=⋅⋅. 故二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为5. 故答案为：
5
.
【点睛】
本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19．【解析】如图建系设则可得且故又因为故又故又因为且故故答案为
解析：
2
2
【解析】
如图建系，设()()
0,,,,0,
B b m
C c n，则()()
22221
0,,,0,11cos60
b m
c n
b m
c n
m n
⎧+=+=
⎪
=⋅
⎨
⎪<≤
⎩
，可得
1
2
mn=且0m n
<≤，故
2
2
m≤，又因为221
c n
+=，故1
n<,又
1
2
mn=, 故
1
2
m>，又因为
2
12
tan1,
22
b m m
ϕ==-<≤且，故2
tan
2
ϕ≥，故答案为
2
2
.
20．【详解】以D为原点DADCDD1所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系如图所示则A(100)B(110)D1(001)C1(011)O(1)=(010)=(-101)设平面ABC1D1的法向量
解析：
【详解】
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),O(
1
2
，
1
2
,1),
=(0,1,0),=(-1,0,1),
设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z),
由1·AB y 0{·AD x z 0n n ===-+=，，
得
令x =1,得n =(1,0,1). 又
=(-
1
2,12
-,0), ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d=
1
·n OD n
==.
三、解答题
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）M 是1AD 中点． 【分析】
（Ⅰ）分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并由
122AD BE ==，AM BN =，可设1AM AD λ=，BN BE λ=，得出,M N 坐标，求
出平面1D EC 的一个法向量n ，计算MN n ⋅后可证结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）基础上，求出平面MBE 和平面ABE 的法向量，由法向量夹角的余弦值的3
求得λ，得点M 位置． 【详解】
（Ⅰ）由题意1,AE D E AE CE ⊥⊥，又1D E EC ⊥， 分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D ，设(,,)M x y z ，设1AM AD λ=，
01)λ≤≤，而122AD BE ==AM BN =，则BN BE λ=，
由1AM AD λ=得(2,,)(2,0,2)x y z λ-=-，22,0,2x y z λλ=-+==，即
(22,0,2)M λλ-+，同理得(22,22,0)N λλ-+-+，
所以(0,22,2)MN λλ=-+-，
易知平面1D EC 的一个法向量是(1,0,0)n =，
因为0MN n ⋅=，所以MN n ⊥，而MN ⊄平面1D EC ，所以//MN 平面1D EC ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知(22,0,2)EM λλ=-+，(2,2,0)EB =， 设平面MBE 的一个法向量是(,,)m x y z =，
由00m EB m EM ⎧⋅=⎨⋅=⎩
得220(22)20x y x z λλ+=⎧⎨-++=⎩，取1x =，则1y =-，2212z λλ
λλ--==，
所以
1
(1,1,) m
λ
λ
-
=-，又平面ABE的一个法向量是(0,0,1)
p=，
则2
1
1
cos,
1
2
m p
m p
m p
λ
λ
λ
-
⋅
<>==
-
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
，由题意
2
1
1
3
3
1
2
λ
λ
λ
-
=
-
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
，解得
1
2
λ=．
所以M是1
AD中点时，平面MBE与平面ABE所成角（锐角）的余弦值为3．
【点睛】
方法点睛：本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
22．（1）证明见解析；（2）
30
20
.
【分析】
（1）以A为原点，过A在平面ABC作AC的垂线为x轴，AC为y轴，1
AA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明//
AE平面
1
BDC．
（2）求出平面
1
BDC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出DE与平面
1
BDC所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：以A为原点，过A在平面ABC作AC的垂线为x轴，
AC为y轴，
1
AA为z轴，建立空间直角坐标系，
(0
A，0，0)，(33
B3，0)，(0
C，6，0)，33
(E，
9
2
，0)，
设
1
2
AA t
=，(0
D，0，)t，
1
(0
C，6，2)t，
33
(
AE=，
9
2
，0)
，(33
DB=，3，)t-，
1
(0
DC=，6，)t，
设平面
1
BDC的法向量(
n x
=，y，)z，
则
1
3330
60
n DB x y tz
n DC y tz
⎧⋅=+-=
⎪
⎨
⋅=+=
⎪⎩
，取1
y=，则(3
n=-，1，
6
)
t
-，
AE n⋅=，AE⊂/平面1
BDC，
//
AE
∴平面
1
BDC．
（2）
1
23
CC=，(0
D，0，3)，33
(
DE=，
9
2
，3)
-，
由（1）知，平面
1
BDC的法向量(3
n=-，1，)
3
-，即(3
n=-，1，23)
-，
设DE与平面1
BDC所成角为θ，
则DE与平面1
BDC所成角的正弦值为：
||30
sin
||||430
DE n
DE n
θ
⋅
===
⋅
．
【点睛】
方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：
第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；
第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；
第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；
第四，破“应用公式关”.
23．（1）存在，且
1
2
SF
SC
=；（2）1.
【分析】
（1）设点F为SC的中点，取SD的中点G，连接AG、FG，证明出四边形AEFG为平行四边形，可得出//
EF AG，可证明出//
EF平面SAD，可得出结论，进而可求得
SF
SC 的值；
（2）证明出BD⊥平面SAD，以点D为坐标原点，DA、DB所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系，可知DB为异面直线AD与EF的公垂线的一个方向向量，进而可
得出异面直线AD与EF 的距离为DE DB DB
⋅
，即可得解.
【详解】
（1）存在，且
1
2
SF
SC
=，理由如下：
设点F为SC的中点，取SD 的中点G，连接AG、FG，
四边形ABCD为平行四边形，则//
AB CD且AB CD
=，
F、G分别为SC、SD的中点，则//
FG CD且
1
2
FG CD
=，
E为AB的中点，所以，//
AE FG且AE FG
=，所以，四边形AEFG为平行四边形，//
EF AG
∴，
EF⊄平面SAD，AG⊂平面SAD，//
EF
∴平面SAD，此时，
1
2
SF
SC
=；
（2）平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD⋂平面ABCD AD
=，BD AD
⊥，BD⊂平面ABCD，BD
∴⊥平面SAD，
以点D为坐标原点，DA、DB所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()
2,0,0
A、()
0,2,0
B、()
0,0,0
D、()
1,1,0
E，()
1,1,0
=
DE，()
0,2,0
DB=，BD⊥平面SAD，AG⊂平面SAD，BD AG
∴⊥，
//
EF AG，BD EF
∴⊥，
BD AD
⊥，所以DB为异面直线AD与EF的公垂线的一个方向向量，
因此，异面直线AD与EF的距离为
2
1
2
DE DB
DB
⋅
==.
【点睛】
方法点睛：求异面直线AB、CD的距离，可先求出异面直线AB、CD的公垂线的一个
方向向量，则异面直线AB、CD的距离为
AC n d
n
⋅
=.
24．（1）证明见解析；（2）
10
．
【分析】
（1）证明AC CD
⊥，可得AC⊥平面PCD，从而得证面面垂直；
（2）以,
AB AD为,x y轴，过A平行DP的直线为z轴，建立空间直角坐标系A xyz
-，用空间向量法求二面角．
【详解】
（1）证明：∵//
AD BC，AB BC
⊥，1,2
AB BC AD
===．
∴2
AC=，2
CD=，222
AC CD AD
+=，∴AC CD
⊥，
∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD AC
⊥，又CD PD D
=
∴AC⊥平面PCD，又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PCD．
（2）以,
AB AD为,x y轴，过A平行DP的直线为z轴，建立空间直角坐标系A xyz
-，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),
A B C D(0,2,1)
P，
(0,2,1)
AP=，(1,0,0)
AB=，设平面PAB的一个法向量为(,,)
m x y z
=，
则
20
m AP y z
m AB x
⎧⋅=+=
⎨
⋅==
⎩
，取1
y=，则(0,1,2)
m=-，
由（1）知平面PCD的一个法向量为(1,1,0)
AC=，
10
cos,
25
AC m
AC m
AC m
⋅
<>===
⨯，
由图可得平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为
10
．
【点睛】
方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查用向量法二面角，求二面角的方法：
（1）几何法（定义法）：作出二面角的平面角并证明，然后解三角形求得平面角的大小；
（2）建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．
25．（1）证明见解析；（2）1. 【分析】
（1）连接DM ，证出MN AD ⊥，PD MN ⊥，再利用面面垂直的判定定理即可证明. （2）连接BD ，以点D 为坐标原点，以,,DA DB DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(0,0,)(0)P m m >，根据空间向量的数量积求出m ，再根据锥体的体积公式即可求解. 【详解】
（1）连接DM ，显然//DC BM 且DC BM =， ∴四边形BCDM 为平行四边形，
//DM BC ∴且DM BC =，AMD ∴△是正三角形，MN AD ∴⊥，
又
PD ⊥平面,ABCD MN ⊂平面,ABCD PD MN ∴⊥,
,PD AD D MN ⋂=∴⊥平面PAD ，又MN ⊂平面PMN ，
∴平面PMN ⊥平面PAD .
（2）连接BD ，易知//,,BD MN BD AD BD PD ∴⊥⊥.
建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0)D N C -， 设(0,0,)(0)P
m m >，(1,0,),(2,3,0)PN m CN ∴=-=-.
设平面PNC 的法向量为(,,)a x y z =，00
a PN a CN ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即0,
230,x mz x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
令3,(3,2,3)z a m m ==，
而平面PND 的一个法向量为(0,1,0)b =，
221
|cos ,|cos602
343
a b m m ︒〈〉==
=
++ 解得3
m =
，所以113(24)31323
V =⨯⨯+⨯⨯=.
【点睛】 方法点睛：
证明面面垂直的常用方法：
证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义证明. 解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 26．（1）证明见解析；（2）4
π. 【分析】
（1）先证明CD ⊥平面ABC ，可得CD BM ⊥，则可得BM ⊥平面ACD ，即可得出
BM AD ⊥，进而AD ⊥平面BMN ，即得出AD MN ⊥可说明；
（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】 解：（1）
AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，
1,2AB AD ==，3BD ∴=，
2,1BC CD ==，∴222BC CD BD +=，BC CD ∴⊥，
AB BC B ⋂=，
CD 平面ABC ，
BM ⊂平面ABC ，CD BM ∴⊥，
BM AC ⊥，AC CD C =，BM ∴⊥平面ACD ，
AD ⊂平面ACD ，BM AD ∴⊥，
BN AD ⊥，BN BM B ⋂=，AD ∴⊥平面BMN ，
MN ⊂平面BMN ，AD MN ∴⊥，∴AMN 为直角三角形；
（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()0,0,1A ，()
2,0C ，()
2,0D -，
()0,2,0BC =，()
2,1AD =--.
由（1）得AD ⊥平面BMN ，∴AD 为平面BMN 的法向量， ∴2sin cos ,AD BC AD BC AD BC
θ⋅==
=
⋅ ∴直线BC 与平面BMN 所成角大小为4
π. 【点睛】
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。